高考数学总复习教案：三角函数的综合应用

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

2014届高三数学总复习 3.9三角函数的综合应用教案 新人教A版1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________． 答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝a cosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tanπ12＝________．答案：－2 3解析：原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x∈R )，则f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β，tan(α±β)＝tan α±tan β1 tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α. 4. 三角函数的图象和性质 5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝－210²22＋7210²22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.备选变式（教师专享）(2013²上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x －y)＝23 sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ²RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A²9＋A 2＝ －12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx.(2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sinαcos α＝49， 即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013²浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ²5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17³12＋437³32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．(1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m∥n ，所以sinA ²(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.因为A∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc.又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bc bc ＋4≥2bc bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc≤34³4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a²a 2R ＝b²b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC 为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m²p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12³4³sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则一般选正弦函数． 规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分)又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错． 事实上，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos(α＋β)不易出错．1. (2013²常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2²sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013²北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.3. (2013²北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________．答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12³3³1＝32.4. (2013²新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________．答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)，当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014²扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长．解：(1) m²n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ²n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0，∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a＋c ＝13，∴ 三角形周长是20. 2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC.(1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC 中∠C∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°. 3. (2013²湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1.(1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53 c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC＝bc 4R 2＝57. 4. (2013²北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosA sinA ＝263.故cosA ＝63.(2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx ＋φ视为一个整体X ；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝asin2x ＋bsinx ＋c ；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。

高考数学专题讲座 第7讲 三角函数的综合应用一、考纲要求1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角；4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．二、基础过关 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是（ ）．A ．21 B ．2- C ．34 D ．21或2- 5．给出四个命题：（1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； （2）若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形． 以上正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．8．下列命题正确的有 ． （1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）；（2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限； （3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；（4）2sin θ=53，2cos θ=54-，则θ在第三、四象限．三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2．（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．四、 热身演练 1．已知，那么下列命题成立的是（ ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ ）．3．函数的反函数是（ ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ． ①函数ｙ＝-sin(kπ+x)(k∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点(π/12，0)对称；③函数y =sin(2x+π/3)+sin(2x -π/3)的最小正周期是π；④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．9．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．三角函数的综合应用一、考纲要求：1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 3． 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角．4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题． 二、基础过关： 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ A ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ B ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ D ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是（ B ）．A ．21B ．2-C ．34D ．21或2- 5．给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是（ B ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ C ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．28．下列命题正确的有 ．(2)（1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）； （2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限；（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；βφαDCBA1.2 m2 m 1 m （4）2sinθ=53，2cosθ=54-，则θ在第三、四象限． 三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-xm x x m m sin 443sin sin 212恒成立对R x ∈，又 21)21(sin 43sin 2sin 2---=-+-x x x ，∴3sin 4≥+x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m m m ， ∴21-=m ，或323≤<m例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）解：如图，8.02.12=-=CD ，设x AD =，则x x AD BD 8.18.01tan =+==α， xAD CD 8.1tan ==β， βαβαβαφtan tan 1tan tan )tan(tan +-=-= ，∴4.2144.12144.118.08.118.08.1tan =⋅≤+=⋅+-=xx x x x x x x φ当xx 44.1=，即2.1=x 时， φtan 达到最大值4.21，φ是锐角，φtan 最大时，φ也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为2.1=AD 米．例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2，（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．解：（1）设b →=（x,y ），则2x+2y=－2，且a →·b →=|b →||c →|cos 43π=22y x +×22×(－22)=－2，解得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==1y x , ∴b →=(－1,0) 或b →=(0,－1)．（2）∵三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴b=3π，∵b →⊥t →，∴b →=(0,－1)，∴b →+c →=( cosA,22cos 2C －1)=(cosA,cosC)，∴|b →+c →|2=C A 22cos cos +=1+21(cos2A+cos2C)=1+cos(A+C)cos(A －C)=1－21cos(A －C)，∴－32π<A －C<32π ,∴－21<cos(A －C)≤1,22≤|b →+c →|<25．例4 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2CA -， f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+)． （1）试求函数f (x )的解析式及其定义域； （2）判断其单调性，并加以证明； （3）求这个函数的值域． 解：（1）∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(C A C A CA C A C A C A x f -++-+=⋅+⋅= 342122122-=-+-=x xx x ， ∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]．又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1)． （2）设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0． 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0．即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数．（3）由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2．故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)． 四、热身演练： 1．已知，那么下列命题成立的是（ B ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ D ）．AB C D3．函数的反函数是（ A ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ C ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ D ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ A ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ．①②③④ ①函数ｙ＝-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点 (π/12，0)对称；③函数y=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)的最小正周期是π； ④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．4389．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， RR h R k I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值． 解：（1）∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π),∴方程化为sin(x+3π)=-2a ．∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解，∴sin(x+3π)≠sin 3π=23． 又sin(x+3π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解)，∴|-2a |<1，且-2a≠23， 即|a|<2，且a ≠-3.，∴a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2)．（2） ∵α、 β是方程的相异解,∴sin α+3cos α+a=0 ① sin β+3cos β+a=0 ②①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0， ∴ 2sin 2βα-cos2βα+-23sin 2βα+，sin2βα-=0，又sin2βα+≠0，∴tan2βα+=33， ∴tan(α+β)=2tan 22tan22βαβα+-+=3．11．求20sin 6420cos 120sin 3222+-的值．解：原式=20cos 20sin 20sin 20cos 32222-+64sin 220°=40sin 41)20sin 20cos 3)(20sin 20cos 3(2+-+64sin 220°=40sin 41)2030cos()2030cos(42-++64sin 220°=40sin 80sin 40sin 162+64sin 220°=32cos40°+64(240cos 1-)=32．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．解：要证α、β、γ成等差数列，∵α、β、γ是锐角，只要证：tan β=tan 2γα+．∵tan 2γα+=2tan2tan12tan2tanγαγα-+=2tan2tan12tan 2tan 33γγγγ-+=)2tan 1)(2tan 1()2tan 1(2tan222γγγγ+-+=212tan 12tan22γγ-=21tan γ= tan β．∴α、β、γ成等差数列．。

芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题二第1讲三角函数〔1〕教学案教学内容：三角函数的图象与性质〔1〕教学目的：1三角函数的图象与解析式2.利用三角函数的图象与解析式教学重点：1.求三角函数的解析式；教学难点：三角函数的图象与解析式教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限〞．(3)三角函数的图象及常用性质函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)2.记住几个常用的公式与结论对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要记住下面几个常用结论：(1)定义域：R.(2)值域：[－A，A]．当x＝(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝(k∈Z)时，y取最小值－A.(3)周期性：周期函数，周期为.(4)单调性：单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z).(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是(，0)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z.(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或者者两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．复备栏3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断挪动方向的关键点．(2)看挪动方向：在学习中，挪动的方向一般我们会记为“正向左，负向右〞，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规那么不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右〞．(3)看挪动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后挪动的单位是||.二、根底训练：1．函数y＝tan的定义域是________．解析：∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.答案：2．(2021·模拟)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．解析：由题知f(x)＝sin2x，所以T＝＝π.答案：π3．将函数y＝2sinx的图象上每一点向右平移1个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，得函数y＝f(x)的图象，那么f(x)的解析式为________．解析：函数y＝2sinx向右平移1个单位得y＝2sin(x－1)＝2sin，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，那么y＝2sin，即y＝2sin.答案：y＝2sin4．(2021·模拟)函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x－∈，k∈Z时，f(x)单调递增，又因为x∈[－π，0],故取k＝0得x∈.答案：1三、例题教学：例1、(2021·模拟)假设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如下列图，这个函数的解析式为________．[解析]由题意知：周期T＝2(－)＝π，ω＝＝2，设f(x)＝Asin(2x＋φ)，点(，0)为五点作图中的第三点，所以2×＋φ＝π，即φ＝.设f(x)＝Asin(2x＋)，因为点(0，)在原函数的图象上，故Asin＝，所以A＝，综上知：f(x)＝sin(2x＋)．[答案]f(x)＝sin(2x＋)变式训练：1．(2021·高考卷)函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，那么φ的值是________．解析：由题意，得sin＝cos，因为0≤φ<π，所以φ＝.答案：例2、2021·模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象如下列图，直线x＝，x ＝是其两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2)假设f(α)＝，且<α<，求f(＋α)的值．[解](1)由题意，＝－＝，∴T＝π，又ω>0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－<φ<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)知，kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)依题意得：2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，∵<α<，∴0<2α－<，∴cos(2α－)＝＝＝，f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]，∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，∴f(＋α)＝.稳固练习：完成专题强化训练。

高考数学第二轮专题复习三角函数教案一、本章知识结构：应用一．理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

二．掌握三角函数公式的运用〔即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式〕三．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

四．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法〞画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、 的物理意义。

五．会由三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题〔1〕与三角函数单调性有关的问题；〔2〕与三角函数图象有关的问题；〔3〕应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；〔4〕与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异〔或角，或函数，或运算〕，寻找联系〔借助于熟知的公式、方法或技巧〕，分析综合〔由因导果或执果索因〕，实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面表达可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________．答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝acosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tan π12＝________．答案：－23解析：原式＝sinπ12cos π12－cosπ12sin π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x ∈R )，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsinαsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 备选变式（教师专享）(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x－y)＝23sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质 例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. (1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx. (2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sin αcos α＝49， 即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013·浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ·5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17×12＋437×32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角． (1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc. 又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bcbc ＋4≥2bcbc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ≤34×4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12×4×sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则一般选正弦函数．规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分) 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错． 事实上，仅由sin (α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos (α＋β)不易出错．1. (2013·常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2·sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π. 3. (2013·北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________． 答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12×3×1＝32.4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________． 答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝⎛⎭⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)， 当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014·扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长． 解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0， ∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a ＋c ＝13，∴ 三角形周长是20.2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC. (1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC中∠C ∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°.3. (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1. (1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC ＝bc 4R 2＝57.4. (2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosAsinA ＝263.故cosA ＝63. (2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。

三角函数综合运用一、学习目标：综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，还将综合运用三角函数的知识和其他数学知识解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力。

二、课前热身：1、函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是__________ 2、函数f(x )＝sinx ＋cosx 的图象的一条对称轴方程是 3、若函数f(x)=2+sin 2ωx （ω>0）的周期与函数g(x)=tan2x的周期相等，则ω=_________4、（四川7）ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,22a A B ==，则cos B =___________5、（浙江14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s3=-，则=A cos 。

三、例题：例1：已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．例2： 在一个特定的时间内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E 正北55海里处有一个雷达观测站A 。

某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ（其中sin θ=26，0°<θ<90°）且与点A 相距C 。

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。

例3：已知函数f(x)=4x 3-3x 2cos θ+316cos θ，其中x ∈R ，θ为参数，且02θπ≤≤。

高中数学复习教案：三角函数应用一、引言本教案旨在帮助高中生复习和掌握三角函数应用的相关知识点。

三角函数在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、航海导航等领域。

通过本教案的学习和练习，学生将更好地理解和运用三角函数的概念和技巧。

二、基础知识回顾1. 角度与弧度制•角度制是我们常见的测量角度的方式，以360°为一个完整圆。

•弧度制是数学上使用最广泛的角度单位，以弧长比半径定义。

一个完整圆周对应的弧度为2π。

2. 三角函数定义与性质•正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）是最常见的三角函数。

•正弦函数表示直角三角形中斜边与 hypotenuse 的比值；余弦函数表示邻边与 hypotenuse 的比值；正切函数表示对边与邻边的比值。

•注意，正切函数在某些特殊情况下可能无定义或者无意义。

3. 特殊角及其值•30度、45度和60度的三个特殊角值是非常重要的，需要记住它们在角度制和弧度制下的数值。

三、三角函数应用1. 射线问题•射线问题是三角函数应用中最常见的一个类型。

我们可以利用已知角的正弦、余弦或正切值求解未知长度或高度。

#### 示例：树木高度测量问题描述：一棵树与观察者之间形成一个直角三角形，观察者站在离树10米的地方，从眼睛到顶部的角度为30°。

求该树的高度。

解题步骤：1.利用正切函数计算tan(30°) = X/10，得到 X 的值。

2.确定 X 的单位后，即可得到树木的高度。

2. 角分析问题•角分析问题包括求解已知两边长度和夹角，则可以利用余弦定理或正弦定理来求解第三边或第二个夹角数值。

#### 示例：桥梁高空抛物线轨道计算问题描述：一座桥梁上有一个高空抛物线轨道，其中两座桥塔相距150米，高差50米。

桥塔顶部与水平线夹角为60°，求抛物线的方程。

解题步骤：1.分析桥塔与水平线构成的三角形，并计算斜边的长度。

2.利用已知条件，使用正弦函数计算箭头发射点的高度与水平距离之间的关系。

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用（对应学生用书（文）、（理）５7～５9页）考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题．２．B级考点：１同角三角函数的基本关系式２二倍角公式３三角函数的图象和性质４正弦定理和余弦定理１．（必修５P9例题４题改编）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且错误!＝错误!，则A＝________．答案：错误!解析：由错误!＝错误!，错误!＝错误!，得错误!＝错误!，即sinA＝cosA，所以A＝错误!.２．（必修４P４５习题１．３第8题改编）将函数y＝sinx的图象向左平移φ（0≤φ<２π）个单位后，得到函数y＝sin错误!的图象，则φ＝________．答案：错误!π解析：将函数y＝sinx向左平移φ（0≤φ<２π）个单位得到函数y＝sin（x＋φ）．只有φ＝错误!π时有y＝sin错误!＝sin错误!.３．（必修４P１09习题３．３第6（２）题改编）tan错误!—错误!＝________．答案：—２错误!解析：原式＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝—２错误!.４．（必修４P１１５复习题第１３题改编）已知函数f（x）＝错误!sinxcosx—cos２x＋错误!（x∈R），则f（x）在区间错误!上的值域是________．答案：错误!解析：f（x）＝错误!sin２x—错误!cos２x＝sin错误!.当x∈错误!时，２x—错误!∈错误!，故值域为错误!.５．在△ABC中，AC＝错误!，BC＝２，B＝60°，则边BC上的高为________．答案：错误!解析：由余弦定理，得7＝c２＋４—２c，即c２—２c—３＝0，解得c＝３，所以边BC上的高h＝３sin60°＝错误!.１．同角三角函数的基本关系式：sin２α＋cos２α＝１，tanα＝错误!.２．两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ，tan（α±β）＝错误!.３．二倍角公式：sin２α＝２sinαcosα，cos２α＝cos２α—sin２α＝２cos２α—１＝１—２sin２α，tan２α＝错误!.４．三角函数的图象和性质５．正弦定理和余弦定理：（１）正弦定理：错误!＝错误!＝错误!＝２R（R为三角形外接圆的半径）．（２）余弦定理：a２＝b２＋c２—２bccosA，cosA＝错误!.题型１三角恒等变换例１已知sin错误!＝错误!，A∈错误!.（１）求cosA的值；（２）求函数f（x）＝cos２x＋错误!sinAsinx的值域．解：（１）因为错误!<A<错误!，且sin错误!＝错误!，所以错误!<A＋错误!<错误!，cos错误!＝—错误!.所以cosA＝cos错误!＝cos错误!cos错误!＋sin错误!sin错误!＝—错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!.（２）由（１）可得sinA＝错误!.所以f（x）＝cos２x＋错误!sinAsinx＝１—２sin２x＋２sinx＝—２错误!错误!＋错误!，x∈R.因为sinx∈[—１，１]，所以，当sinx＝错误!时，f（x）取最大值错误!；当sinx＝—１时，f（x）取最小值—３．所以函数f（x）的值域为错误!.错误!（２0１３·上海卷）若cosxcosy＋sinxsiny＝错误!，sin２x＋sin２y＝错误!，则sin（x＋y）＝________．答案：错误!解析：由题意得cos（x—y）＝错误!，sin２x＋sin２y＝sin[（x＋y）＋（x—y）]＋sin[（x＋y）—（x—y）]＝２sin（x＋y）cos（x—y）＝错误!sin（x＋y）＝错误!.题型２三角函数的图象与性质例２已知函数f（x）＝Asin错误!，x∈R，A>0，0<φ<错误!，y＝f（x）的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（１，A）．（１）求f（x）的最小正周期及φ的值；（２）若点R的坐标为（１，0），∠PRQ＝错误!，求A的值．解：（１）由题意得T＝错误!＝6．因为P（１，A）在y＝Asin错误!的图象上，所以sin错误!＝１．因为0<φ<错误!，所以φ＝错误!.（２）设点Q的坐标为（x0，—A）．由题意可知错误!x0＋错误!＝错误!，得x0＝４，所以Q（４，—A）．连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝错误!，由余弦定理得cos∠PRQ＝错误!＝错误!＝—错误!，解得A２＝３．又A>0，所以A＝错误!.错误!已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.（１）求函数f（x）的表达式；（２）若sinα＋f（α）＝错误!，求错误!的值．解：（１）∵ f（x）为偶函数，∴sin（—ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ），即２sinωxcosφ＝0恒成立，∴cosφ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴φ＝错误!. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴T＝２π，∴ω＝１，∴f（x）＝cosx.（２）∵ 原式＝错误!＝２sinαcosα，又∵ sinα＋cosα＝错误!，∴１＋２sinαcosα＝错误!，即２sinαcosα＝—错误!，故原式＝—错误! .题型３正弦定理、余弦定理的综合应用例３（２0１３·浙江）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且２asinB＝错误!Ｂ．（１）求角A的大小；（２）若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：（１）由２asinB＝错误!b及正弦定理错误!＝错误!，得sinA＝错误!.因为A是锐角，所以A＝错误!.（２）由余弦定理a２＝b２＋c２—２bccosA，得b２＋c２—bc＝３6．又b＋c＝8，所以bc＝错误!.由三角形面积公式S＝错误!bcsinA，得△ABC的面积为错误!.错误!在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝错误!，a＝５，△ABC的面积为１0错误!.（１）求b，c的值；（２）求cos错误!的值．解：（１）由已知，C＝错误!，a＝５，因为S△ABC＝错误!absinC，即１0错误!＝错误!b·５sin错误!，解得b＝8．由余弦定理可得：c２＝２５＋6４—80cos错误!＝４9, 所以c＝7．（２）由（１）有cosB＝错误!＝错误!，由于B是三角形的内角，易知sinB＝错误!＝错误!，所以cos错误!＝cosBcos错误!＋sinBsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.题型４三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例４已知向量m＝错误!与n＝（３，sinA＋错误!cosA）共线，其中A是△ABC的内角．（１）求角A的大小；（２）若BC＝２，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．解：（１）因为m∥n，所以sinA·（sinA＋错误!cosA）—错误!＝0．所以错误!＋错误!sin２A—错误!＝0，即错误!sin２A—错误!cos２A＝１，即sin错误!＝１．因为A∈（0，π），所以２A—错误!∈错误!.故２A—错误!＝错误!，A＝错误!.（２）由余弦定理，得４＝b２＋c２—bＣ．又S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!bc，而b２＋c２≥２bc bc＋４≥２bc bc≤４（当且仅当b＝c时等号成立），所以S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!bc≤错误!×４＝错误!.当△ABC的面积取最大值时，b＝Ｃ．又A＝错误!，故此时△ABC为等边三角形．错误!已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝（a，b），n＝（sin B，sin A），p ＝（b—２，a—２）．（１）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；（２）若m⊥p，边长c＝２，角C＝错误!，求△ABC的面积．（１）证明：∵ m∥n，∴asin A＝bsin B，即a·错误!＝b·错误!，其中R是△ABC外接圆半径，∴a ＝Ｂ．∴ △ABC为等腰三角形．（２）解：由题意可知m·p＝0，即a（b—２）＋b（a—２）＝0．∴ a＋b＝aＢ．由余弦定理可知，４＝a２＋b２—ab＝（a＋b）２—３ab，即（ab）２—３ab—４＝0，∴ab＝４（舍去ab＝—１），∴S＝错误!absin C＝错误!×４×sin 错误!＝错误!.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．【示例】（本题模拟高考评分标准，满分１４分）若sinα＝错误!，sinβ＝错误!，且α、β均为锐角，求α＋β的值．学生错解：解：∵ α为锐角，∴cosα＝错误!＝错误!.又β为锐角，∴cosβ＝错误!＝错误!.∵sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!，由于0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋β<１80°，故α＋β＝４５°或１３５°.审题引导：在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在（0，π）时，一般选余弦函数，若是错误!，则一般选正弦函数．规范解答：解：∵ α为锐角，∴cosα＝错误!＝错误!.（２分）又β为锐角，∴cosβ＝错误!＝错误!.（４分）且cos（α＋β）＝cosαcosβ—sinαsinβ＝错误!，（１0分）由于0<α<错误!，0<β<错误!，所以0<α＋β<π，因为y＝cosx在错误!上是单调递减函数，故α＋β＝错误!.（１４分）错因分析：没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．事实上，仅由sin（α＋β）＝错误!，0°<α＋β<１80°而得到α＋β＝４５°或１３５°是正确的，但题设中sinα＝错误!<错误!，sinβ＝错误!<错误!，使得0°<α<３0°，0°<β<３0°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y＝cosx在错误!上是单调函数，所以本题先求cos（α＋β）不易出错．１．（２0１３·常州期末）函数f（x）＝cos错误!cos错误!的最小正周期为________．答案：２解析：f（x）＝cos错误!cos错误!＝cos错误!·sin错误!＝错误!sinπx，最小正周期为T＝错误!＝２．２．（２0１３·北京期末）已知函数f（x）＝sin错误!，其中x∈错误!，若f（x）的值域是错误!，则a的取值范围是________．答案：错误!解析：若—错误!≤x≤a，则—错误!≤x＋错误!≤a＋错误!，因为当x＋错误!＝—错误!或x＋错误!＝错误!时，sin错误!＝错误!，所以要使f（x）的值域是错误!，则有错误!≤a＋错误!≤错误!，即错误!≤a≤π，即a 的取值范围是错误!.３．（２0１３·北京期末）已知△ABC中，AB＝错误!，BC＝１，sinC＝错误!cosC，则△ABC的面积为________．答案：错误!解析：由sinC＝错误!cosC，得tanC＝错误!>0，所以C＝错误!.根据正弦定理可得错误!＝错误!，即错误!＝错误!＝２，所以sinA＝错误!.因为AB>BC，所以A<C，所以A＝错误!，即B＝错误!，所以三角形为直角三角形，所以S△ABC＝错误!×错误!×１＝错误!.４．（２0１３·新课标Ⅰ卷）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx—２cosx取得最大值，则cosθ＝________．答案：—错误!解析：∵ f（x）＝sinx—２cosx＝错误!错误!.令cosφ＝错误!，sinφ＝—错误!，则f（x）＝错误!（sinxcosφ＋sinφcosx）＝错误!sin（x＋φ），当x＋φ＝２kπ＋错误!，k∈Z，即x＝２kπ＋错误!—φ，k∈Z时，f（x）取最大值，此时θ＝２kπ＋错误!—φ，k∈Z，∴cosθ＝cos错误!＝sinφ＝—错误!.１．（２0１４·扬州期末）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、Ｃ．向量m＝（１，cosB），n＝（sinB，—错误!），且m⊥n.（１）求角B的大小；（２）若△ABC面积为１0错误!，b＝7，求此三角形周长．解：（１）m·n＝sinB—错误!cosB，∵m⊥n，∴m·n＝0，∴sinB—错误!cosB＝0．∵ △ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，∴tanB＝错误!.∵0<B<错误!，∴B＝错误!.（２）∵ S△ABC＝错误!acsinB＝错误!ac，由题设错误!ac＝１0错误!，得ac＝４0．由7２＝a２＋c２—２accosB，得４9＝a２＋c２—ac，∴（a＋c）２＝（a２＋c２—ac）＋３ac＝４9＋１２0＝１69．∴ a ＋c＝１３，∴三角形周长是２0．２．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的周长为错误!＋２，且sinA＋sinB ＝错误!sinＣ．（１）求边c的长；（２）若△ABC的面积为错误!sinC，求角C的度数．解：（１）在△ABC中，∵sinA＋sinB＝错误!sinC，由正弦定理，得a＋b＝错误!c ，∴a＋b＋c ＝错误!c＋c＝（错误!＋１）c＝错误!＋２．∴a＋b＝２，c＝错误!.（２）在△ABC中，S△ABC＝错误!absinC＝错误!sinC，∴错误!ab＝错误!，即ab＝错误!.又a ＋b ＝２，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝错误!＝错误!＝错误!，又在△ABC 中∠C∈（0，π）， ∴ ∠C ＝60°.３． （２0１３·湖北卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、Ｃ．已知cos ２A —３cos （B ＋C ）＝１．（１） 求角A 的大小；（２） 若△ABC 的面积S ＝５错误!，b ＝５，求sinBsinC 的值．解：（１） 由已知条件得：cos ２A ＋３cosA ＝１，∴ ２cos ２A ＋３cosA —２＝0，解得cosA ＝错误!，∴ ∠A ＝60°.（２） S ＝错误!bcsinA ＝５错误!c ＝４，由余弦定理，得a ２＝２１，（２R ）２＝错误!＝２8，∴sinBsinC ＝错误!＝错误!.４． （２0１３·北京卷）在△ABC 中，a ＝３，b ＝２错误!，∠B ＝２∠Ａ． （１） 求cosA 的值； （２） 求c 的值．解：（１） 因为a ＝３，b ＝２错误!，∠B ＝２∠Ａ．所以在△ABC 中，由正弦定理得错误!＝错误!.所以错误!＝错误!.故cosA ＝错误!.（２） 由（１）知cosA ＝错误!，所以sinA ＝错误!＝错误!.又因为∠B＝２∠A，所以cosB ＝２cos ２A —１＝错误!.所以sinB ＝错误!＝错误!. 在△ABC 中，sinC ＝sin （A ＋B ）＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝错误!. 所以c ＝sin sin a CA＝５．１． 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．２． 对于函数y ＝Asin （ωx＋φ）＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质． ３． 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．４．解三角函数的综合题时应注意：（１）与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；（２）将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin（ωx＋φ）＋B或y＝asin２x＋bsinx＋c；（３）换元方法在解题中的运用．请使用课时训练（B）第9课时（见活页）．[备课札记]。

芯衣州星海市涌泉学校§三角函数的综合应用【复习目的】理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联络起来；三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。

【课前预习】⊿ABC的内角满足t an si n0A A-<，cos si n0A A+>，那么A的范围是。

假设111c o s s i nθθ-=，那么sin2θ=。

由函数52s i n3()66y x xππ=≤≤与函数2y=的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是。

()f x是定义在〔0，3〕上的函数，图象如下列图，那么不等式()c o s0f x x<的解集是〔〕A．()()0,12,3⋃B．(1,)(,3)22ππ⋃C．()0,1,32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D．()()0,11,3⋃函数|si n|,[,]y x x xππ=+∈-的大致图象是〔〕【典型例题】例1函数2()s i n s i nfx x x a =-++.〔1〕当()0f x=有实数解时，〔2〕求a的取值范围；〔3〕假设x R∈，〔4〕有171()4f x≤≤，〔5〕求a的取值范围。

例2〔2021卷·22〕集合M是满足以下性质的函数()f x的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有()f x T+=T·()f x成立.〔1〕函数()f x=x是否属于集合M？说明理由；〔2〕设函数()f x =ax 〔a>0,且a≠1〕的图象与y=x 的图象有公一一共点，证明：()f x =ax∈M； 〔3〕假设函数()f x =sinkx∈M,务实数k 的取值范围. 【本课小结】【课后作业】〔2021春·16〕在∆A B C 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，a ，b ，c 成等比数列，且a c a cbc 22-=-，求∠A 的大小及b Bc sin 的值。

求函数111s i n c o s s i n c o s y x x x x =++，(0,)2x π∈的最小值。

高中数学备课教案三角函数的应用高中数学备课教案：三角函数的应用导言：三角函数是数学中一个重要且广泛应用的分支，它不仅在几何学和三角学中有着重要的地位，还在物理学、工程学、计算机科学等领域具有广泛的应用。

通过本教案，旨在帮助学生掌握三角函数的基本概念和应用，培养他们的解决实际问题的能力。

一、三角函数的基本概念1. 定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是一个角度的函数值与其对应三角比的关系。

2. 正弦函数：定义为对边与斜边的比值，用sin表示。

3. 余弦函数：定义为邻边与斜边的比值，用cos表示。

4. 正切函数：定义为对边与邻边的比值，用tan表示。

5. 基本性质：三角函数具有周期性、奇偶性、同角三角函数之间的关系等基本性质。

二、三角函数的应用1. 几何应用：三角函数在几何学中有着广泛的应用，可以用于求解角的正弦、余弦、正切值，从而计算三角形的边长、角度等。

(举例) 已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边长。

解析：根据勾股定理得到斜边长为5。

2. 物理应用：三角函数在物理学中有着重要的应用，例如描述波的振幅、频率、相位差等。

(举例) 一根弹簧的振动可以用正弦函数来表示，其振幅为2厘米，频率为5赫兹，初相位为0，求该弹簧的振动方程。

解析：根据正弦函数的一般式y=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角速度，t为时间，φ为初相位。

代入已知值得到振动方程为y=2*sin(10πt)。

3. 工程应用：三角函数在工程学中有广泛的应用，如测量物体的高度、距离等。

(举例) 在一座摩天大楼的平顶上，站立一个人往下看，夹角为30度，他发现下方有一辆汽车，用直线距离表示为100米，求汽车离摩天大楼的高度。

解析：根据三角函数的定义可得出汽车离摩天大楼的高度 h = 100 * tan(30°) = 100 * √3。

三、课堂活动设计1. 活动一：角度计算学生分组进行角度计算小游戏，每组派出一名学生站在教室前，其余同学根据他的位置确定角度，并利用三角函数计算出其值。

§3.2 三角函数的综合运用考情动态分析本节主要复习三角函数式的最值、三角函数在三角形中的应用以及以三角函数为工具解决一些实际问题.求三角函数式的最值,常见的方法有化为一个角的一个三角函数的形式,与二次函数相结合,利用三角函数的有界性,利用函数的单调性,以及常见的求函数最值的方法等.对三角形中问题的复习,主要是正、余弦定理以及解三角形,要掌握基本知识、概念、公式,理解其中的基本数量关系,对三角形中三角变换的综合题要求不必太难.总之,在复习中,要立足基本公式;在解题时,要注意条件与结论的联系;在变形过程中,要不断寻找差异,讲究算理.通过本节复习掌握三角函数综合问题的一般解法,以适应高考. 考题名师诠释【例1】(全国高考Ⅰ，19)△ABC 中，内角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,已知a,b,c 成等比数列，且cosB=43. (Ⅰ)求cotA+cotC 的值；(Ⅱ)设·BC =23,求a+c 的值. 分析：a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，且a,b,c 成等比数列，易知求解中要用到正弦定理；求cotA+cotC 的值，首先应该对其适当变形，变形时，既可用同角三角函数的关系式，也可用三角形的边角关系，然后根据变形后的具体形式计算.第(Ⅱ)问涉及平面向量的数量积，可以先得到ac 的值，再由余弦定理计算出a 2+c 2,即可得a+c 的值.解法1：(Ⅰ)由cosB=43得sinB =2)43(1-=47. 由b 2=ac 及正弦定理得 sin 2B=sinAsinC,于是cotA+cotC =A tan 1+C tan 1=A A sin cos +CC sin cos =C A A C A C sin sin sin cos cos sin +=BC A 2sin )sin(+ =774sin 1sin sin 2==B B B . (Ⅱ)由BA ·=23得 ca ·cosB=23. 由cosB=43，可得ca=2,即b 2=2. 由余弦定理 b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB,得a 2+c 2=b 2+2ac ·cosB=5,(a+c)2=a 2+c 2+2ac=5+4=9,所以a+c=3.解法2：(Ⅰ)由cosB=43得sinB =2)43(1-=47. 由a,b,c 成等比数列知 b 2=ac,由正弦定理得sin 2B=sinAsinC.如右图，AC 边上的高为BD.cotA+cotC=BD AD +BD DC =BDb . 又BD=csinA=asinC,则BD 2=acsinAsinC=b 2sin 2B,因此cotA+cotC=B b b sin =774. (Ⅱ)由BA ·=23得cacosB=23得，则ac=2.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accosB,且b 2=ac, 所以ac=a 2+c 2-3, (a+c)2=a 2+c 2+2ac=3ac+3=9.则a+c=3.点评：本题将三角函数、等比数列及向量知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理.这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养的要求.本题难易适中，容易入手，只要熟练掌握了三角函数的基础知识，就可以做出本题的大部分.所以复习时关键在于对基础知识的掌握，然后才是综合分析及灵活运用知识能力的培养.【例2】(山东烟台高三诊测，18)已知函数f(x)=·n ,其中=(sin ωx+cos ωx,3cos ωx),n =(cos ωx-sin ωx,2sin ωx)(ω>0).若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于2π.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=3,b+c=3(b>c)，当ω最大时，f(A)=1,求边b,c 的长.分析：(1)应先求出f(x)的解析式，相邻两对称轴间的距离为2T ，从而可得出ω的不等式.(2)由ω的范围得出ω的最大值，确定f(x)的解析式.由f(A)=1求出A 的值，再利用余弦定理得出a 、b 、c 的关系.解：(1)f(x)=·n =cos 2ωx-sin 2ωx+23sin ωxcos ωx=cos2ωx+3sin2ωx =2sin(2ωx+6π). ∵f(x)相邻两对称轴间的距离不小于2π，∴ωπ2≥2π， ∴0<ω≤1. (2)当ω最大时，ω=1，∴f(x)=2sin(2x+6π), ∵f(A)=1,∴2sin(2A+6π)=1,又6π<2A+6π<67π,∴2A+6π=65π,∴A=3π. 在△ABC 中，3=b 2+c 2-2bccos 3π,∴b 2+c 2-bc=3,又b+c=3,(b>c)∴b=2,c=1 评述：①三角与向量联系紧密，应予以关注；②在解三角形问题中，要善于利用正、余弦定理进行边角互化.【例3】(理)(浙江高考,17理)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且cosA=31. (1)求sin 22C B ++cos2A 的值; (2)若a=3,求bc 的最大值.解：(1)sin 22C B ++cos2A =21［1-cos(B+C)］+(2cos 2A-1) =21(1+cosA)+(2cos 2A-1) =21(1+31)+92-1=-91. (2)∵bca cb 2222-+=cosA, ∴32bc=b 2+c 2-a 2≥2bc-a 2. ∴bc ≤43a 2.∵a=3,∴bc ≤49. 当且仅当b=c=23时,bc=49.故bc 的最大值是49. 评述：本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识,考查运算能力.(文)(山东烟台5月适应性训练)已知向量a =(sin(θ-x),1),b =(1,-sin(θ+x)).(1)当x ∈R 时，恒有a ⊥b 成立.求角θ的值；(2)若f(x)=a ·b +2cos θ的最大值为0，且sin2θ=53，θ∈(-43π，π)，求cos θ的值. 解析：(1)由题意，知a ·b =0,∴sin(θ-x)-sin(θ+x)=0,∴cos θ·sinx=0.k ∈R ,∴cos(θ-x)=0,从而θ=k π+2π (k ∈Z ). (2)f(x)=-2cos θsinx+2cos θ=2cos(1-sinx),∵f(x)的最大值为0.而1-sinx ≥0，cos θ<0又sin2θ=2sin θcos θ>0,∴cos θ≤0,sin θ<0,从而θ在第三象限，∴θ∈(-43π，-2π)，2θ∈(-23π,-π),∴cos2θ=-54,cos θ=101022cos 1-=+-θ. 评述：这类题要能够熟记公式，仔细运算.解题时，要注意确定三角函数值的符号.【例4】若f(x)=1-2a-2acosx-2sin 2x 的最小值为f(a).(1)用a 表示f(a)的表达式；（2）求能使f(a)=21的a 值，并求当a 取此值时f(x)的最大值. 解：（1）f(x)=1-2a-2acosx-2sin 2x=1-2a-2acosx-2+2cos 2x =2(cosx-2a )2-21a 2-2a-1. ①当2a ＞1,即a ＞2且cosx=1时,f(x)取得最小值，即f(a)=1-4a ； ②当-1≤2a ≤1,即-2≤a ≤2且cosx=2a 时,f(x)取得最小值，即f(a)=-21a 2-2a-1； ③当2a ＜-1,即a ＜-2且cosx=-1时,f(x)取得最小值，即f(a)=1； 综上得 f(a)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<≤≤---->-.2,1,22,1221,2,412a a a a a a (2)若f(a)=21，则a 只能在［-2，2］内.∴-21a 2-2a-1=21，得a=-1，此时f(x)=2(cosx+21)2+21；当cosx=1时，f(x)有最大值5. 评述：用配方法来解关于sinx 或cosx 的二次三项式的最大（小）值问题，是一种常用的方法,但必须注意sinx 或cosx 的值域.。

微专题4 三角函数的综合应用1．熟练掌握三角函数式的恒等变形及求值、三角函数的图象及性质、正余弦定理在解三角形中的应用． 2．能结合三角知识解决与向量、不等式、导数的综合应用问题．考题导航题组一三角知识与向量的交汇问题 1．在△(1)若C ＝2B ，求cos B 的值； (2)若AB →·AC →＝CA →·CB →，求cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的值．1．设a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角，若a ∥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． 1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎭⎫2x －7π6． (1)求函数f (x )的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a 的最小值．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是________．1．某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求点A ，B 均在线段MN 上，点C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚 Ⅰ 内种植甲种蔬菜，大棚 Ⅱ 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．1．定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )＝8sin x －tan x 的最大值为________．冲刺强化训练(4)1．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．2．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值为_____． 3．已知x ＝1，x ＝5是函数f (x )＝cos ()ωx ＋φ(ω>0)图象上两个相邻的极值点，且函数f (x )在x ＝2处的导数f ′(2)<0，则f (0)＝________．4．设π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个零点，则函数f (x )在区间(0，2π)内所有极值点之和为________．5．已知函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为__________． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝______． 7．在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2A －cos 2A ＝2，则y ＝2sin 2B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值域是________．8．在△ABC 中，已知AC ＝3，∠A ＝45°，点D 满足CD →＝2DB →，AD ＝13，则BC 的长度为________． 9．在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________． 10．已知向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ，设f (x )＝m ·n ．(1)求函数f (x ) 的单调增区间；(2)在△ABC 中，若f (A )＝1，a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积．11．已知在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，且△ABC 的面积为9．(1)求AC 的长度； (2)当△ABC 为锐角三角形时，求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．12．如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中点P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ )为2π3、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计． (1)试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； (2)试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．。