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静力学第04章平面任意力系

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04.第四章 平面任意力系

04.第四章 平面任意力系
刚体在平面任意力系作用下的平衡条件: 由
FR
FR' = 0
MO = 0
得到：
( F x ) ( F x )
2
2 0Fx =Fra bibliotek0Fy = 0
MO=MO(F ) = 0
平面任意力系平衡方程的基本形式：
Fx 0 Fy 0 M O (F ) 0
杆的重量不计, 求铰链 A 的约束反力和杆DC所受的力。
F 解: (1) 取AB杆为研究对象 (2) 画受力图 (3) 列平衡方程 FAy FAx D F A l 45° C l B
FC
§4.3
平面任意力系的平衡条件
Fx = 0, FAx+ FC cos45º= 0 Fy = 0, FAy +FC sin 45°－F = 0 MA = 0, FAy
解： 取AB及重物作为研究对象 列平衡方程
C
A D B E 1m
P
3m C C
Q
2m
cos P F 0 0 ， F AB sin 30 0 F ， M x(F ) 0 ，FF Ax F F BCcos 3030 0 AD Q AE 0 sin 30 F F 0 M y( 0 0 ，F F DB BC sin 30 F P Q Q 00 0 AB M ( F )) ， ，P Ay ABF Q EB P AD AE F AB sin 30 P AD Q AE 0 MA( ) 0 0 F M ( FF 0 ，P DBAC EB AD Q AE0 0 M ( F )) ，， BC Q P F AB
§4.3

平面任意力系

平面任意力系

平面任意力系
平面任意力系是探究力学问题中采用的一种数学模型。

该模型被广泛用于研究坐标系内的任意力的作用的原点以及其对物体的影响。

它是一种理论模型，用于理解物体在任意力作用下的受力方向和大小。

平面任意力系以三个坐标轴x, y以及z为基础，以这三个轴上的一组受力大小作为决定物体位置、速度和加速度的参数来描述它。

在静力学中，平面任意力系经常被用来模拟物体受若干外力作用下的质点力学运动。

假设物体受到x轴、y轴和z轴上的n条外力作用，其受力状态可以用平面任意力系来描述。

这些外力在平面任意力系上唯一确定，根据它们的方向以及大小可以计算得到受力物体的转动惯量和转矩。

在运动学中，平面任意力系也被用来描述物体的位置、速度和加速度情况。

根据物体受到的初始加速度以及力学运动的运动方程，可以求得物体在任意时刻的位置、速度和加速度。

这也可以看作是在一组外力的作用下，物体在平面任意力系中运动的过程，通过求解平面任意力系可以计算出物体在任意时刻的位置、速度和加速度。

平面任意力系是一个复杂的理论模型，但它可以简单有效地用于模拟坐标系内多外力作用情况下物体受力情况以及物体的运动状态，在力学和运动学方面都显示出其重要的应用价值。

理论力学平面任意力系资料课件

理论力学平面任意力系资料课件
稳定性判定准则
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤

第四章平面任意力系

第四章平面任意力系
ΣMB=0 3）解方程
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点平移
r
r F F

力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？

力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0

静力学-4任意力系平衡

静力学-4任意力系平衡
MO = ∑MOi =
i =1 n
∑M
i =1
iOx
⋅ i + ∑MiOy ⋅ j + ∑MiOz ⋅ k
i =1 i =1
n
n
FR = ∑Fi = ∑Fx ⋅ i + ∑Fy ⋅ j + ∑Fz ⋅ k i i i
i =1
n
n
n
n
MO = ∑MOi =
i =1
n
∑M
i =1
i =1 n
iOx
⋅ i + ∑MiOy ⋅ j + ∑MiOz ⋅ k
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0
∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
x y z
z
重为W 例 ：重为 的均质正方形板 (边长a)水平支承在铅垂墙壁 边长a)水平支承在铅垂墙壁 a) 上，求绳1、2的拉力, BC杆 求绳1 的拉力, 杆 的内力和球铰链A的约束力。 的内力和球铰链A的约束力。 解：[板] 受力分析如图 基本形式 1 A 2
x
y
∑M (F) = 0,
AC
∑
MEF (F) = 0,
FG
∑M (F) = 0,
∑
MBC (F) = 0,
b −G − F b − F cos 45o ×b = 0 2 3 2
F = −2 2G 3
二、特殊力系的平衡条件
汇交力系 平面汇交力系 空间汇交力系 平面力偶系 力偶系 空间力偶系 平面平行力系 平行力系 空间平行力系 平面任意力系 任意力系 空间任意力系 一般力系） （一般力系）
如图所示， 例 如图所示，用起重机吊起 重物。起重杆的A端用球铰链 重物。起重杆的 端用球铰链 固定在地面上， 固定在地面上，而B端则用绳 端则用绳 CB和DB拉住，两绳分别系在 拉住， 和 拉住 墙上的C点和 点和D点 连线CD平 墙上的 点和 点，连线 平 行于x轴 已知CE=EB=DE,角 行于 轴。已知 角 α=30o ，CDB平面与水平面间 CDB平面与水平面间 的夹角∠ 重物G=10 的夹角∠EBF= 30o ,重物 重物 kN。如不计起重杆的重量 试 。如不计起重杆的重量,试 求起重杆所受的力和绳子的拉 力。

工程力学-4-平面任意力系

工程力学-4-平面任意力系

Fn
cos( FR ,
i)
Fx FR
cos( FR ,
j)
Fy FR
y
FR′
j MO
Oi
x
3.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
n
n
MO MO (F i ) (xi Fyi yi Fxi )
3.2.4 平面平行力系的平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面
平行力系。
y
平面平行力系作为平面任意力系 的特殊情况，当它平衡时，也应满足
F1
F3 Fn
平面任意力系的平衡方程，选如图的
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
Fy 0; MO (F ) 0
轮子的反力？
解：⑴ 首先考虑满载时，起重
机不向右翻倒的Q：
mB (F ) 0
Fx FR
200 250
0.8
∴ =36.9°
mA mA(Fi ) F2 6 506 300Ncm
2、简化最终结果
主矢 FR 250N 方向： =36.9°
y F1
mA
F2
B
R R
A
4
6
3C
F3 x
主矩 mA 300N cm
最终结果 合力 大小：FR FR 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
A
x
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。

第4章平面任意力系


平面任意力系
4
图示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支 座约束力所组成的力系，在一定条件下，可视为一 个平面任意力系。
工程力学教程电子教案
平面任意力系
5
§4-1 力线平移定理
定理 ：
作用在刚体上A点的力 F ，可以平行移动到
刚体上任意一点B，但必须同时附加一个力偶，其
力偶矩等于作用在A点的原来的力 F 对平移点B之
平面任意力系
35
思考题 4-5
(3) 由右图所示的受力图，试按
M
A
(
F
)
0
M
B
(
F
)
0
MC(F) 0
看可否求出 FAx , FAy , FT 。
工程力学教程电子教案
平面任意力系
36
平面任意力系平衡方程的其他形式：
1. 二矩式
M
A
(F
)
0
MB(F) 0
Fx 0
注意：A、B两点连线不垂直于x 轴。
2. 三矩式
M
A
(
F
)
0
M
B
(
F
)
0
MC(F) 0
注意：A、B、C 三点不在一条线上。
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平面任意力系
37
思考题 4-6
由下图所示的受力图，可否列出下列四个独立
的平衡方程？
M
A
(
F
)
0
M
B
(
F
)
0
MC(F) 0
Fx 0
为什么其中必有一个是从属的？
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平面任意力系

平面任意力系

力线平移定理
4
为什么如此攻螺纹会断？ 为什么如此攻螺纹会断？
5
平面任意力系向作用面内一点简化‧ 二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
称点O为简化中心 称点 为简化中心
6
平面力系向作用面内一点简化
称点O为简化中心 称点 为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为 R’ 平面汇交力系， 、 、 平面汇交力系 合力为F M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为 O 平面力偶系，合力偶矩为M
=
=
处的约束力可简化为两个约束力F 固定端A处的约束力可简化为两个约束力 Ax、FAy和一个 矩为ＭA的约束力偶
9
动画
插入端约束实例
10
三、平面任意力系的简化结果分析
1．简化为一力偶的情况 则原力系简化为一个合力偶。 若FR′=0，MO≠0，则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为 则原力系简化为一个合力偶
第 3章
平面任意力系
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化 第2节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 第3节 物体系的平衡•静定和超静定问题 物体系的平衡• 第4节 平面简单桁架的内力计算
1
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系实例
2
各力的作用线在同一平面内， 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行 的力系叫平面任意力系 平面任意力系。 的力系叫平面任意力系
O i
0 0
平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件是： 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影代数和分别等于零， 标轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的 矩的代数和也等于零。 矩的代数和也等于零。 一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3个 一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3 独立的平衡方程式。 独立的平衡方程式。 22

平面任意力系

y
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l

4章 平面任意力系


30°
3m
F
B
D
Fq
1m
F
P
y
0 FAy P F sin30 0
0
FAy
M 0 M A A A x 0 0 M M F 1 F cos30 3 F sin30 1 0 FAx A q
解得：
FAx 316.4kN（方向如图） FAy 300 kN（方向如图） M A 1188 kN m(顺时针)
' FR Mo O' ' FR=源自 FR FRO
O '' d FR
O
'
=
O
d
O'
作用线在o点的哪一侧，可以由主矩的MO符号决 定。
合力矩定理（The law of the resultant moment）：
平面任意力系的 合力FR 对作用面内任一点的 矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 M O FR M O Fi
a RB a q a a m P 2a 0 RB a q a 2 m P 2a 0 2 qa P 0 F 0 Y R y A B M ( F ) 0 ; M A (F ) 0 ;
A
X
A
A
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN)
n

平面任意力系向O点简化结果：
y Mo O
FR
x
力
该力系的主矢 （Principal vector） 。
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②二矩式
Fx 0 mA(F) 0
mB (Fi ) 0
条件：x 轴不垂 直AB连线 B
A
O
FR
x
证明：必要性条件：简单，只要平衡，上式一定 成立。充分条件：
力系简化有三种可能：合力偶、合力和力系平
衡。假设力系不平衡。由条件，不可能简化成
合力偶，因此必简化为合力FR,且作用线过A,B两
点。由
1
a
第四章 平面任意力系
§4-1 力的平移 §4-2 平面任意力系的一点简化 §4-3 平面任意力系的平衡条件 §4-4 刚体系的平衡 §4-5 静定与静不定问题的概念
2
a
§4-1 力的平移
力的平移定理：作用于刚体上任一点的力， 平移到刚体上任一点，不改变对刚体的作 用效应，但需增加一附加力偶，附加力偶 矩矢等于原力对新作用点的矩矢。
F1 A1
O An
A2
Fn
F2
AM1 1 F1’
M2 O An
F2’ A2 F2
Mn Fn’ Fn
O Mo FR
5
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系）
汇交力系 力 ， R'(主矢) ，(作用在简化中心)
力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
FRx X F1 F2 cos 232.9kN
FRy Y P1 P2 F2 sin 670.1kN
M o P1 1.5 P2 3.9 F1 3 2355KN m
13
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
式中 ACB arctg AB 16.7
CB
主矢FR’的大小
限制条件
要求x轴不平 行y轴
要求AB 联线 不与x 轴垂直
要求A、B、C
三点不共线
18
a
§4-3 平面任意力系的平衡条件
一般力系的平衡方程说明
①一矩式，二矩式，三矩式，三种形式的 平衡方程是完全等价的。可视具体问题而 选用其中的任一种。但都只有三个独立方 程，只能求出三个未知数。
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 R
合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n
M O mO (Fi )
i 1
mO (R )Rd M O (主矩)
n
M O (R )mO (Fi )
———合力矩定理
i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力
系中各力对于同一点之矩的代数和。
12
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
例重力坝受力如图所示。设
P1=450kN ,P2=200kN,F1=300kN
,1)先将力系向点 O简化，求主矢FR’
和主矩MO，如图(b)。由图(a)计算主矢FR’
B
在x 、y 轴上的投影。
6
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3
mO (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
主矢 R 方向： tg1 Ry tg1 Y
（移动效应）
Rx
X
简化中心 (与简化中心位置无关)
此力为原力系的合力， 合力的作用线通过简化中 心。
合力 R
MO ≠0
大小等于 主矢
此力为原力系的合力， 合力的作用线距简化中心 的距离 d M O R
10
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
平面一般力系简化的结果 一 般力系
汇交力系
力偶系
合力
合力偶
FR=Fi
MO= MO ( Fi )
11
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
R’ = 0
O
Mo
主矩 合成结果
说明
MO ≠ 0 合力偶
此力偶为原力系的合力偶， 由简化结果彼此等效知： 此情况下，主矩与简化中
心 O 无关。
MO = 0 平 衡
§4-3 节将重点讨论。
9
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
情况二：主矢不等于零，
R
即 R’≠ 0
O
主矩 合成结果
说明
MO = 0
合力 R
一、平面一般力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主 矢 平衡FR条’和件主；矩②MMOO都=0等力于偶零平，衡即条①件F。R’=0 力
一般力系的平衡方程 Fx 0
①一矩式(基本形式） Fy 0
MO(F) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
15
a
§4-3 平面任意力系的平衡条件
FR X 2 Y 2 709.4kN
tg FRy / FRx, 70.84
（2）合力的大小和方向与主矢相同。其作用线 位置根据合力矩定理求得（图），即
M O M O FR M O FRx M O FRy
解得： x MO 3.514m
FRy
14
a
§4-3 平面任意力系的平衡条件
Fx
0 FR
且
cos 90
16
0
FR
0
a
§4-3 平面任意力系的平衡条件
③三矩式
mA(F) 0
mB (F ) 0
条件：A,B,C不 在同一直线上
mC (F ) 0
证明：必要性条件：简单，只要平衡，上式一定 成立。充分性条件：
力系简化有三种可能：合力偶、合力和力系平衡。
假设力系不平衡。由条件，不可能简化成合力偶，
则必简化为合力FR,且作用线过A,B,C三点。而由
附加条件，三点不共线17。只可能是FR=0。
a
§4-3 平面任意力系的平衡条件
总结：平衡方程的三种形式
形式
基本
二力矩
三力矩
平衡 方程
∑X = 0 ∑Y = 0 ∑MO(F) = 0
∑X = 0 ∑MA(F) = 0 ∑MB(F) = 0
∑M A (F)= 0 ∑M B (F)= 0 ∑M C (F)= 0
[因主矢等于各力的矢量和]
7
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 + —
（转动效应）简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
固定端（插入端）约束：在工程中常见的
雨搭
车刀
8
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
二、平面力系的简化结果分析 情况一：主矢等于零，即
F
B
d
A
F’
F
B
d
A
F’
B Md
A
F” F=F’=F”
M=F*d
3
a
§4-1 力的平移
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系
力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d 有关，M=F*d 。
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
4
a
§4-2 平面任意力系的一点简化
一、平面任意力系的一点简化 F1