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第一章_距离空间

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矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换

矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.

高中数学选择性必修一 第1章 1 4 2 第1课时 距离问题

高中数学选择性必修一 第1章 1 4 2 第1课时 距离问题

4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则平面外一
点P(－2,1,4)到α的距离为
A.10
B.3
C.83
√D.130
解析 P→A＝(1,2，－4)， 则点 P 到 α 的距离 d＝|P→A|n·|n|＝|－42＋－44＋－14|＝130.
解析 以 D 为坐标原点，D→A，D→C，—DD→1的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建
立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,12,0)，D1(0,0,5). 设B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0). 设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)， 由 n⊥B→C，n⊥—CD→1， 得 n·B→C＝(a，b，c)·(－x，0,0)＝－ax＝0， n·—CD→1＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0， 所以 a＝0，b＝152c，所以可取 n＝(0,5,12).
知识点一 点P到直线l的距离 已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点，设 向量A→P在直线 l 上的投影向量为A→Q＝a，则点 P 到直线 l 的距离为 a2－a·u2 (如图).
知识点二 点P到平面α的距离
设平面 α 的法向量为 n，A 是平面 α 内的定点，P 是平面 α 外一点，则点 P 到 →
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为
10
A. 2
B.5
√3 10 C. 2
D.3 5

第一章 空间几何体知识点归纳老师版

第一章 空间几何体知识点归纳老师版

第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样1、空间几何体的三视图和直观图 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式：hS V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S =下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

三视图还原技巧核心内容：三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。

1，知道常用的几何体的三视图图形柱体：两个平行四边形（常为矩形），一个多边形或圆锥体：两个三角形，一个多边形或圆台体：两个梯形，一个多边形环或圆环球：三个圆如果是组合体，一定是两个简单的几何体组合在一起。

泛函分析

泛函分析
（2）若B在A中稠，则对任意的 0 ，必有
( x) A
xB
反之亦然
( x) 表示以x为中心，以 为半径的小球。
第一章 距离空间
可分性：
定义：距离空间R称为可分的，是指在E中存在一 个稠密的可列子集。
第一章 距离空间
问题：
1、写出三维空间的几种距离
2、距离空间中的开集、闭集？
( x(t ), y(t )) [a x(t ) y(t ) dt]
2
b
1/ 2
第一章 距离空间
例5：l 2 表示满足 | xi |2 的实数列的全体，则其
i 1
中任意两点
x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn )
n
（c), (d)说明，在赋范线性空间中，线性运算对范 数收敛是连续的。
第二章 赋范线性空间
2.3 有限维赋范线性空间
1、定义：若赋范线性空间E存在有限个线性无关
的元素 e1 , e2 ,, en ，使任意的 x E
都有
x xi ei
i 1
n
则称E为有限维赋范线性空间，称 {e1 , e2 ,, en }
n
( x, y ) [ | xi yi |2 ]1/ 2
1 ( x, y) max | xi yi |
1i n
i 1
第二章 赋范线性空间
例2： C[ a ,b ]
其中可定义范数
|| x || max | x(t ) |
a i b
并由它导出距离
( x, y) max | x(t ) y(t ) |
a i b
第二章 赋范线性空间

高中数学第一章空间向量与立体几何2.5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册

高中数学第一章空间向量与立体几何2.5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册

＝|－1| 3
＝
3 3
.
即点A到平面EFG的距离为
3 3
.
直线到平面、平面到平面的距离 [例4] 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC ＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1.
(1)求证：BE∥平面DCF； (2)求BE到平面DCF的距离．
[解] (1)证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD，AE∩AB＝A，DF∩DC＝D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC，∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒ABDC ＝DCDB ， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝ 5 ， ∴AD＝2 5 ，AB＝5，∴F(0，0，1)，
―AM→＝(4，0，0)＋λ(－4，3，1)＝(4－4λ，3λ，λ).
又―BM→·―AC→1 ＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4，3，1)＝0，
∴λ＝183 ，∴―BM→＝4－8× 134，8× 133，183 ＝2103，2143，183 ，
∴|―BM→|＝
21032＋21432＋1832
＝4
设 E 满足―A1→E ＝λA―1→C1且 BE⊥A1C1，
―B→E ＝―BA→1 ＋―A1→E ＝(2，0，2)＋λ(－1， 3 ，0)＝(2－λ， 3 λ，2)， 又―B→E ⊥A―1→C1，∴(2－λ， 3 λ，2)·(－1， 3 ，0)＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝12 ，∴―B→E ＝32， 23，2 .
.
|n |
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上 任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平面

“泛函分析”课程教学大纲

“泛函分析”课程教学大纲

“泛函分析”课程教学大纲（本教学大纲按适用专业分（A）、（B）两类）“泛函分析”课程教学大纲（A）课程编号00834250课程名称泛函分析英文名称Functional Analysis课程学分 4课程学时数64开课学期春季适用专业数理学基地班, 数学与应用数学先修课程数学分析，高等代数，实变函数一、基本教学目的和任务泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。

泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。

本课程主要讲述线性泛函分析。

使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。

本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。

本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。

二、课程内容与建议学时本课程的内容包括以下几个部分: 绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。

绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。

内容的前三章侧重于泛函分析中的空间理论,特别是Hilbert空间的几何特征。

第四章介绍了有界线性算子以及有界线性算子空间的概念，系统地讲述Banach空间中的基本定理和它们的应用，即：一致有界原理，开映像定理和闭图像定理。

第五章介绍了Hahn-Banach定理，以及共轭空间。

“泛函分析”课程学习指南

“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。

绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。

空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert 空间的几何特征。

算子理论中主要介绍了Banach 空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach 定理，这是本门课程的核心内容。

算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。

为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。

绪论1. 知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景2. 重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。

3. 学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。

第一章 距离空间1. 知识要点距离空间的定义； 收敛性； 开集； 闭集； 连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2. 重点难点一些具体的距离空间（如：[,], , , , p p C a b L l S s ）的完备性，可分性及收敛的具体含义。

3. 学习要求(1) 掌握距离空间的定义及例；(2) 掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3) 清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4) 掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。

第二章 赋范空间1. 知识要点赋范空间和Banach 空间的定义；范数与距离的关系；Riesz 引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2. 重点难点(1) 范数与距离的关系；(2) Riesz引理的内容与应用。

高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册第一章 1.2.5空间中的距离(1)教学设计

教学设计11111111,-4,3,5,9060,.ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA AC ===∠=∠=∠=例1：已知平行六面体中，求的长11AC AB AD AA =++解：()22112221111222=+2+2285435243cos90245cos60235cos6085=++++⋅⋅+⋅==+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA AC4,3,,,.ABCD AB AD AC ABC ADC B D ==例2.已知在矩形中,沿对角线折叠使平面与平面垂直,求点之间的距离()222222,,,34125,55997,525552D B DE AC E BF AC F ADC ABC DE BF AC DE BF AD AE CF EF AC DB DE EF FB DB DE EF FB DE EF FB DE EF ⊥⊥⊥⊥⨯========-⨯==++=++=+++⋅解法一过点和点分别作于点于点因为平面平面所以则由已知条件可知+22337337,.255DE FB EF FBB D ⋅+⋅=故间距离22,,,,,,,,127,,55121270,0,,,,055512712,,55512712555D DE AC E B BF AC F E FB EP E EP EC ED x y z DE BF EF D B DB DB ⊥⊥===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解法二:如图，过点作于点过点作于点过点作的平行线以为坐标原点所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系.由解法一，所以23375337,.5B D =故间距离11111112-2,1,3,ABCD A B C D AB AD AA A BC ===例：在长方体中，求点到直线的距离.()()21,2,339=A H λλλ=--⋅-()()221=+2+33=10A B BC H λλλλ+--H -=1112211==13BH BA BC BH BC H A B BH ⋅=-=上的射影向量为()11111111111111111111,..=13=5101,5070,sin 5077710sin 5105010710.10A B A C A BC A H BC H A B A C BC cosC C C A H A C C A BC π∆⊥==∈==⋅=⋅==解法四：连结在中作于由已知得，，由余弦定理所以即点到直线的距离为2m总结一.空间中两个图形之间的距离二.空间中两点之间的距离;点到直线的距离三.用向量方法解决空间中两点之间和点到直线的距离问题5s作业课本58页练习B 1, 2。

“泛函分析”课程学习指南

“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。

绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。

空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert空间的几何特征。

算子理论中主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach定理，这是本门课程的核心内容。

算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。

为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。

绪论1.知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景2.重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。

3.学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。

第一章距离空间1.知识要点距离空间的定义；收敛性；开集；闭集；连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2.重点难点一些具体的距离空间（如：[,],,,,p pC a b L l S s）的完备性，可分性及收敛的具体含义。

3.学习要求(1)掌握距离空间的定义及例；(2)掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3)清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4)掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。

第二章赋范空间1.知识要点赋范空间和Banach空间的定义；范数与距离的关系；Riesz引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2.重点难点(1)范数与距离的关系；(2)Riesz引理的内容与应用。

3.学习要求(1)掌握赋范空间的定义和典型例子；(2)能够证明一些具体空间是赋范空间及它的完备性；(3)准确掌握Riesz引理的背景，内容和应用；(4)掌握有限维空间的几何特征；(5)了解赋范空间中的级数和商空间的含义。

ch2-1 距离空间的基本概念

n n n n 2 2 d 1 x , y x i y i x i z i z i y i xi zi zi yi i 1 i 1 i 1 i 1
这些“极限”概念的一个共性----“距离”概念的渗透(仅限于实 直线上两点之间的距离)： |xn-x|0 指xn与x之间的“距离”无限地减小； |fn(x)-f(x)|0 |f(x)-A|0
在泛函分析中, 将定义一种更具有一般意义的抽象的“距离” 概念，它将实直线上的“数列的收敛”、“函数列的收敛”及 “函数的极限”等概念都包括在“按距离收敛”、“距离函数的 极限”等概念之中，使我们更容易认识那些“初看起来似乎毫无 关系的某些极限过程”之间的本质联系。
t a ,b
----连续函数空间C[a,b] 按距离
d 2 x, y ( x t y t ) dt
a
b
2
1 2
d1 x, y x t y t dt
a
b
构成另外两个距离空间
证：z=z(t)C[a,b]，非负性与对称性显然
1 p
点列xk 按坐标以 p幂平均收敛于 x
3.距离空间的开集、闭集及有界集 距离空间中的开球（点的邻域）、闭球
定义4(开球(或点的邻域)与闭球) 设(X,d)是距离空间, x0X, r>0
1）称集合S(x0,r)={xd (x,x0)<r, xX}是以x0为中心，r为 半径的开球，或x0的一个r邻域
b b
x t z (t ) dt z (t ) y t dt d 1 (x , z ) d 1 (z , y )
b b a a
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C
[
a
,
b
]
按
?1(x,
y)
?
?b a
x(t)
?
y(t)
dt
是不完备的距离空间
C[a , b] 按
? (x,
y)
?
?? b
? ?a
x(t )
?
y(t )
2
dt
?1/ ? ?
2
是不完备
的距离空间
2) 稠密性
定义（稠密性）设 X 是距离空间， A, B ? X 。若
? x? A，总存在 B 中的点列 x n 收敛于 x
是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
2? Q
同理，点列
{xn} ?
{(1?
1 n
)
n
}
是
Q
中的
Cauchy
点列，但
不是收敛点列。
例 2，设空间
X=(0,
1)，则点列{xn}
?
{ n
1 ?
} 1
?
X 按定义
?(x, y)? x ? y 是 X 中的 Cauchy 列，但在 X 中不收
敛（极限值 0 ? (0,1) ）。
为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
极限点（聚点）、导集 ：设 E 是一个集合， A ? E , x0 ? E ， 若在 ? O ( x0,? ) 内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 为 A 的一个 极限点 （或聚点 ）。 A 的极限点的全体称 为 A 的 导集 。记作 A?。
闭包 ： A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包，
③ 若定义? 2(x, y)? ?x ? y?2 ， 验证不满足第三条公理，所以R1 按定义 ? 2 不是
距离空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
? x ? (x1, x2,L , xn ), y ? ( y1, y2,L , yn ) ? Rn
C[a,b]的完备化距离空间。
同理，C[a , b] 按距离
例 1 Rn 按欧氏距离是完备的距离空间。 证： 见参考书
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间 l2 和 L2[a,b]按通常意义下的距离是完备的。
例 4 C[a , b ] 按 ? (x, y) ? max x(t) ? y(t) 是完备的距离空间； t? [ a ,b ]
n
? 定义 ?(x, y)? (xi ? yi )2 i?1
证明：Rn 在 ? 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。
Rn , ? x ? (x1, x2,L , xn ) , y ? ( y1, y2,L , yn ) ? Rn
?
3(x,
y)
@max 1? i? n
xi
?
yi
，
?
4(x,
y)
@min 1? i? n
2） 柯西点列（Cauchy） 定义 设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若
? ? ? 0, ? N , 当 n, m ? N时 , ? ( xn , xm ) ? ? （即 n, m ? ? 时，? (xn , xm ) ? 0 ）
则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。
例如在
R1
3 ）距离空间的完备化
距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。
如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间
?
这就是距离空间完备化的问题。
定义 1(映射) 已知 (R, ? ), ( R1, ?1) ，如果
? x ? R ???一规定律 ?? y ? R1 ，
则称这个对应关系 T 是一个由 R 到 R1 的映射（或算子），
记作 A ? A?U A 。
结论 ：闭包一定是闭集。 A 是闭集 ? A?? A ? A ? A
§1.3 距离空间的稠密性与完备性
1）完备性 定义（完备性）在距离空间 X 中，若 X 中的任一
Cauchy 点列都在 X 中有极限，则称 X 是完备的距离 空间。
结论：在完备的距离空间中，收敛点列与 Cauchy 是 等价的。
? 全体，即
Lp
[a
,
b]
?
? ??
x(t
)
b a
x(t)
p
dt
?
??
?
??。
? ? ? ? x(t), y(t) ? Lp , 定义 ? (x, y) ? b x(t) ? y(t) p dt 1/ p a
则 Lp[a,b]是距离空间，常称为 p 方可积的空间。
特别的，当 p=2 时， L2[a,b]称为平方可积的空间。
（即? x?
A, ?{xn} ?
B
，使
lim
n??
xn
?
x ），
则称 B 在 A 中稠密。
例 1 有理数集与无理数集都在 R1 中稠密。
定理（稠密等价）设 A, B ? X ，以下三个命题等价 （1）B 在 A 中稠密； （2） B ? A，即 A 的任何点都是 B 的点，或者是 B 的 聚点； （3）? x ? A，x 的任何邻域 O( x,? ) 中都含有 B 中的点；
证明：设 n ? ? 时, ? (xn , x) ? 0 ，
Q ? (xn , xm ) ? ? (xn , x) ? ? (xm, x)
则 n,m ? ? 时, ? (xn , xm ) ? 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … ?
（即 n ? ? 时 , ? ( xn , x) ? 0 ） 则称点列 x n 在 X 中按距离 ? 收敛于 x，记作
lim
n??
xn
?
x 或 xn
?
x(n ?
?)
此时，称 x n 为收敛点列， x 为 x n 的极限点。
定理 1（极限唯一性） 在距离空间 X 中，收敛点列 x n 的极限是唯一的。
论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
§1.1 定义和举例
1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若
? x, y? X ??按?规一则定?? ?(x, y)? 0，且满足（距离公理 ）
（1）非负性 ?(x, y)? 0,当且仅当 x ? y时, ?(x, y)? 0
（2）对称性 ?(x, y)? ?(y, x) （3）三角不等式 ? x, y, z ? X, 有
记为
y ? Tx
定义 2(等距映射) 设(R, ? ), (R1, ?1) 都是距离空间，如
果存在一个由 R 到 R1 的映射 T，使得 ? x, y ? R，有
?1(Tx,Ty) ? ? (x, y)
则称 R 与 R1 是等距空间，（或称等距同构空间），T 称为
等距映射。
R
Ty R1
x
Tx
y
例 设 Rn 欧氏距离空间，P 是 n 阶正交矩阵，且 ? x? Rn ， Tx ? Px ，证明： T 是由 Rn 到 Rn 的等距映射。
R
R1
R0
Q
Q
R1
例 1 有理数空间 Q 与完备实数空间 R1 中的稠密子空 间 Q 是等距同构的，所以实数空间 R1 是有理数空间 Q
的完备化空间。
例2
C[a,b]按距离
?
(x,
y)
?
?b a
x(t)
?
y(t)
dt
是不完备的，
但C[a,b] ? L1[a,b]，且 C[a,b]在L1[a,b]中稠密，故 L1[a,b]是
特别的，当 p=2，l2 称为平方可和距离空间。
Remarks: 对不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离。 对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空 间。
§1.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间， {x n}是 X
中点列， x ? X 。若
? ? ? 0, ? N , 当 n ? N时 , ? ( xn , x) ? ?
证：由已知 ? ? , ? ? R n （列向量），有
n
? ?(? , ? )? (xi ? yi )2 ? (? ? ? )T (? ? ? ) i?1
故 ? (T? ,T? ) ? ? (P? , P ? ) ? ? (? , ? )
定理（完备化定理）对于每一个距离空间 R，必存在 一个完备化的距离空间 R0，使得 R 等距于 R0 中的一个 稠密子空间 R1，并称 R0 为 R 的完备化空间，且在等距 同构的意义下，R0 是唯一的。
例 5 设l p (P ? 1)是所有 p 方可和的数列所成的集合，
?
? 即? x ? { x i } 满足 x i p ? ?? ， i?1
??
p ?1/ p
? 对于 ? x ? {xi}, y ? {yi}? l p ,定义 ? (x, y) ? ??? i?1 xi ? yi ??? ，
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
中，点列{xn}
?
{1} n
，是
Cauchy
列，也是收敛
点列。
注：R1 中有结论：{x n}是收敛数列 ? {x n}是 Cauchy 数列。
但在一般的距离空间中，该结论不成立 。
定理 若{x n}是（X, ?）中的收敛点列，则{x n}一定是
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
的度量空间。
例3 设C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的
全体。? x(t), y(t) ? C[a,b]，定义