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高中数学北师大选修定积分的概念课件张ppt文档

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高中数学北师大版选修2241定积分的概念课件37张[可修改版ppt]

高中数学北师大版选修2241定积分的概念课件37张[可修改版ppt]

n
i 1
i 2 n
1 n
1(11)(21) 6n n
(4)取极限
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i
2
1
n
lim
n n n i1
ni 2
1 n
lim 1(11)(21) n6 n n
1 3
三、定积分的存在定理
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ，
高中数学北师大版 选修2241定积分的
概念课件37张
一、两个实例
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形：由连续曲线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、
x轴 与 两 条 直 线 xa、
A?
xb所 围 成 .
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
积分上限 积分下限
n
b
f
( x)dx
I
lim
0
a
i 1
f (i )xi
积分和
被 积 函 数
被
积
积 表 达 式
分 变
[a,b] 积分区间
量
读作“从a到b函数f(x)的定积分”
曲边梯形面积A：
n
Alim 0 i1
f (i)xi
记为
b
f
a
x dx
变速运动的路程 S：
n
记为
S
lim
0
i1
v(i

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

如果 Dx 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
(3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
（一）、定积分的定义

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件
������ ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������

推荐高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修2_2

推荐高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修2_2

圆的面积,其
值为
π 4
,
所以
1 0
1-������2d������ = π4.
3.性质
定积分有如下性质:
性质 1:
������ ������
1d������ = ������ − ������;
性质 2:
������ ������
������������(������)d������ = ������
=5+
3 n2
[0
+
1
+
2
+
⋯+(n-1)]=
3 2
·nn22-n
+
5
=
13 2
−
23n.
取
ξi=
n+i n
(������
=
1,2,
…,n),
题型一 题型二 题型三
n
������
则 S= ∑ ������(������������)Δ������ = ∑ ������
i=1
������=1
n+i n
������
n 3(n + i)
1 n 3������ 5
=∑
i=1
n
+2
·n
=
∑
i=1
������2 + ������
=5+
3 ������2
(1
+
2
+
3
+
⋯+n)=
13 2
+
23������.
(3)取极限:
当 n→+∞,S→123 , 且s→123,

定积分的概念课件北师大选修

定积分的概念课件北师大选修

x^(n+1)+C等。
02
换元法
通过换元法将复杂的积分转化为简单的积分，如令t=√x，则
dt=1/(2√x) dx。
03
分部积分法
通过分部积分法将两个函数的乘积的积分转化为一个函数的积分和一个
函数的微分的和，如∫x*sin x dx=∫x*d(-cos x)=x*cos x-∫cos x dx。
2023
体积计算
总结词
定积分在体积计算中也有着重要的应用，可以用来计算旋转体的体积。
详细描述
通过将旋转体的边界曲线在平面上进行分割，并利用定积分计算每个小曲边柱体的体积，然后将这些 体积求和，即可得到整个旋转体的体积。例如，利用定积分可以计算球体的体积，即将球体分割成若 干个小球体，每个小球体近似为圆柱体，然后计算所有小圆柱体的体积的总和。
变速直线运动的路程
总结词
定积分还可以用来计算变速直线运动的 路程。
VS
详细描述
变速直线运动的路程可以通过对速度函数 进行定积分来得到。具体来说，先对速度 函数进行积分，得到位移函数，然后再对 位移函数进行定积分，即可得到变速直线 运动的路程。例如，如果速度函数为 v(t)=t^2，则位移函数为 s(t)=∫v(t)dt=t^3/3，最后对s(t)进行定 积分得到总路程为t^4/12。
具之一，可以用 于解决各种实际问题，如物理、工程、经济 等领域的建模问题。
数值计算
定积分在数值计算中也有广泛的应用，例如在计算 物理实验的数据处理、数值天气预报等领域中都有 重要的应用。
科学计算
在科学计算中，定积分可以用于解决各种复 杂的数学问题，如求解偏微分方程、积分方 程等。
换元法
在计算定积分时，有时可以通过换元法简化计算，即通过变量替换将复杂的积分区间变 换为简单的区间，或者将复杂的被积函数变换为容易积分的函数。

4.1定积分的概念课件1(北师大选修2-2)

4.1定积分的概念课件1(北师大选修2-2)

O 12 nn
y x2
k n
nx
n
y x2
k n
nx
n
13
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 ⑵近似代替 （3）求面积的和
把这些矩形面积相加
y （4）取极限 n
作为整个曲边形面积S
的近似值。 有理由相信，分
点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
6
形如 y
的何
面求
积曲
边
梯
A1
Oa
y = f(x)
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
7
形如 的何 面求 积曲
边 梯
y
A1
A2
Oa
y = f(x)
A3
A4
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
n
区间高：h=
f

i
1 n
小矩形面积：△S=
f
i1 n
1 n
11
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：理解求曲边图形面积 的过程：分割、以直代曲、逼近，感受 在其过程中渗透的思想方法。

【数学】4.1.2 定积分 课件(北师大版选修2-2)

【数学】4.1.2 定积分 课件(北师大版选修2-2)
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x2 + 3x dx
3 0
小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和 取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
是图中所示三角形
的面积之差， 由于
y
4 2
C
y 2x
B
SOAB SOCD 3
所以 上 方 取 正 ，下 方 取 负
-1
D
o
-2
A
2
x
2xdx 3
2 1
定积分的基本性质
（1） （2）
1dx b a b b a kf ( x)dx k a f ( x)dx
练习 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习2：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线
y=x+3所围成的图形面积 .
x + 3 dx - x
2 1
3 积为 . 所以 2 3 2 2 1
y
2 1
yx
xdx
o
1
2
x
y
解（3）： 1 1

1 x dx
2
-1
1
y 1 x2
表示的是图中所示 半径为1的半圆的面
x
o o 1
积， 由于这个半圆
的面积为 2

【高中课件】高二数学北师大版选修224.1 定积分的概念课件ppt.pptx

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5.对于定积分的性质 4 可以用图(2)直观地表示出来,即 S 曲边梯形 AMNB=S 曲 +S . 边梯形 AMPC 曲边梯形 CPNB
图(2)
1.解决面积问题、路程问题及做功问题的过程有什么相似点? 剖析:面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不同的问题,但是 它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估 计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩 估计值和不足估计值都趋于要求的值. 2.用定义求定积分的一般步骤是什么? 剖析:(1)分割:将区间[a,b]分成n等份; (2)近似代替:取一点ξi(或ζi),ξi∈[xi-1,xi](或ζi∈[xi-1,xi]); (3)求和:S或s; (4)逼近:当最大的小区间的长度趋于0时,S和s的差也趋于0时,S与s同时趋于某 一个固定的常数A,A就是所求的定积分.
3.性质 2 的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘 积.
123
4.性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立.性质 4 对于把区间[a,b]分 成有限个(两个以上)区间也成立.求 f(x)在区间[a,b]上的定积分,可通过求 f(x)在区间[a,c]与[c,b]上的定积分去实现,其中[a,b]=[a,c]∪[c,b].
123
说明
1.
������ ������
1dx
表示的是曲线
f(x)=1
与直线
x=a,x=b
及
x
轴围成的矩形的
面积,显然其面积为
b-a,故
������ ������
1dx=b-a,如图(1)所示.
图(1) 2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区间的可
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高中数学北师大选修定积分的概念课件张
【学习目标】
通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景； 能用定积分的定义求简单的定积分； 了解定积分的几何意义.
【问题引入】
问题一：下列图形的面积如何求？
问题二：下列图形的面积又该如何求？ 曲边梯形
【问题引入】
曲边梯形:
设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、 y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧
A
b
f (x)dx
a
积分变量
被积函数 积分下限
【概念形成】
1. A b f (x)dx的大小只与被积函数f（x）及积分 a
区间[a,b]有关
2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du
3．规定：
b
a
a f(x)dxb f(x)dx
a
f (x)dx0
ξ 克西
ζ ：捷塔
S 2 f1 x 1 fi x i fn x n
【概念形成】
当n无穷大时，过剩估计值与不足估计值就接近我们 要求的曲边梯形的面积。 其面积是一个固定的常数A，我们称A是函数y=f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作：
s f( x 1 ) x f( x 2 ) x f( x n ) x
称为曲边.
y y=f(x)
a0
bx
怎样求面积呢？
【情景分析】
y
O a x1 过剩估计值 不足估计值
x2
x3
x4
x5 b
x
xi △x xi+1
S f ( x 2 ) x f ( x 3 ) x f ( x 4 ) x f ( x 5 ) x
s f ( x 1 ) x f ( x 2 ) x f ( x 3 ) x f ( x 4 ) x
步骤：
①.作出被积函数的图像。
②.过积分区间的端点做x轴的垂线， 与x轴围成封闭图形。
③.计算图形面积。
Ab f (x)dx a
S f( x 2 ) x f( x 3 ) x f( x n 1 ) x
【概念形成】
当n无穷大时，过剩估计值与不足估计值就接近我们 要求的曲边梯形的面积。 其面积是一个固定的常数A，我们称A是函数y=f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作：
积分上限
积分号
设 其 长 度 为 xi,在 这 个 小 区 间
上 取 一 点 i使 fi在
区 间 xi1,xi上 的 值 最 大 ， 设
S 1 f1 x 1 fi x i fn x n
同 理 ， 在 这 个 小 区 间 上 取 一 点 i,使 f i在 x i 1 ,x i
上 的 值 最 小 ， 设
a
【概念形成】
1、
f(x)0, A
b f (x)dx 曲边梯形的面积
a
b
f(x)0,Aa
f
(x)dx曲边梯形的面积的负值
y
y=f(x)>0
y
A
0a
bx
a
b
0
A
x
y=f(x)<0
【概念形成】
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
A1
a0
y=f(x)
A3
A2
bx
a bf(x)d xA 1 A 2A 3
【情景分析】
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
“以直代曲”
分割 求和 无限逼近
【情景分析】
如图： 给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x) 将区间[a，b]分成n份，分点为：
a x 0 x 1 x i x n b
【情景分析】
第 i个 区 间 为 xi1,xi，
【简单应用】
例：说明下列定积分所表示的意义，并根 据其意义求出定积分的值
1
(1) 0 2 d x
y y=2
2
2
1
x
d
x
y
3 1 1x2dx 1 y
o
1
x
o12 x
o
x
【简单应用】
例：说明下列定积分所表ห้องสมุดไป่ตู้的意义，并根 据其意义求出定积分的值
1
(1) 2 d x 0
2
2
1
x
d
x
3 1 1x2dx 1