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奇数和偶数的概念与运算性质
偶数也叫双数：能被2整除的数；奇数指不能被2整除的整数，数学表达形式为：2k+1，奇数可以分为正奇数和负奇数。
奇数与偶数的区别：奇数不能被2整除，偶数就是能被2整除的。
在数学中，奇偶性是对于整数的一种性质，每个整数都可被分为奇数或偶数：可被2整除者是偶数，不可被2整除者是奇数。
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.()3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________. 答案 1解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1.题型三 奇、偶函数图象的应用例3 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f (x )的图象；(2)解不等式xf (x )>0.反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练3 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f (x )在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.36.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数7.若f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为( ) A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0即f (0)＝a －220＋1＝0，∴a ＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.09.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.13.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值.(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小.14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.。
数的奇偶性引言在数学中，我们经常会遇到奇偶性的概念。
奇数和偶数是数论中的基本概念，不仅在数学中有广泛应用，也在计算机科学等领域有重要地位。
本文将介绍数的奇偶性的定义、性质及应用。
一、奇偶性的定义1.1 奇数奇数是不能被2整除的整数。
换句话说，如果一个数能够被2整除，那么它就不是奇数，否则就是奇数。
1.2 偶数偶数是能够被2整除的整数。
换句话说，如果一个数能够被2整除，那么它就是偶数，否则就不是偶数。
二、奇偶性的性质2.1 奇数的性质•任何奇数加上另一个奇数，结果仍为偶数。
•任何奇数加上另一个偶数，结果仍为奇数。
•任何奇数乘以另一个奇数，结果仍为奇数。
•任何奇数乘以另一个偶数，结果仍为偶数。
2.2 偶数的性质•任何偶数加上另一个偶数，结果仍为偶数。
•任何偶数加上另一个奇数，结果仍为奇数。
•任何偶数乘以另一个偶数，结果仍为偶数。
•任何偶数乘以另一个奇数，结果仍为偶数。
2.3 奇数与偶数的关系•两个奇数的和是偶数。
•两个偶数的和是偶数。
•一个奇数与一个偶数的和是奇数。
三、奇偶性的应用奇偶性在很多数学问题中都有重要应用，下面介绍几个例子：3.1 判断整数的奇偶性根据奇偶性的定义，可以通过对给定的整数进行取余运算来判断其奇偶性。
如果一个整数除以2的余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
3.2 奇偶数的相加在解决一些算法问题中，通过对一系列数进行奇偶性的判断相加，可以得到一些有用的结果。
例如，可以通过对一组数进行奇偶性判断相加，来判断其中奇数和偶数的个数，或者判断奇数和偶数的和的差异。
3.3 奇偶排序算法奇偶排序算法是一种通过对一组数进行奇偶性判断并交换位置的排序算法。
该算法通过多次迭代，将奇数放在偶数前面或者偶数放在奇数前面，从而实现对一组数的排序。
结论奇偶性是数学中的基本概念，不仅在数学中有广泛应用，也在计算机科学等领域有重要地位。
通过对整数进行奇偶性判断，我们可以解决一系列的问题，包括排序、计算以及判断等。
七年级奇偶性分析知识点奇偶性是初中数学中比较重要的知识点之一，对于初学者来说，掌握奇偶性分析方法可以有效提高解题能力。
本文将针对七年级学生的奇偶性分析知识点进行讲解。
1. 奇偶性的定义奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。
偶数是指能被2整除的整数，例如0、2、4、6等。
通过对奇数和偶数的定义，我们可以将所有整数分为奇数和偶数两类。
2. 奇偶性的性质(1) 奇数加偶数等于奇数，偶数加偶数等于偶数。
例如：3 + 6 = 9，9是奇数；4 + 6 = 10，10是偶数。
(2) 奇数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数。
例如：3 × 4 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数；4 × 6 = 24，24是偶数。
(3) 任何数和偶数的倍数具有相同的奇偶性。
例如：5、7、9和20、22、24具有相同的奇偶性，因为它们和2的倍数具有相同的奇偶性。
(4) 任何数和一起的奇数的和与偶数的和具有相同的奇偶性。
例如：3 + 7 = 10，10是偶数；2 + 4 + 6 = 12，12是偶数。
3. 奇偶性在运算中的应用(1) 奇偶性在加减法中的应用在加减法中，我们可以通过判断加减数的奇偶性来判断其和的奇偶性。
例如：2 + 3 = 5，5是奇数；3 - 1 = 2，2是偶数。
(2) 奇偶性在乘法中的应用在乘法中，我们可以通过判断相乘数的奇偶性来判断其积的奇偶性。
例如：2 × 6 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数。
(3) 奇偶性在除法中的应用在除法中，我们需要注意，偶数不能与奇数相除，但奇数可以与偶数相除。
当奇数与偶数相除时，得到的商为奇数。
例如：8 ÷ 4 = 2，2是偶数；7 ÷ 2 = 3余1，3是奇数。
4. 奇偶性在解题中的应用(1) 整除关系对于一个数x，若x能够整除2n，则x为偶数；若x不能整除2n，则x为奇数。
高三数学奇偶性知识点汇总数学作为一门科学，不仅仅是一门知识，更是一种思维方式和解决问题的工具。
在高三数学学习中，掌握奇偶性知识点是十分重要的。
奇偶性是数学中一个独特而又有趣的概念，它在各个数学领域都有广泛应用。
下面我将对高三数学中的奇偶性知识点进行汇总：一、奇偶性的定义在数学中，奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5等；偶数是指能被2整除的整数，例如2、4、6等。
可以看出，奇偶性是用来描述整数的一种属性。
而对于任意整数a，有以下定理：1. 如果a是奇数，则2a-1也是奇数；2. 如果a是奇数，则2a也是偶数；3. 如果a是偶数，则2a也是偶数。
二、奇偶性与四则运算奇偶性在四则运算中起着重要作用。
我们来探讨一下几个常见运算的奇偶性规律：1. 加法：奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数；2. 减法：奇数减奇数等于偶数，偶数减偶数等于偶数，奇数减偶数等于奇数；3. 乘法：奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数；4. 除法：任何数除以2的余数为0的是偶数，余数为1的是奇数。
三、奇偶性与整数分解整数分解是数学中常见的一种思维方式，它能够帮助我们更好地理解问题并解决问题。
奇偶性与整数分解有着密切的关系，我们来看几个例子：1. 一个整数末尾是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定是偶数；2. 一个整数末尾是1、3、5、7、9中的任意一个，那么它一定是奇数；3. 一个整数能够被10整除，那么它一定是偶数。
四、奇偶性与方程求解在高三数学中，求解方程是常见的题型之一。
奇偶性在方程求解中的应用也很广泛：1. 如果一个方程的左右两端都是奇数，那么这个方程没有整数解；2. 如果一个方程的左右两端都是偶数，那么这个方程可能有整数解。
五、奇偶性与函数图像函数图像也是高三数学中的重要内容。
奇偶性在函数图像中有着一定的特殊性：1. 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称。
函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
数的奇偶性及判断方法奇偶性是数学中一个重要的概念，用来描述一个数是偶数还是奇数。
在日常生活和数学运算中，判断一个数的奇偶性是非常常见的操作。
本文将介绍奇偶性的概念、判断奇偶性的方法以及一些相关的数学性质。
一、奇数和偶数的概念在自然数中，每个数可以被分为两类：奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的数，而偶数则是能够被2整除的数。
例如，3、5、7是奇数，因为它们不能被2整除；而2、4、6是偶数，因为它们可以被2整除。
二、判断数的奇偶性的方法1. 除以2法最简单直观的方法是通过除以2来判断数的奇偶性。
如果一个数除以2的余数为0，那么这个数就是偶数；如果余数为1，那么这个数就是奇数。
例如，我们来判断数10的奇偶性：10 ÷ 2 = 5，余数为0，所以10是偶数。
再例如，判断数7的奇偶性：7 ÷ 2 = 3，余数为1，所以7是奇数。
2. 观察个位数法另一个简单的方法是通过观察数的个位数来判断奇偶性。
如果一个数的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数就是偶数；如果个位数为1、3、5、7、9中的任意一个，那么这个数就是奇数。
例如，观察个位数来判断数32的奇偶性：个位数为2，所以32是偶数。
再例如，判断数97的奇偶性：个位数为7，所以97是奇数。
3. 数学性质法奇数和偶数之间存在一些有趣的数学性质，通过利用这些性质也可以判断数的奇偶性。
首先，任何数的平方都是偶数。
如果一个数为奇数，那么它的平方是奇数乘奇数，结果还是奇数。
而如果一个数为偶数，那么它的平方是偶数乘偶数，结果也是偶数。
其次，任何奇数加上或者减去一个偶数的结果都是奇数。
这是因为奇数加上或者减去偶数实际上就是奇数加上或者减去0，而奇数加上或者减去0的结果还是奇数。
利用这些性质，可以通过数学运算来判断一个数的奇偶性。
三、奇偶性的应用奇偶性不仅仅是一个数学概念，也有一些实际的应用。
1. 计算机编程在计算机编程中，奇偶性经常被用来判断数的范围和性质。
