函数的性质之奇偶性

函数奇偶性的方法
确定一个函数的奇偶性的方法如下：
1. 定义
奇函数：对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)。

偶函数：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)。

2. 奇偶性的判断
(1) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = -f(x)，则f(x)为奇函数。

(2) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = f(x)，则f(x)为偶函数。

(3) 如果函数f(x)既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

3. 奇偶函数的性质
(1) 奇函数与奇函数相加、相减，结果仍为奇函数；
(2) 偶函数与偶函数相加、相减，结果仍为偶函数；
(3) 奇函数与偶函数相乘，结果为奇函数；
(4) 若f(x)为奇函数，则f(x)的零点关于原点对称；
(5) 若f(x)为偶函数，则f(x)关于y轴对称。

4. 判断奇偶性的方法
(1) 对函数f(x)进行奇偶性的判断时，可尝试代入-x或者x来验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义；
(2) 若函数表达式含有二次方及以上的偶次幂，则函数为偶函数；
(3) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，则函数为奇函数；
(4) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，并且函数表达式中包含一个偶函数，则函数为奇函数。

注意：上述方法只适用于一些简单的函数，复杂函数的奇偶性可能需要使用其他数学工具进行推导。

数学函数奇偶性的本质是什么？函数奇偶性的本质是函数在其定义域内的对称性。

具体来说，函数的奇偶性是指函数在其定义域内的某个区间上，关于原点对称的两个点处的函数值的关系。

如果函数在某个区间上关于原点对称的两个点处的函数值相等，那么函数在这个区间上是偶函数；如果函数在某个区间上关于原点对称的两个点处的函数值互为相反数，那么函数在这个区间上是奇函数。

函数奇偶性的本质可以从以下几个方面来理解：1.函数奇偶性是函数在其定义域内的局部性质：函数的奇偶性是函数在其定义域内的某个区间上的性质，而不是整个定义域上的性质。

因此，我们需要在函数的定义域内找到一个区间，使得函数在这个区间上具有奇偶性。

2.函数奇偶性是函数的导数的性质：函数的导数可以用来描述函数在某个点处的变化率。

如果函数在某个区间上的导数关于原点对称，那么函数在这个区间上是偶函数；如果函数在某个区间上的导数关于原点对称，并且在原点处的值为零，那么函数在这个区间上是奇函数。

因此，我们可以通过求函数的导数来判断函数的奇偶性。

3.函数奇偶性是函数的图像的性质：函数的图像可以用来直观地描述函数的性质。

如果函数在某个区间上的图像关于原点对称，那么函数在这个区间上是偶函数；如果函数在某个区间上的图像关于原点对称，并且在原点处的图像经过原点，那么函数在这个区间上是奇函数。

因此，我们可以通过观察函数的图像来判断函数的奇偶性。

4.函数奇偶性是函数的极限的性质：函数的极限可以用来描述函数在某个点处的趋近值。

如果函数在某个区间上的极限关于原点对称，那么函数在这个区间上是偶函数；如果函数在某个区间上的极限关于原点对称，并且在原点处的极限为零，那么函数在这个区间上是奇函数。

因此，我们可以通过求函数的极限来判断函数的奇偶性。

函数奇偶性的本质是函数在其定义域内的对称性。

它是函数的局部性质，可以通过求函数的导数、观察函数的图像、求函数的极限等方法来判断函数的奇偶性。

函数奇偶性在数学分析、微积分、数学建模等领域有着广泛的应用。

函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断（1）、定义法：①先求出函数的定义域，若函数定义域不关于原点对称，则此函数不具有奇偶性；若函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．定义域关于原点对称．．．．．．．．．，②再判断f(x)与f(－x)关系：若f(－x)= f(x) 则是偶函数；若f(－x)=－f(x)，则f(x)是奇函数。

（判断时可用等价形式）（2）、图象法：图象关于y 轴对称⇔此函数是偶函数。

图象关于原点对称⇔函数是奇函数。

注：★①函数的奇偶性是函数整体的性质。

★②若奇函数的定义域中含有0，则f(0)=0.★ ③我们通常利用函数的奇偶性来简化作图的过程。

④多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性:多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零.四、以下命题的判断命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3xy =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且① 总有则称在区间M 上单调递增② 总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

函数的奇偶性一、定义1、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是偶函数。

2、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是奇函数。

二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个x 都必须成立；3、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f5、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇7、一次函数为奇函数⇔ ；二次函数为奇函数⇔8、奇偶性与单调性 奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相反应用一：奇偶性的理解例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数当且仅当(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是0)(=x f )(R x ∈ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2、对于定义在R 上的函数，下列说法正确的有 。

（1）f （x ）为偶函数，则)2()2(f f =-。

（2）（2）)2()2(f f =-，则f （x ）为偶函数。

（3）),2()2(f f ≠-则f （x ）不为偶函数。

（4）)2()2(f f =-，则f （x ）不为奇函数。

（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x y ∈=,0。

（6）()y f x =在]83,[+a a 上是奇函数，则2-=a 。

例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

1、 若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。

（ ）2、 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

函数奇偶性的性质与判断
1．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R 是（）
A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p 有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
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函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。

在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。

本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。

具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。

以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。

通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。

对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。

例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。

具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。

常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。

例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。

周期函数在数学和物理中有广泛的应用。

例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。

周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。

结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。

函数的性质之奇偶性知识梳理要点一：函数奇偶性定义：如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数；如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数（通常可以用特殊值来证明）；如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数。

要点二：函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定)(x f -与)(x f 的关系；③作出相应结论：若)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数；若)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f ，则)(x f 是奇函数。

(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，要点三：简单性质：设)(x f ，)(x g 的定义域分别是，1D 2D ，那么在它们的公共定义域（21D D ）上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇要点四：复合函数的奇偶性：已知)(x f ，)(x g 的奇偶性，求))((x g f 的奇偶性，只有当)(),(x g x f 都是奇函数时，))((x g f 才是奇函数；其他情形是偶函数，即)(),(x g x f 中只要一个是偶函数那么))((x g f 就是偶函数。

具体可以看下面的例题。

典型例题类型一：一般函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：1x x x x f -+-=11)1()(，②349)(2-++-=x x x x f ，③⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ，④2211)(x x x f --=。

函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1 .偶函数：一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有f X f x , f( x) f (x) 0,那么函数f x就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数 f x的定义域内任一个x，都有f x f x，f( x) f (x) 0,那么函数f x就叫做奇函数。

注意：(1)判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f x f x之一是否成立。

(2)在判断f X与f x的关系时，只需验证可来确定函数的奇偶性。

x f x 0及f(x) = 1是否成立即f (x)题型一判断下列函数的奇偶性。

f(x) x -x⑴ f(x) x2x ，( 2 ) f(x) x3 xG x f x f x,xR(4)f(x)xx2 1 x x⑸ f (x) xcosx (6) f (x) xs inx (7) f (x) 2 2 ，(8)提示: 上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断(1) 判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

f(x)-x(2) 常见的奇函数有: f(x) x, f(x)x3, f (x)sin x ,(3) 常见的奇函数有: 2f(x) x , f (x)x , f(x)cosx(4) 若f X、g x都是偶函数，那么在f x与g x的公共定义域上， f x +g x 为偶函数，f x g x为偶函数。

当g x工0时，上^ 为偶函数。

g(x)—(5)若f x , g x都是奇函数，那么在f x与g x的公共定义域上， f x + g x是奇函数，f x g x是奇函数，f x g x是偶函数，当g x工0时，丄凶是偶函数。

g(x)(6) 常函数fx cc 为常数 是偶函数，f x 0既是偶函数又是奇函数。

(7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇 函数；奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇 函数.(8)对于复合函数F x f g x ；若g x 为偶函数，f x 为奇(偶)函数，则F x 都为偶函数；若g x 为奇函数，f x 为奇函数，则F x 为奇函数；若g x 为奇函数，f x 为 偶函数，则F x 为偶函数. 题型二三次函数奇偶性的判断已知函数f (x) ax 3 bx 2 cx d ，证明：(1)当(2)当b d 0时，f (x)是奇函数是偶函数；当a c 0，f (x)是奇函数。

判断函数奇偶性的三种方法函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。

当函数在原点对称时，我们称其为偶函数；当函数关于原点对称时，我们称其为奇函数。

判断函数奇偶性的三种方法分别是函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。

一、函数表达式的法则：设函数表达式为f(x)，则有以下判断准则：1.当f(x)=f(-x)时，函数为偶函数。

如f(x)=x^2，f(-x)=(-x)^2=x^2，因此函数f(x)=x^2是偶函数。

2.当f(x)=-f(-x)时，函数为奇函数。

如f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3，因此函数f(x)=x^3是奇函数。

通过观察函数表达式中的幂指数的奇偶来判断函数的奇偶性，奇次幂代表奇函数，偶次幂代表偶函数。

二、函数图像的法则：函数图像关于y轴对称时，函数为偶函数；函数图像关于原点对称时，函数为奇函数。

通过绘制函数的图像来观察图像的对称性，从而判断函数的奇偶性。

如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。

三、函数的性质法则：对于连续函数，可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。

1.对于偶函数，其导函数也为偶函数。

如果函数f(x)是偶函数，则f'(x)=0，即f'(-x)=0。

因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是偶函数。

例如f(x)=x^2，f'(x)=2x，f'(-x)=2(-x)=-2x，f'(x)也是偶函数。

2.对于奇函数，其导函数也为奇函数。

如果函数f(x)是奇函数，则f'(x)=-f'(-x)。

因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是奇函数。

例如f(x)=x^3，f'(x)=3x^2，f'(-x)=3(-x)^2=3x^2，f'(x)也是奇函数。

综上所述，判断函数的奇偶性主要有三种方法：函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。

函数奇偶性一、主要知识：1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．二、主要方法：1. 判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； 图象法；性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，奇±偶＝非奇非偶；（同不变，异为非。

） 奇×÷奇＝偶，偶⨯÷偶=偶，奇⨯÷偶=奇；（奇为负，偶为正。

） 复合函数奇偶性；（一偶则偶，同奇则奇。

）②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．例1.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R)B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.例2.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析]y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.例3.(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.例4.(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.例5.(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.例6.(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．例7.(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0 B．2C．4 D．不能确定[答案] C[解析]∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.例8.定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗x(x⊕2)－2() A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.例9.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∴b <a <c .故选C.例10.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析]由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，例11.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析]∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x <1，∴－1<x <0，故选A.例12.(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A [解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x＋log 22＋x2－x ＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例13.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案] C[解析] ∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.例14.(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2 [解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2.例15.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.例16.(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.例17.(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.例18.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析]∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.例19.(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析]∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg(a ＋2)x ＋a1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．例19.(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.例20.(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1.∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解．∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3.(2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2.∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13. ∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值． 又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.例21.(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2，∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0.例22.(文)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析](1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a ＝0， 解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y， 由2x >0知1＋y 1－y>0， ∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0.例23.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0.[解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .①因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .②又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3.从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3.由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0.因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c＝a (m ＋n )(m －n )>0.若m <0，则n >0.同理可得F (m )＋F (n )>0.综上可知F (m )＋F (n )>0.例24.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1),试证明：(1) f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x xx --)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121x x x x --)∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴12121x x x x -->0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f(21121x x x x --)<0即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.例25.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a －23)2－45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a<3,得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).。