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第四章 分析力学基础 机械动力学课件

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分析力学基础

分析力学基础

➢ 系统的动能
分析力学基础
T 1 {q}T [M ]{q} 2
✓在定常约束情况下，动能T是广义速度的二次齐次函 数（或称二次型） ✓系统的动能T除了广义速度全等于零外，它总是大于 零，因此动能T具有恒正的性质。 ✓在线性代数里称T这样的函数为正定二次型，相应地 称它的系数矩阵[M]是正定的。
✓对于正定的矩阵，它的全部主子行列式的值都大于零。
k
mk rk rk
动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数
➢ 动能和势能
分析力学基础
讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标
只是广义坐标的函数而不显含t
rk
rk
(q1
,
q
2
,,
qn
)
rk rk
n il
n
rk
j1 qi
rddk rtk
in1rkqrki
n
qi
i 1
rk q j
qi q j
n
mij qi q j
j 1
由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定 常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。
在微振动理论中，若广义座标一律按平衡位置取作原
点，则振动过程中qi是偏离平衡位置的小量，将系数 mij在平衡位置附近按台劳级数展开得
mij
mij
0
n s 1
mij qs
✓ 但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常 常要引入那些未知的约束反力。
✓ 对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、 加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些 我们不必知道的未知约束反力。
➢ 引言
分析力学基础

机械动力学课件

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三、 研究对象--以机械为研究对象
三大典型机构
连杆机构 凸轮机构 齿轮机构 组合机构
四、其它
1.学习机械动力学目的、意义 学习动力学分析问题的思想和基本方法，能够
解决一般动力学问题。 2.教材（见前言） 3.考核方式
开卷。
第一章 单自由度的机械系统动力学分析
§1-1 利用动态静力法进行动力学分析 一、思路
R F2
S = h φ ⋅ϕ , J1A , m2 , M1 , F2 S
求：角加速度
解：选凸轮为等效件
⎧ ⎪⎪
MV
=M
−F
v
ω
M 1 (驱)
r0
α
⎨
⎪ ⎪⎩
JV
=
J1A
+
S = h ϕ ⇒ φ
m2
S
ϕ
(v
ω
=
)2
h
φ
=
v
ω
MV
=
JVϕ ⇒
M
− F(h)
φ
= (J1A
+
m2
(h
φ
)2
)ϕ
解：选凸轮为等效件
M 1 (驱)
r0
α
MV
=
M1
−
F2
v2
ω1
S
=
2kϕϕ
⇒
v2
ω
=
S
ϕ
=
2kϕ
JV = J1A + m2 (2kϕ)2
M1
−
2kϕ F2
=
( J1 A
+
m2 (2kϕ)2 )ϕ +
1 ϕ 2
2
⋅ m2 (2k)2

大学物理力学(全)ppt课件

大学物理力学(全)ppt课件
碰撞后两物体粘在一起以 共同速度运动的碰撞。此 时机械能损失最大，动能
之和最小。
05
流体力学基础
流体的性质与分类
流体的定义
流体是指在外力作用下，能够连续变形且不能恢复原 来形状的物质。
流体的性质
流动性、压缩性、黏性。
流体的分类
按物理性质可分为气体和液体；按化学性质可分为纯 净物和混合物。
流体静力学
重力势能
重力做功与路径无关，只与初末 位置的高度差有关。 03
机械能守恒定律
04 只有重力或弹力做功的物体系统 内，动能与势能可以相互转化， 而总的机械能保持不变。
刚体定轴转动动力学
刚体定轴转动的描述
角速度、角加速度和转动惯量等物理量的定义和 计算。
刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于 刚体转动动能的变化。
弹性势能与动能之间的转化
在振动过程中，物体的动能和弹性势能不断相互转化。
弹性碰撞与非弹性碰撞
弹性碰撞
碰撞过程中，物体间无机 械能损失的碰撞。碰撞后 两物体以相同的速度分开
，且动能之和不变。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间有机 械能损失的碰撞。碰撞后 两物体以不同的速度分开
，且动能之和减小。
完全非弹性碰撞
伯努利方程的应用
伯努利方程在流体力学中有广泛的应用，如计算管道中流体的流速和流量、分析机翼升力原理、解释 喷雾器工作原理等。同时，伯努利方程也是一些工程领域（如水利工程、航空航天工程等）中设计和 分析的重要依据。
06
分析力学基础
约束与自由度
约束的概念
约束是对物体运动的一种限制，它减少了物体的自 由度。
牛顿运动定律
牛顿第一定律（惯性定律）

第四章 分析力学基础 机械动力学课件

第四章 分析力学基础 机械动力学课件

F xi x V i， F yi y V i， F zi z V i
于是有
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi)
(xVi xi
V
yi
yi
zVi zi
)
V
这样，虚位移原理的表达式成为
V0
（3－12）
上式说明： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。
如果用广义坐标q1， q2， ， qN表示质点系的位置，则质 点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V (q 1 ， q 2 ， ， q N )
在势力场中可将广义力 Q k 写成用势能表达的形式 根据广义力的表达式（3－7）
Qk
(Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)
(V xi V yi V zi ) xi qk yi qk zi qk
PC2P， FA1 2PCP 因此平衡时，要求物块与台面间静摩擦因数
f FA 0.5 2P
如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应
为各点坐标的函数，记为
V V ( x 1 ， y 1 ， z 1 ， ， x B ， y B ， z B )（3－11）
此时虚功方程（3－6）中各力的投影， 都可以写成用势能V表达的形式，即：
这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定， 它的自由度数为2。
一般来讲，一个n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束 作用，则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的。
则式（3－6）可以写成
N
WF Qkqk 0
（3-8）
k1
上式中 Qkqk 具有功的量纲，

机械动力学

机械动力学

机械动力学谷物淸选脯白勺运动学和动力学仿真谷物淸选蹄的构at与工作原現（―）杂占谷物淸选iW的构at与工作eg （二）・£負鱼」一«•■二7脱出物的运动学和动力学仿真模型脱出物在筛面的运动学和动力学仿真（一）初始化设计变量参数; 构理参数化棋型； 定义荷载并求解; 提取状态变址数值； 进行参数化分析； 定义优化变量； 设定约束条件； 进行优化分析O 脱出物在清选筛面的运动学动力学仿真（二） |;| 优化设计过程q lud&fy D・«A・n V HC i«Lvl> ・•・St.«n4u'4 ▼alue U 6Value 冷♦/- r«c«o1 ftal.Qw V0M 二J-»•：!«[11-WO♦ >•!(<t*]10.0厂AU E 0>qmqg x r<Mtr Utt of «12w»4—OK 1 1 Cootl 1设计参数变化对加速度的影响ol曲柄长度Lg、连杆长度S B、摇杆长度L BC，Lm、摆杆长度L申曲柄的转速：依次选取五个设计变量，DV-1、DV-2、DV-3、DV-4、DV-5!1DV^5DV DV DV DV4✓z4Xz选择曲柄转速DVJ5、摇*长度DV_3和摆杆氏度DV24作为关從参数电设计变量与约束条件设计变最：X — [xj •入2 ■入3 —[羽.r•F戌屮，泊选帅机恂曲抽转迷•单位为曲mr-消选》机构痛杆K腹.虹位为m：O—机初连朴长度.单•位为m・约束条件为:0・12m< r空・15m0.10m匸r； <0J4m 280r/min£zr 三340rmin 转换为设汁变昼为：OJ2m：a)V_3<0-15m0・10mvDV_4 <0.14m1680° s^DV 5 仝2040° /s伏化设计8目标函致就是炎d找出能便筛I：的杯粒运幼过冷中加速度较人.便r脱出物分A和脱出物分反皿优的机构莎数。

分析力学教学课件

分析力学教学课件

v0
drr
dr M'
dr = dre + drr = MM‘ dre = v0dt ---牵连位移 drr ---物块相对斜面的位移
dre
δr2
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向下的 δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为 δr1，δr2都是约束所容许的。
f(x,y,z)0 ——约束方程
f(x x ,y y ,z z ) 0
因此: 平面图形上任意一点B的运动可用合成运动的概念进行
分析，其速度可用速度合成定理求解。
2. 速度投影定理
定理: 同一瞬时，平面图形上任意两点的 速度在这两点连线上的投影相等。
反映了刚体不变形的特性：
因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在 这两点连线上的投影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短， 这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动， 而且也适用于刚体的一般运动。
• 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯
上，把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体 。
• 主动力和约束力（或约束反力）
• 约束力（或约束反力）——把约束对物体的作用 力称为约束力。
• 主动力——作用于被约束物体上的除了约束以外的 力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压 力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。
l2 cos2 l2 sin2
对于有n个质点的质点系，若有s个完整约束组成，则其自由
度N = 3n－ s，可选N个广义坐标 q1， q2 ，…，qN。
则各质点的坐标可由广义坐标表示为：
xi yi
xyii((qq11,,qq22,, ,,qqNN))

机械动力学基础PPT学习教案


其偏心的质量可能分布在几个不同的回转平
面内在，这如种图情况所下示，凸即使轮转轴子。的质
心位于回转轴线上，满足了静平衡的
条件，但由于各偏心质量所产生的离
心惯性力不在同一回转平面内，因而
将形成惯性力偶矩，仍会在支承中引
起附加的动载荷和造成机械振动。这
类转子的不平衡状态称为动不平衡，
而对其平衡称为动平衡。 第10页/共42页
为了使该空间力系及由其各力构成的惯性力偶矩得以平 衡，我们可以根据转子的结构情况，选定两个平衡基面Ⅰ和 Ⅱ。根据理论力学中一个力可以分解为与其相平行的两个分 力的原理，将上述各个离心惯性力分别分解到平衡基面Ⅰ和
Ⅱ上。当转子以等角速度 回转时，这些偏心质量所产生的
离心惯性力 P1 、P2 、P3 将形成一个空间力系。
Wd = Wr + W f + E
第16页/共42页
2．稳定运行阶段
机械系统速度波动及调节
起动阶段完成之后,机械进入稳定运行阶段。此时,机械原
动件以平均角速度 m 作稳定运转。此时E =0
一般情况下，在该阶段机械原动件的角速度 会出现不大 的周期性波动，即在一个周期T内，各个瞬时 略有升降，但
p 的方向随转子的转动而发生周期性变化。 对于转子的平衡，我们首先在设计时就需要根据转子的 结构和质量分布等情况进行平衡计算，使其在工作时的惯性力 在理论上达到平衡。至于因制造不精确和材质不均匀等因素而 导致的不平衡，则需要利用实验的方法加以平衡。
第5页/共42页
刚性转子的平衡
一） 转子的平衡计算
的角加速度d 减小，从而使机械的运转趋于平稳。
dt
第22页/共42页
机械系统速度波动及调节
产生周期性速度波动的原因

机械动力学


分类
水力机械
热力发动机
有水车、水磨、水轮机等。20世纪以来，利用水轮机发电的水电站日益增多，因为水电站具有运行费用低、 无污染、取用不竭等优点。但是兴建水库、水坝，初始投资较大、建设时间较长，而且对生态平衡、地质力态平 衡也有影响。中国水能蕴藏量约为 680兆瓦，居世界之首，很有开发和利用的余地。
目的
研究目的：分析和综合两个方面，分析：研究现有的机械； 综合：设计新机械使之达到给定的运动学,动力学要求。
问题
机械动力学 正问题：给定机械的输入力合阻力的变化规律，求解机器的实际运动规律； 反问题：已知机构的运动和阻力，求解应施加于原动构件上的平衡力，以及各运动副的反力。
阐述
为简化问题，常把机械系统当作具有理想、为稳定约束的刚体系统处理。对单自由度的机械系统，用等效力 和等效质量的概念，可以把刚体系统的动力学问题转化为单个刚体的动力学问题；对多自由度机械系统动力学问 题一般用拉格朗日方程求解。
机械动力学研究的内容包括6个方面：（1）在已知外力作用下求机械系统的真实运动规律 ；（2）分析机械 运动过程中各构件之间的相互作用力；（3）研究回转构件和机构平衡的理论和方法；（4）研究机械运转过程中 能量的平衡和分配关系；（5）机械振动的分析研究；（6）机构分析和机构综合。
简介
相关书籍 机械动力学是研究机械在力的作用下的运动和机械在运动过程中产生的力，并从力和运动相互作 用的角度进行机械的设计与改进的科学。
谢谢观看
平面或空间机构中包含有往复运动和平面或空间一般运动的构件。其质心沿一封闭曲线运动。根据机构的不 同结构，可以应用附加配重或附加构件等方法全部或部分消除其振颤力。但振颤力矩的全部平衡较难实现。
理论及应用
1.分子机械动力学的研究：作为纳米科技的一个分支，分子机械和分子器件的研究工作受到普遍。如何针对 纳机电系统(NEMS)器件建立科学适用的力学模型，成为解决纳米尺度动力学问题的瓶颈。分子机械是极其重要的 一类NEMS器件．分为天然的与人工的两类。人工分子机械是通过对原子的人为操纵，合成、制造出具有能量转化 机制或运动传递机制的纳米级的生物机械装置。由于分子机械具有高效节能、环保无噪、原料易得、承载能力大、 速度高等特点，加之具有纳米尺度，故在国防、航天、航空、医学、电子等领域具有十分重要的应用前景，因而 受到各发达国家的高度重视。已经成功研制出多种分子机械，如分子马达、分子齿轮、分子轴承等。但在分子机 械实现其工程化与规模化的过程中，由于理论研究水平的制约，使分子机械的研究工作受到了进一步得制约。分 子机械动力学研究的关键是建立科学合理的力学模型。分子机械动力学采用的力学模型有两类，第一类是建立在 量子力学、分子力学以及波函数理论基础上的离散原子作用模型。在该模型中，依据分子机械的初始构象，将分 子机械系统离散为大量相互作用的原子，每个原子拥有质量，所处的位置用几何点表示。通过引入键长伸缩能， 键角弯曲能，键的二面角扭转能，以及非键作用能等，形成机械的势能面，使系统总势能最小的构象即为分子机 械的稳定构象。采用分子力学和分子动力学等方法，对分子机械的动态构象与运动规律进行计算。从理论上讲， 该模型可以获得分子机械每个时刻精确的动力学性能，但计算T作量十分庞大，特别是当原子数目较大时，其计算 工作量是无法承受的。第二类模型为连续介质力学模型。该模型将分子机械视为桁架结构，原子为桁架的节点， 化学键为连接节点的杆件，然后采用结构力学中的有限元方法进行动力学分析。

王振发版分析力学课件第4章力学的变分原理

dt dt
q d q
dt
变分与对时间的积分的运算次序也可以相互交换
：
t2 q ( t) d tt2[ q ~ ( t) q ( t)d ] tt2q ~ ( t) d t t2q ( t) dt
t1
t1
t1
t1
t2 q(t)dt (4-1b) t1
变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分 的变分.
当 0 时，q(,t)q(t) ，就是欲求的函数 q q(t) 。
因 可为不同的值，因此泛函 J 也是 的函数，即
J()t2 F[q(,t)q ,(,t)t,]dt t1
泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。
由函数的极值条件
J
0
0
J 0
0
得 J 0 *该式说明泛函的极值条件是泛函的变分等于零.
王振发版分析力学课件 第4章力学的变分原理
力学原理：
不需经过证明，在实践中靠归纳得出的力学的最基 本最普遍的规律。
力学原理分为两大类：
不变分原理和变分原理；
每一类可分为两种形式：微分形式、积分形式。
不变分原理： 反映力学系统真实运动的普遍规律，如果原理本身
只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理， 如达朗伯原理就是不变分微分原理；如果原理是说明一 有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，如机 械能守恒原理即不变分的积分原理。
qktt1 2t1 t2kN 1(d dt q L k q L k)
qkdt
由于始末两点固定，所以上式右边第一项为零，则上式变为
t1 t2Ld tt1 t2kN 1(d d tq L k q L k)qkdt
根据泛函的极值条件，此式应为零。由于各广义坐标是相互独 立的，故只有

机械动力学基础


•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午10时2 3分44 秒下午1 0时23 分22:23:4421.7. 22
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.2221.7.2 222:23:4422:23 :44July 22, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 22日星 期四下 午10时 23分44 秒22:2 3:4421. 7.22
重Q 的大小随之确定，安装方向即为向量图上w所指方向。
• 为了使设计 出来的转子重 量不致过大， 一般应尽可能 将 r 选大些， 这样可使Q些。
• 转子平衡后，其总重心与回转轴线相重合。
16
• 若回转件的实际结构不允许在向径r的方向上安装配 重，
• 也可以在向径 r 的相反方向，即在向径r′的方向上 去掉一部分材料Q ′（ Q ′ r ′ = Q r ），使构件得到 平衡。
25
❖注意
⒈由于动平衡同时满足静平衡的条件，故经过动平衡 的回转件一定是静平衡的，反之，经过静平衡的回转件不 一定是动平衡的。
⒉对于重量分布在同一平面的回转件，在它达到静
平衡以后，可以认为也达到了动平衡。
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这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定， 它的自由度数为2。
一般来讲，一个n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束 作用，则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的。
由这些约束方程，可将其中s个坐标表示成其余3n-s个坐标的 函数，这样该质点系在空间中的位置，就可以用N=3n-s个独 立参数完全确定下来。
×
(F i F I) ir i 0
F i F iix F iy j F ik z r i x ii y ij z ik
F I i m ix i i m iy ij m iz ik
得到：
n [F i(x m i x i)x i (F iy m i y i)y i (F iz m i z i)z i] 0
以及重物A与水平面间的静滑动摩擦因数。
解： 系统具有两个自由度，
选取重物A向右的水平坐标 x A 和
重物B向下的铅直坐标 y B 为广义坐标，
则对应的虚位移为 x A和 y B。
此时除重力外，重物A与台面间的摩擦力FA 也应视为主动力
首先令 x A 向右， yB 0
此时重物C的虚位移 yCxA/2，方向向下。
将式（e）代入上式， 得
Q 1 ( F A F B ) a si1 n F ca o 1 s
保持 1不变，只有 2 时，
如图所示， 由式（b）的变分，
可得另一组虚位移
y A 0 ， y B b s2 i2 n ， x B b c2 o 2s
代入对应于 2 的广义力表达式，得Q2 源自W 22 FAyAF B2yBFxB
FBbsin2Fbcos2
例 3-2： 如图所示，重物A和B分别连接在细绳两端，重
B在物重动A量放滑为置轮P 在H的粗，轴糙不心的计上水动挂平滑一面轮重上H的物，重C重，量物设。B重绕物过A定重滑量轮为E铅2P直，悬重挂物，
试求：平衡时重物C的重量
PC
PC2P， FA1 2PCP 因此平衡时，要求物块与台面间静摩擦因数
f FA 0.5 2P
如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应
为各点坐标的函数，记为
V V ( x 1 ， y 1 ， z 1 ， ， x B ， y B ， z B )（3－11）
此时虚功方程（3－6）中各力的投影， 都可以写成用势能V表达的形式，即：
解： 取整个滑轮系统为研究对象，系统具有理想约束。
系统所受的主F 动 I 1 力 为 m m11 ga 和1 ， mF 2 gI 2 ， 惯 性m 力2 a 为2
给系统以虚位移 s1 和 s 2 ，由动力学普遍方程得 ( m 2 g m 2 a 2 ) s 2 ( m 1 g m 1 a 1 ) s 1 0
设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质 量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力 的合力为FNi .
如果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔 原理，Fi 、Fni、 FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平 衡力系，质点系具有理想约束.
应用虚位移原理，得到：
(F i F I) ir i 0
F xi x V i， F yi y V i， F zi z V i
于是有
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi)
(xVi xi
V
yi
yi
zVi zi
)
V
这样，虚位移原理的表达式成为
V0
（3－12）
上式说明： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。
或
ga12a1R0
考虑到运动学关系
aa1Ra2R
联立式（a）（b）（c）解出
a 4g 5
（a） （b） （c）
§ 3-4 第一类拉格朗日方程
引入符号
fk fkifk jfkk ri xi yi zi
对式（3-3）两边取变分
（3-16）
i n1 frk i ri 0 (k1， 2， 3， ， s) （3-17）
对于随遇平衡，系统在某位置附近其 势能是不变的，所以其附近任何可能 位置都是平衡位置。
对于一个自由度系统，系统具有一个广义坐标q
因此系统势能可以表示为q的一元函数，即V V(q) 当系统平衡时，根据式（3－14），在平衡位置处有
dV 0 dq
如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处。系统势能 具有极小值，即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零。
d 2V dq 2
0
上式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。
对于多自由度系统平衡的稳定性判据可参考其他书籍。
例 3-3：如图所示一倒置的摆，摆锤重量为P ，摆杆长度为l，在
摆杆上的点A连有一刚度为k的水平弹簧，摆在铅直位置
时弹簧未变形，设OA=a，摆杆重量不计。
试确定：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。
轮I可绕轴O转动，轮II绕有细绳并跨于轮I上，当细绳直线 部分为铅垂时，求轮II中心C的加速度。
解： 研究整个系统，设I,II的角加速度分别为 a1，a2 ，
轮II质心C的加速度为a，则系统的惯性力系为
F 1 m ， M aI1 1 2 m 2 a 1 R ， M I2 1 2 m 2 a 2 R
（a） （b）
故
yA 1 a si1 n ， yB 1 a si1 n ， xB 1 a co 1s
yA 20， yB 2 bsin 2， xB 2 bco 2s
代入式（a），系统平衡时应有
Q Q 1 2 (F F B A b sF i Bn )2a sF in c 1b o F 2sc a0 o 1s0
22
V1(ka2 P)l2
2
将势能V对求一阶导数 有
dV (ka2 Pl) d
由 d V 0 得到系统的平衡位置为 0 d
为判别系统是否处于稳定平衡，将势能对 求二阶导数，
得
d2V k a2 Pl
d 2
对于稳定平衡，要求
d 2V d 2
0
即
ka2Pl0 或
a Pl k
§3-3 动力学普遍方程
第三章 分析力学基础
§ 3－1 自由度和广义坐标
在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数z目等于
系统的自由度数。
例如: 质点M被限定只能在球面
(x a )2 (y b )2 (z c )2 R 2 （3－1）
M
的上半部分运动，由此解出：
y
zcR 2 (x a )2 (y b )2 （3－2） x
此系统具有两个自由度，
M
1 I
o
取轮I、II的转角 1，2为广义坐标
令1 0， 2 0，
则点C下降 hR2 。
根据动力学普遍方程
m h g F 1h M I22 0
或
1 ga2a2R0
M I2
1
FI
2
C
mg
再令 1 0， 2 0，则 hR1，
代入动力学普遍方程
mh g F 1h M I1 1 0
如果用广义坐标q1， q2， ， qN表示质点系的位置，则质 点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V (q 1 ， q 2 ， ， q N )
在势力场中可将广义力 Q k 写成用势能表达的形式 根据广义力的表达式（3－7）
Qk
(Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)
(V xi V yi V zi ) xi qk yi qk zi qk
由虚位移的r 定 i 义 k N ，1 对q r ik上q 式k进行(i变 1 分， 2 ， 运算， ，n )得到 （3－5）
其中 qk(k1 ， 2， ， N)为广义坐标q k 的变分 ，称为广义虚位移。
求广义力的方法有两种： 一种方法是直接从定义式（3－7）出发进行计算。
另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个q k 不等于零，
i 将1（3-15）式与（3-18）i 式1相减， 得
n(F im iris
i1
k1
k frk i)
ri 0
在3n个质点坐标中，独立坐标有3n-s个，对于s个不独立
的坐标变分,
可以选取适当的 k ，使得变分前的系数为零
而此时独立坐标变分前的系数也应等于零，从而有
F im i r iks 1k fr k i 0(i 1 ， 2 ， ， n ) （3-19）
而其他N-1个广义虚位移都等于零，代入
WFQkqk
从而
Qk
WF qk
（3－10）
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
例 3-1：杆OA和AB以铰链相连， O端悬挂于圆柱铰链上，如图
所示，杆长OA=a AB=b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计，今在 点A和试B求分：别平作衡用时向下1，的铅2 与锤F力AF，AF和B，FF B之，间又的在关点系B作用一水平力F。
解： 系统有两个自由度， 现选择 1 和 2 为系统的两个广义坐标， 计算其对应的广义力Q 1 和 Q 2， 用第一种方法计算：
Q1 Q2
FA FA
yA
1
yA
2
FB
yB
1
FB
yB
2
F xB
1
F xB
2
由于
yA acos1 yB acos1 bcos2 xB asin1 bsin2
i 1
在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所 受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。
称为动力学普遍方程。
×
例 3-4:如图所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为m 1 的重物， 绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为m 2 的重物，设滑轮和绳子的