期权定价的二项式方法

Option Pricing: A Simplified Approach的读书报告约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）的论文《期权定价：一种简化方法》提出了二项式模型（Binomial Model）。

（以下内容为结合Option Pricing: A Simplified Approach及查找资料后整理出的内容）一、期权定价的方法（1）Black—Scholes公式（2）二项式定价方法（3）风险中性定价方法（4）鞅定价方法等二、期权定价模型与无套利定价期权定价模型基于对冲证券组合的思想。

投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。

在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。

期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。

所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。

从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。

三、B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

(二)B-S定价公式C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)其中:D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•TD2=D1-σ•TC—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。

⼆项期权定价模型摘要：在可转债的定价过程中，期权部分的定价最为复杂，本⽂介绍了对可转债价值中期权部分的⼀种定价⽅法——⼆项期权定价模型，以单⼀时期内买权定价为例进⾏了。

⼀般来说，⼆项期权定价模型（binomal option price model ， BOPM ）的基本假设是在每⼀时期股价的变动⽅向只有两个，即上升或下降。

BOPM 的定价依据是在期权在第⼀次买进时，能建⽴起⼀个零风险套头交易，或者说可以使⽤⼀个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较⾼者，从⽽获得⽆风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间⾥存在。

这⼀证券组合的主要功能是给出了买权的定价⽅法。

与期货不同的是，期货的套头交易⼀旦建⽴就不⽤改变，⽽期权的套头交易则需不断调整，直⾄期权到期。

⼀、对股票价格和期权价格变化的描述假设股票当期（t ＝0）的价格S 为100元，时期末（t ＝1）的价格有两种可能：若上升，则为120元，记做uS ；若下降，则为90元，记做dS 。

执⾏价格为110元。

相对应地来看，期权价格则分别记做0C 、up C 、down C ，则在t ＝1时，up C 、down C 分别等于max （120－110，0）、max （90－110，0），即10元和0。

此时的状态可以⽤下图描述：uS ＝120 股价上升时S ＝100分析师：⾼谦报告类型：可转换债券研究⼆项期权定价模型dS ＝90 股价下降时up C ＝10 max （120－110，0）0C ＝？down C ＝0 max （90－110，0）⼆、构建投资组合求解买权（⼀）构建投资组合在上图中，唯⼀需要求解的是0C 。

为求解0C ，也即给t ＝0时的买权定价，可以证明0C 的价格可以通过建⽴期权和相关资产的零风险套利交易来得到，具体来说，就是考虑⼀个包括股票和⽆风险债券在内的投资组合，该组合在市场上不存在⽆风险套利机会时等于买权的价格，因此可以⽤来模拟买权的价格。

一、关于均方差与时间单位关系的注解在上节的布莱克—绍勒斯定价模型中，我们假定时间单位为年，而σ是股票价格年变化率的均方差。

如果时间单位改换一下，例如采用以月为单位，股票价格月变化率的均方差1σ与σ有什么关系？在其他场合，我们也时常遇到与此类似的回报率时间单位转换问题。

设某项风险资产的年回报率为r。

我们知道r 是随机变量。

再设第i 月份的回报率为()1,,12i r i = 。

其中， ,i j r r 互相独立，且同分布，i j ≠。

按算术平均方法，则：121121i i r r r r ==++=∑又由于：()()()()11222111,,12i iE r E r E rr i σσσ=∆=∆=易得出：()()121112i i E r E r E ===∑ （22.24）()()()1222121cov ,12i i ji i jr r rr σσσ=≠=+=∑∑（22.25）（22.25）式之所以成立，是因为 ,j ir r 互相独立，故不相关，因此协方差()cov ,0i j rr = 。

把上式加以简化，我们得到： 221212E E σσ==月年月年 （22.26）其中E E 月年和分别表示年回报率和月回报率的期望值，22σσ月年和分别表示年回报率和月回报率的方差。

类似于（22.26）式，不同时间单位的回报率和均方差可以相互转换。

例如，年回报率的均方差为σ，则月回报率的均方差1σ为：1σ=不管采用什么样的时间单位，布莱克—绍勒斯模型中的的。

例如由年改为以月为单位，1σ==其中1T 是从现在到执行日的月份数，112T T =，所以布莱克—绍勒斯模型与采用何种时间单位无关。

二、二项式方法我们在上节讨论了风险中性方法。

二项式方法（Binomial method ）是风险中性方法的一个扩充和推广。

把一年划分成n 期（例1,2,4,n = ），二项式方法假定标的物的价格在每期发生一次变化，而且变化只有两种可能性：上升某个百分比，或下降某个百分比。

期权的二项式定价模型研究作者：孔凡秋来源：《经济研究导刊》2014年第04期摘要：在一个所有投资者都是风险中性的世界里，衍生证券的价格一定与它在现实世界里的价格相同。

而在风险中性世界中，任何可交易证券的期望收益率是无风险利率。

更进一步，任何衍生证券预期的盈亏以无风险利率贴现就得到它的现值，很大程度上简化了衍生证券的定价。

主要讨论研究风险中性定价方法和它的推广——二项式定价模型，并结合期权的定价进行论述。

关键词：风险中性定价；二项式定价模型；风险中性假设中图分类号：F830 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）04-0134-03一、风险中性简介风险中性是相对于风险偏好和风险厌恶的概念，风险中性的投资者对自己承担的风险并不要求风险补偿。

我们把每个人都是风险中性的世界称之为风险中性世界（Risk-Neutral World）。

对于“风险中性世界”，有一系列假设，在此不一一陈述，虽然对于“风险中性世界”的假设非常苛刻，与现实经济环境有这巨大的差别，但对于简化讨论过程有着重大的帮助。

按照风险中性的假设可以引出两个重要的结论：（1）在一个风险中性的世界里，所有证券的预期收益率都是无风险利率；（2）在风险中性的世界里，将期望的现金流用无风险利率贴现即可获得现金流的现值。

这种风险中性定价理论的假设在很大程度上简化了衍生证券的定价分析。

风险中性定价的关键在于确定风险中性概率。

定义称概率测度为风险中性概率测度，如果满足以下两个条件：由于在风险中性测度下，资产的价格可以把将来价值按照无风险利率贴现得到，好像所有投资者的风险偏好都是风险中性的，所以称为风险中性测度。

有时，我们也称测度是等价鞅测度。

显然，如果我们能够得到风险中性测度，衍生证券的价格就是把衍生证券将来的价值按照无风险利率贴现得到。

我们称该方法为风险中性定价方法。

也称为等价鞅测度（方法）定价。

二、风险中性定价风险中性定价方法有很多的应用，利用它可以完成某项资产的定价：第一，确定风险中性概率（即使一项资产的期望回报率等于无风险利率的概率）；第二，以此风险中性概率作为资产未来价值的权重得出加权平均价值；第三，用无风险利率对加权价值贴现，得出无套利情况下资产的现值。

外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义（作者:___________单位: ___________邮编: ___________）期权交易是八十年代以来国际金融市场颇具特色的合同交易，其最基本用途是为了转移利率和汇率变动风险，最大特点是在保留从有利价格变动中获取收益可能性的同时，也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。

另外，期权是许许多多有价证券、金融工具的建筑砌块，因此无论怎样强调期权定价的重要性都不过分。

Black─Scholes（1973）假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程，建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合，导致一个偏微分方程式，解一个热力学扩散方程，得到期权价格解析解，即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式；Garman与Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同样思路，建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合，得到欧式外汇Call期权定价公式，以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。

期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein（1979）使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设，利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式，随后Geske和Johnson（1984）推导出美式期权定价精确解析式。

本文目的一是通过二项式定价公式推导过程，进一步解释推导中假设条件的经济涵义；二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。

首先，利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式；其次，给出一般表达式。

一、期权抛补的利率平价关系由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系联系在一起，与远期抛补利率平价（forward-cover IRP）类似，货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价（option-cover IRP）关系，以下就根据无风险资产组合（即套利）过程，不考虑佣金因素影响，应用单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。

二项期权定价模型二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。

模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

二项式期权定价模型概述1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。

随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。

1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。

1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。

二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。

二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。

二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。

虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。

二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

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二项式定价模型这里涉及到一些公式，还是很有计算量的，不过上课时，陈华亭老师告诉我们只要把他的思路理清发现这里还是不难的。

其实通过听课和理解，我们就会发现他也不过是个“纸老虎”，不就是个计算期权价值的方法吗！
二项式定价模型分为单期和多期两种模型，只要把单期模型掌握好了，多期模型其实就是单期模型的多次运用。

单期两状态模型思路：构造两个流量相同的证券组合，根据无套利原理可以推出，这两个组合的价值相同。

——买了一份股票和债券的组合，使这个组合与期权的流量相同，由于股价有上升和下降两种趋势，便可构造出方程组，将到期时的股票价值和债券价值计算出来，遍可得到期权的价值。

肯定没看明白吧？还是实践一下吧！
【例·计算题】假设甲公司股票现在的市价为10元，有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为12元，到期时间是9个月。

9个月后股价有两种可能：上升25%或者降低20%，无风险利率为每年6%。

【答案】
（1）上行股价＝10×（1＋25%）＝12.5（元）
下行股价＝10×（1－20%）＝8（元）
（2）股价上行时期权到期日价值
＝上行股价－执行价格＝12.5－12＝0.5（元）
股价下行时期权到期日价值＝0
（3）计算期权价值
（卖空债券，负投资）
C＝投资成本＝△S＋B＝0.11×10－0.84＝0.26（元）。

期权定价的二项式方法期权定价是金融领域中的一个重要问题，涉及到投资者和交易者在期权市场中的交易行为和决策。

其中，二项式方法是一种常用的期权定价方法，该方法基于二项式模型，通过模拟将期权在到期日前的整个时间段分割为多个时间步，计算出各个时间步的期权价值，最后将这些期权的价值进行加权求和，得到最终的期权价格。

二项式方法的核心思想是将期权的到期日前的时间段分割成多个时间步，假设每一个时间步的期权价值只有两种可能性：上涨或下跌。

在每个时间步中，投资者可以选择买入或卖出期权，以及套期保值或不套期保值。

根据投资者的选择和市场的价格波动情况，可以计算出每一个时间步的期权价值。

二项式方法的计算过程非常简单。

首先，根据期权的当前价格、行权价格、到期日、无风险利率和价格波动率等参数，构建一个二项式树。

然后，从期权到期日开始，逆向推导每一个时间步的期权价值。

在每个时间步中，根据上涨和下跌的概率以及对应的期权价值，计算出当前时间步的期权价值。

最后，根据所有时间步的期权价值进行加权求和，得到期权的价格。

二项式方法的优点是简单易懂、计算量小。

它通过模拟将期权到期日前的时间段分割成多个时间步，能够较好地考虑到期权价格的波动性，并给出了一个时间步数足够大的近似解。

同时，该方法也提供了很多灵活的选择，可以根据不同投资者的需求和策略进行调整。

然而，二项式方法也存在一些局限性。

首先，该方法假设期权价格的变动只有两种可能性，即上涨和下跌，这限制了其在描述实际市场的多样性方面的能力。

其次，二项式方法在分割时间步时需要预先确定时间的粒度，如果时间步数过少，将导致对波动性的估计不准确；如果时间步数过多，将增加计算量。

此外，该方法在计算期权价格时忽略了其他因素的影响，如市场流动性、交易费用、税收等，因此得到的结果可能会有一定的偏差。

总体来说，二项式方法是一种简单易懂、计算量小的期权定价方法。

它通过将期权的到期日前的整个时间段分割成多个时间步，考虑期权价格的波动性，并给出了一个时间步数足够大的近似解。

基于二项式模型的期权定价研究期权定价经过多年的发展，目前已经非常成熟和精确。

其中，基于二项式模型的期权定价方法被广泛使用，因为它简单、易于理解、易于计算和准确等优点。

二项式模型是一种离散时间模型，用于模拟股票或指数价格的变化。

它的核心假设是：股票价格在每个时期（比如一天或者一周）内，只会有两种可能的价格变化，即上涨或者下跌。

这两种变化的概率和幅度都是已知的，而且是恒定的。

在这个基础上，我们可以通过递推计算出股票在未来任意时间点的价格概率分布，从而确定期权的价格。

在二项式模型中，期权的价格通常用两个因素来表示：现货价格和期权类型（看涨或看跌）。

现货价格是指标的当前价格，而期权类型则指期权对价格变化的看法。

具体而言，看涨期权表示投资者认为未来的价格将会上涨，而看跌期权则表示投资者认为未来的价格将会下跌。

这两种期权的价格的计算方法有所不同，但都可以使用二项式模型来计算。

在具体计算期权价格时，我们需要输入一些参数，包括期权到期时间、股票价格波动率、无风险利率和执行价格等。

这些参数中，股票价格波动率是重要的参数之一，它反映了股票价格的波动情况。

更大的波动率意味着更大的风险，也会导致期权价格的增加。

而无风险利率则反映了投资者的机会成本，同样也会影响期权价格。

需要注意的是，二项式模型只适用于欧式期权，而不适用于美式期权。

欧式期权是指只能在到期日行权的期权，而美式期权是指在任何时候都可以行权的期权。

美式期权因为更加灵活，所以价值通常会高于欧式期权。

总之，基于二项式模型的期权定价是一种简单而又准确的方法，它在实际中得到了广泛的应用。

如果您是从事期权交易的人，那么了解二项式模型定价方法是非常有必要的。