【推荐】高中数学人教A版选修231.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)课件.ppt

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案基础梳理1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1n＋C r n．2．二项式系数的性质3．赋值法的应用．设f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n.(1)a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝f(1)．(2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝f(－1)．(3)a0＋a2＋a4＋a6＋…＝f（1）＋f（－1）2．(4)a1＋a3＋a5＋a7＋…＝f（1）－f（－1）2．(5)a0＝f(0)．☞想一想：设(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＋a1＋a2＋…＋a8的值为1．自测自评1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展开式的各项系数之和为(C)A．199 B．2100－1 C．2101－1 D．21002．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(C)A．8 B．9 C．10 D．11解析：由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10. 故选C.3．设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(B)A．0 B．1 C．6 D．15解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.对二项式定理理解不透致误【典例】设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋C n n6n－1＝________．解析：原式＝16(C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋C n n6n)＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋C n n6n－1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．【易错剖析】由于对二项式定理理解不透，误认为C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋C n n6n－1＝(1＋6)n－1＝7n－1，导致结果错误．基础巩固1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(C)A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋32．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋a n ＝30，则n等于(C)A．5 B．3 C．4 D．7解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋a n＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.3．关于(a－b)10的说法，错误的是(C)A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024.∴A正确．又二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项．∴B 正确．又由通项T r ＋1＝C r 10a10－r (－b )r ＝(－1)r C r 10a10－rb r 知，第6项的系数－C 510最小．∴D 正确．4．下图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 … … … … … …解析：由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －1 能力提升5．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋… ＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋… ＋b n a n，且b 0＋b 1＋b 2＋… ＋b n ＝30，则自然数n 的值为(C )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：令a ＝1，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋ (2)＝2（2n－1）2－1＝2n ＋1－2，又b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，∴2n ＋1－2＝30，解得n ＝4.6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝(B )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，即＝13×（2m ）！m ！m ！＝7×（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！，解得m ＝6，故选B.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式的二项式的二项系数之和为64，∴2n＝64，∴n ＝6，由二项式定理的通项公式可知，Tr ＋1＝C r n·(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝26－r (－1)r ·C r 6·x3－r. 当r ＝3时，展开式的常数项23(－1)3·C 36＝－160.8．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．解析：依题意得2n＝32，∴n ＝5， ∵T r ＋1＝C r5(x 2)5－r·⎝⎛⎭⎫1x 3r＝C r 5x 10－5x.令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C25＝10.答案：5 109．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解析：由题意知，C n n＋C n－1n＋C n－2n＝121，即C0n＋C1n＋C2n＝121，所以1＋n＋n（n－1）2＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍去)．所以在(1＋3x)n展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．(1)证明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n31n－1＋…＋C n－1n×31＋C nn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋C n－1n)，显然上式括号内为整数，故原式能被31整除．(2)解析：S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S除以9的余数是7.。

1.3.2 “杨辉三角"与二项式系数的性质预习导引i •杨辉三角的特点_，与这两个1等距离的项的系数(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它"肩上‘‘两个数的一即 4+1 = c ：-1+ %2•二项式系数的性质⑴对称性:在(a+b)"的展开式中，与 ____________ 的两个二项式系数相等，即畔=c…,cj = C：",…,C石=C驚.(2)增减性与最大值:当罟时，二项式系数是逐渐_的,由对称性可知它的后半部分是逐渐—的,且在中间取到最大值•当n是偶数n 时，中间一项的二项式系数C?取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取到最大值.3•各项二项式系数的和⑴镖+馅+爲+…+嗚二―(2)耸+耸+耸+…+耸+ 蔚…=_,............. 交流(1)(1+“严的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ).A.第n-1项B.第n项C.第n+l项D.第n项，第n+1项(2)(x+1)10的展开式中的各项系数和是( ).A.O B」 C.-l D.210课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测—\与杨辉三角有关的问题E 活动与探究 问题1：观察（a+b/展开式的二项式系数0+»…… 1 1 (d+b)2 ……121 ©+硏…… 1331 ©+方『…… 14641 (°+切5 …… 15 1010 5 1 (。

+矿……1 6 15 20 15 6 1找一些这些数的规律.课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测问题2：问题1中的表称为“杨辉三角：杨辉三角有什么作用?问题导学当堂检测L ____ 例1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯1齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…，记这个数列的前〃项和为SS),则S(16 等于()•A.144 C.164B.146 D.461课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU思路分析:该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和•解答本 题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开 式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和.当堂检测课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学当堂检测S3迁移与应用下列是杨辉三角的一部分.11 11 2 /13 3 114/4 11 5 如10 5 1(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗?(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测------------- 名娇❽体----------------解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系•然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解•注意观察方向:横看、竖看、斜问题导学当堂检测看、连续看、隔行看，从多角度观察.二、二项式系数的性质E2活动与探究问题:根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？L ------ 彳列2(l+2xf的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开问题导学当堂检测式中二项式系数最大的项和系数最大的项.问题导学当堂检测解:T6=C^(2x)59T7=Cj(2x)6,依题意有C^25=C^2%H=8.故(l+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C| • (2x)4= 1 I?。

A．第 6 行
B．第 7 行
C．第 8 行
D．第 9 行
(2)如 图 ， 在 杨 辉 三 角 中 ， 斜 线 AB 上 方 箭 头 所 示 的 数 组 成 一 个 锯 齿 形 的 数 列 ：
1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )
A．144
B．146
C．164
D．461
[解析](1)由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除
2
去两端数字 1 以外，均能被 7 整除． (2)由题干图知，数列中的首项是 C2，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，
1．3．2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 预习课本 P32～36，思考并完成以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？
2．二项式系数的性质有哪些？
1．杨辉三角的特点
[新知初探]
(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 Cn＋r 1＝Cr－n 1
5
之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错
误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
A．11
B．10
C．9
D．8
＋Cnr ．
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cn－nm)． n＋1

Cr ·320－ r·2r≥Cr＋1·319－ r·2r＋ 1， 20 20 r － － 20－ r r－ C20·3 ·2r≥C20 1·321 r·2r 1， 3（r＋1）≥2（20－r）， 化简得 2（21－r）≥3r，
2 2 解得 7 ≤r≤8 (r∈N)， 5 5 所以 r＝8， 8 即 T9＝C20312·28·x12y8 是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第 2r－1 项系数最大， 于是
如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系 数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an.若 要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x ＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果．
题型一
与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的 上方，从1开始箭头所示的数组成一 个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，
2
(2分)
(4分)
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中
T3＝C2(x3)3(3x2)2＝90x6， 5
2 22
T4＝C3(x3)2(3x2)3＝270x 3 . 5
(6 分)
(2)展开式的通项公式为 假设
2 ＋ r r Tr＋1＝C53 ·x3(5 2r)．
Cr 3r≥Cr－1·3r－1， 5 5 r r Tr＋1 项系数最大，则有 ＋ ＋ C53 ≥Cr 1·3r 1， 5
10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19
的值． [思路探索] 本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在 杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系 数，再利用组合数求解．
解 由图知，数列中的首项是 C2，第 2 项是 C1，第 3 项是 2 2 2 C2，第 4 项是 C1，„，第 17 项是 C10，第 18 项是 C1 ，第 19 3 3 10 2 项是 C11. 1 2 1 ∴S19＝(C2＋C2)＋(C1＋C3 )＋(C4＋C2)＋„＋(C1 ＋C2 )＋C2 2 3 4 10 10 11 1 2 ＝ (C 1 ＋ C 3 ＋ C 1 ＋ „ ＋ C 1 ) ＋ (C 2 ＋ C 2 ＋ „ ＋ C 11 ) ＝ 2 4 10 2 3 （2＋10）×9 ＋C3 ＝274. 12 2 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通