控制系统的动态数学模型共205页

在没有外接元件的情况下，运算放大器就 是个比较器，同相端电压高的时候，会输出 近似于正电压的电平，反之也一样……只有 在外接电路的时候，构成反馈形式，才会使 运放有放大，翻转等功能……
⑩ 电枢控制式直流电动机
电动机转矩：
反电动势：
（二）建立数学模型的一般步骤 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程， 依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出 各元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂 排列
机械系统：牛顿力学定律 电学系统：基尔霍夫电压电流定律、电容、 电感电路，运算放大器原理，晶体管原理 等。 机电系统：电动机的特性方程。 （一）知识回顾： ① 牛顿第二定律：
d x dv F ma m 2 m dt dt
2
②胡克定律 ： F kx
F k
F c ③阻尼定律： F cx 在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用 的一种阻尼模型。阻尼力F的大小与运动质 点的速度的大小成正比，方向相反，c为粘 性阻尼系数，其数值须由振动试验确定。
C C R R u (( C R R u C u C C R R u22 C R C C R u R R C ) u u u u u 22 11 11 22 11 11 22 11 22 22 22) 22 22 11
例2 直流电动机 (1) 输入： ua 输出：
ua
UR ⑤ 阻性元件： iR R
⑥
1 感性元件： iL L u L dt
duC ⑦ 容性元件： iC C dt
⑧ 基尔霍夫电压定理：电网络中的闭合回 路中电势的代数和等于沿回路的电压降的 代数和。

t
s0
..
位移定理
L[ f (t 0 )] e0s F (s)
卷积定理
t
F1(s)F2(s) L[ 0 f1(t ) f2()d] f1(t ) f2() f1(t) f2(t)
拉氏反变换（部分分式展开法）
F(s)

B(s) A(s)

b0sm b1sm1 sn a1sn1
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
..
本章主要内容
本章介绍了 建立控制系统数 学模型和简化的 相关知识。包括 线性定常系统微 分方程的建立、 非线性系统的线 性化方法、传递 函数概念与应用、 方框图及其等效 变换、梅逊公式 的应用等。
dx2
x0
(x x0 )2

y
y0

f
(x)
f
(x0 )

df (x) dx x0
(x
x0 )
具有两个自变量的非线性函数的线性化
y K x
y

f
(x1, x2 )

f
(
x10
,
x
20
)


f
( x1 , x1
x
2
)

(
x1
0
a0
d dt n
n
c(t)

a1
d dt n1
n1
c(t)

aΒιβλιοθήκη 1d dtc(t)

anc(t)

b0
d dt m

2.3
动态结构图：
闭环控制系统的动态结构图
根据系统传递函数绘制，是系统图形化的数学模型。
调节器传递函数 可控硅传递函数 直流电动机传递函数 测速发电机传递函数
U k (s) = K p (1 + 1 / T i s ) ∆U (s) U a (s) Ks G (s) = = U k (s) Tss + 1 Km Ω (s) G (s) = = U a (s) Tm s + 1 U f (s) G (s) = = Kt Ω (s) G (s) =
第二章
控制系统的数学模型
数学模型： 描述自动控制系统输入变量、输出变量和内部变量之间关 系的数学表达式。
动态模型：描述控制系统动态特性的数学模型。 常用的动态模型有：微分方程、传递函数、动态结构图。
2.1
一、传递函数的概念和定义
传递函数
这一概念只适用于线性定常系统。
例. RL电路，ur若作输入，i作输出，求系统传递函数。 解： ①依据系统遵循的电路定理，列写微分方程 Ldi(t) / dt + Ri(t) = Ur(t) ②在零初始条件下，即i(0)=0时,对上式进行拉氏变换 LSI(S)+RI(s)=Ur(S) 传递函数：线性定常系统在零初始条件下， 系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比 ③由定义，得传递函数 G(S)=I(S)/Ur(S)=1/(LS+R)
三、扰动作用时的闭环传递函数 令 r(t)=0 Φn(s) = Cn(s) / N(s) = G2 / (1+G 1G 2H) Cn(s)= Φn(s) N(s)
系统总输出
C(s) = Cr(s) + Cn(s)
四、闭环控制系统的误差传递函数

)
1
其是m 中由d 2d系,yt(at统i),本bcj身d(yd的i(=tt0)结,1构,K2,y参…(t数),n;所jf 决=(t0)定,1,。2,…G,m(s))均 为YF((实ss)) 数 m，S
2
1 cS

k

不传考递虑函初数始:值零，初对始上条式件两下边，进系行统拉输氏出变与换输，入可拉得氏：变换之比.
其传(G1不(传输将)传中递(C考s(微递入a递s,函)a)虑ni,分函函数bS初jLR(rCi[Rn数性方数=c(C(始(0t((bSt只质,))ss程1:(m值]),,))s极2适：S零),，R拉…m点用系(GsK对初Rb,氏)naa于m(;0统(上nnS始jLS变s线S([=()1式)SrmS0Sn条(性换t,两1)n],定b件2便)C1边a,bpmczC…常n1m1((下进可S))1(t,1(m(系S1)s)S行S，SS)求)m统是nm拉系输得11。由.R1z氏p.统.2出传系2().变)s.....输统..)递a..换..(1(本S出SSa函，.b1.1身1.CS可与数S的1z(得1p输mbs,结n表1))：)Sa入b构0示10Ra拉参G0为(C数s氏()：s(零所s)变)点决b换0CR定R之((的(sss))比实) 数. 。

ic (t )

1


uA
(t
)

R4

ic
(t)

C
ic (t )dt
对角相乘后进行拉氏反U A变( S )换得微分方程:
Ui((TS2)S
1)U R1
o
(S)

R2K (TR15S

1)URi4(
S
)1 CS

第五讲
第二章 控制系统的动态数学模型
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
1
2.8 绘制实际物理系统的函数方块图
例2-22
k1 J1 k2 J2
D
i (t )
Ti (t )
A (t )
T2 (t )
o (t )
图 2-32 转 动 惯 量 —弹 簧 —阻 尼 系 统
i (t ) 输入转角
A ( s)
k2 -
T2 (s)
1 J 2 s 2 Ds
o (s)
图 2-33 系 统 方 块 图
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
6
例2-23绘制系统方块图
R1 R2
U i ( s)
U A ( s)
I1 (s)
C1
I 2 ( s) C2 U o ( s)
图 2-36 无 源 滤 波 网 络
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
7
各环节方块图如2-37所示
U i ( s)
－
1 R1
I1 (s)
I1 (s)
－
1 C1s
U A ( s)
U A ( s) U A ( s)
－
(a)
1 R2
I 2 ( s)
I 2 ( s)
(b)
I 2 ( s)
1 C2 s
(d)
U o (s)
U o (s)
10-7-20
2
（2-41）
（2-42） （2-43）
T2 (s) k 2[ A (s) o (s)]
T2 (s) J 2 s o (s) Dso (s)
2
每一个方程理解为系统的一个环节，画出各环节 的方块图。

章控制系统的数学模型
数学模型：描述控制系统输入变量、输出变量和内部 变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。 描述控制系统动态特性的数学模型，称为动态模型。 在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述变量之间 关系的代数方程称为静态模型。
常用数学模型：常用解析形式的动态模型有微分方程、 差分方程、传递函数；常用图形形式的动态模型有动 态结构图、信号流图、频率特性。
讨论：(1) 两个完全不同的系统可能具有相同的传递函数。 (2) 相似系统：物理量不同的两个系统具有相同形式的微 分方程(数学模型)，这种系统称为相似系统。而在微分方 程中占据相同位置的物理量称为相似量。
表:相似量(uc=q/C)
机械系统 F m f k y v
L(ss)IR(sI)C 1Is(s)U r(s)
1
I(s) Cs
Uc(s)
例2-2 设有一质量-弹簧-阻尼器的 机械平移系统，如图2-4所示。外力F(t)
F(t)
k
为输入量， 质量块的位移y(t) 为输出量， 试求系统的传递函数G(s)。
m
解：弹簧的恢复力 F1(t)ky(t)
阻尼器的阻力
F2(t)
设r(t)和c(t)及其各阶系数在0时的值均为零，即零初始条 件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]， R(s)[r(t)]，可得s的代数方程为：
[ a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ] C ( s ) [ b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s a m ] R ( s )
LC ，
1 2
RC L则Fra bibliotekG(s)T2s2
1
2Ts1
令T
m ， 1

控制系统的数学模型控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。

自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。

因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。

熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。

§2—1 列写微分方程的一般方法微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。

建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1）根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量；（2）根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；（3）在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4）消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件的微分方程；（5）对求出的系统微分方程标准化。

即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。

例：列写下图所示RC 网络的微分方程。

解：1、明确输入、输出量输入量：RC 网络的电压u r ；输出量：u c2、建立输入、输出量的动态联系根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即u u c r Ri += (1)dtd Ci u c= ………（2）（i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量-+-将（2）式代入（1）式得u u u c cr dtd RC+= 4、系统的微分方程的标准化 u u u r c cdtd RC=+ 例2：列写下图所示RLC 网络的微分方程。

（零初始条件）解：1、明确输入、输出量输入量：u i ；输出量：u c 2、列写个组件的原始方程==++=)3()2()1( dt d C i dt di L iR u u u u u c Lc L i （i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）、（2）则得=++=)5()4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC cL c L c i将（5）代入（4）则得u t u d u u cc c id LC dt d RC++=224、系统的微分方程的标准化u u u t u d i c c c dt dRC d LC =+++22即为所求的微分方程例3：列写下图所示RL 网络的微分方程。

控制工程基础

2.1 系统的数学模型

数学模型是描述系统输入、输出量以及 内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间 的内在关系。

静态数学模型 : 静态条件（变量各阶导
数为零）下描述变量之间关系的代数方 程。反映系统处于稳态时，系统状态有 关属性变量之间关系的数学模型。
控制工程基础

2.2 数学模型的线性化
线性化的提出： 线性系统是有条件存在的，只在一定的范围内 具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性 化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满 足实际。
控制工程基础

非线性系统数学模型的线性化
控制工程基础

非线性系统数学模型的线性化
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移
到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是
以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，
系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程：数的拉式变换
幂函数(Power Function)：
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变 换表直接或通过一定的转换得到。
控制工程基础
控制工程基础
拉氏变换积分下限的说明: 在某些情况下，函数 在t＝0处有一个脉冲函数。 这时必须明确拉氏变换的积分下限是0-还是0+， 并相应记为：
控制工程基础
拉普拉斯变换的定义
（1）当t<0时， ； t>0时， 区间上分段连续。 （2）存在一正实常数σ，使得： 为指数级的； 则函数 在任一有限
的拉普拉氏变换存在，并定义为： F (s) L f (t ) f (t )e st dt 0 s：拉普拉斯算子；Res> ；量纲为时间的倒数 f(t)：原函数（时间域）F(s)：象函数（复数域） L为拉氏变换的符号;

定律及实验规律为依据的微分方程又是最基
本的数学模型，是列写传递函数和状态空间
方程的基础。 2019/9/11
控制工程基础
本章要熟悉下列内容： 1、建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统和电
路网络）的数学模型及模型的线性化
2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换 3、经典控制理论的数学基础：传递函数 4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图 5、受控机械对象的数学模型 6、绘制实际机电系统的函数方块图 7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型
控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型 2.2 数学模型的线性化 2.3 拉氏变换及反变换 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数 2.5 系统函数方块图及其简化 2.6 系统信号流图及梅逊公式 2.7 受控机械对象数学模型 2.8 绘制实际机电系统的函数方块图 2.9 状态空间方程
2019/9/11
2019/9/11
控制工程基础
电动机 减速器
k1 J11
工作台+工件
k32 m31 m32
k231
k121
J12
J3
J2
k31
m2
k232 k122
k1 m1
20系19/统 9/11 1
D1 k121 m2 k122
D2 k231
k232 系统 2控制工程基础
k31 k32
D3 m31+m32
系统 3
传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之
间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学 模型。
建立数学模型是控制系统分析与设计中最
重要的工作！ 2019/9/11
控制工程基础
2.1.1 质量-弹簧-阻尼系统

1 s
k s 1 s r 1 1 as e s
e at
1 t n 1e at (n 1)!
k
1 r t r!
u(t-a)：在 t=a 处 开始的单位阶跃
1 sa 1 sa 1 ( s a)n
sin t
s2 2
cost
s s2 2
§ 2-3 拉氏变换及反变换

st st e n n 1 st n n e n 1 e n 1 t dt t | nt dt t e dt L t 0 0 0 0 s s s s s n n 1 n 2 21 n! 0 L t n 1 s s s ss s


0
x(t )e st dt
x(t ) e at 1(t )
X ( s ) L x(t ) e at
0
象函数为：


0
x(t )e dt e at 1(t )e st dt
st 0

e 1 e st dt |tt 0 a s sa
§ 2-1 控制系统的微分方程
将已知输入信号代入微分方程中，求解微 根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导 分方程即可求得系统输的出响应。 数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。
线性定常系统微分方程的一般形式
r(t) c(t) 微分方程 系统微分方程的一般表达式为 ：
nc(t) n-1c(t) d dc(t) d a0 n +a1 n-1 +· · · +an-1 dt +anc(t) dt dt m-1r(t) mr(t) dr(t) d d +bm-1 = b0 dtm +b1 dtm-1 +· · · +bmr(t) dt

相似系统中的相似变量
弹簧阻尼系统 机械系统 电系统 电压u 电感L 电阻R 电容的倒数 1/C 电荷q 电流I
力F 转矩T 质量m 转动惯量J 黏性摩擦系数f 黏性摩擦系数f 弹簧系数k 扭转系数k 位移x 角位移 速度v 角速度
3.2.3控制系统微分方程的求解
经典法：该方法是求出微分方程的齐次解和特 解。特解与输入信号的形式相同，齐次解的系 数由初始条件确定。 零输入响应与零状态响应法：用叠加法。
5) 传递函数是在零初始条件下定义的, 不能反映在非零初始条件下 系统的运动情况。（ 传递函数忽略了初始条件的影响。 ）
6) 一般为复变量 S 的有理分式, 对实际系统而言分母的阶次n大于分 子的阶次m，此时称为n阶系统，即 nm。且所有的系数均为实数。
7）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统 的输出或响应。 8）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出 量的实验方法，确定系统的传递函数。 9) 传递函数与脉冲响应函数一一对应 . 脉冲响应函数是指系统在 单位脉冲输入量作用下的输出。
d 2 uc duc T1T2 T2 uc u r 2 dt dt
i
T1、T2的量纲：[T1]=[L/R]=秒 [T2]=[RC]=秒 则T1、T2是电路网 络两个时间常数，
例3：机械系统举例： 弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图所示。列出以外力F(t)为输入量， 以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。 F(t) K 解：按照列写微分方程式的一般步骤有： y(t) m 1）确定输入量、输出量，作用于质量m的力还有 弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t) ，均作为中间变量； f 2）系统按线性集总参数考虑，且当无外力作用时， 系统处于平衡状态； d2y F F (t ) Fk (t ) Ff (t ) m 2 dt 3）由牛顿第二定律写原始方程： dy F ( t ) ky F ( t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： k f dt 2 d y dy 5）将上式代入原始方程消中间变量得：m 2 ky f F (t ) dt dt m d 2 y f dy 1 y F (t ) m f 6）整理成标准型： 2 2 令 T T k dt k dt k m f

在没有外接元件的情况下，运算放大器就 是个比较器，同相端电压高的时候，会输出 近似于正电压的电平，反之也一样……只有 在外接电路的时候，构成反馈形式，才会使 运放有放大，翻转等功能……
⑩ 电枢控制式直流电动机
电动机转矩：
反电动势：
（二）建立数学模型的一般步骤 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程， 依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出 各元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂 排列
⑥
du2 ⑤ i1R R C u u 1 2 2 2 1 dt C C R R u ( C C ) R u R C u u C C R R u ( C C ) R u R C u u u 21122 1 2 1 2 22 2 2 1 21122 1 2 1 2 22 2 2u 1
例1 两级RC滤波网络
（1）明确系统的输入和输出
u
1
u
2
输入
u
1
输出
u
2
已知：输入、系统
未知：输出
（2）列出各环节的微分方程 1 iR ( i i2)d t u 1 1 1 1 C 1
1 i2 dt u 2 C2
三个未知量
三个方程 1 1 iR id ( i i ) d t 2 2 2 t 1 2 C C 2 1
机械系统：牛顿力学定律 电学系统：基尔霍夫电压电流定律、电容、 电感电路，运算放大器原理，晶体管原理 等。 机电系统：电动机的特性方程。 （一）知识回顾： ① 牛顿第二定律：
dx d v Fm am 2 m d t d t

控制系统的数学模型
控制系统是一种能够自动实现某种规律性动态过程的机电设备，具有广泛的应用和重要的意义。

为了更好地理解和设计控制系统，我们需要学习控制系统的数学模型。

控制系统的数学模型是对系统动态行为的精确描述，通常用微分方程或差分方程来表示。

这个模型是由系统的结构和性质所决定的，因此在设计控制系统时需要考虑到不同方面的因素。

在实际应用中，通常采用系统的状态空间描述法来建立数学模型，其基本形式是：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统各输出量之间的关系；u(t)为输入量向量，表示系统受控的变量；y(t)为输出量向量，表示系统运行时的响应状态；A、B、C、D是系统常数矩阵，分别表示状态转移矩阵、输入特性矩阵、输出矩阵和直流通道矩阵。

这个模型允许我们对控制系统的状态、输入、输出之间的关系进行全面的分析和掌握。

控制系统的数学模型建立好之后，我们需要对其进行仿真和实验验证。

通过模拟相应的输入和输出，可以检验数学模型的可靠性和精度，并找出有误差的地方进行调整和改进。

同时，也能够为控制系统的设计和优化提供有力的指导和参考。

综上所述，控制系统的数学模型是其设计和优化的基础和关键，
建立好数学模型能够更全面地分析和预测系统的运行状态，并为进一
步进行仿真和实验提供必要的基础。

因此，在学习和设计控制系统时，需要注重数学模型的学习和应用，以提高系统的可靠性和实用性。

（2） 建立初始微 分方程组
ur= Ri + uc
i
=C
duc dt
（3）消除中间变量， 使式子标准化
R
+
+
i
u
C uc
-r
-
（R1C）量dd确ut和c定输+输u出入c=量ur
RC电输路入是量一：阶u常r 系 数线输性出微量分：方u程c 。
对于由多个环节组成的各类控制系 统的微分方程， 其建立过程可由原理图 画出系统方框图， 并分别列写出各环节 的微分方程， 再消去中间变量， 即可得
到描述该系统的输入量与输出量之间关 系的微分方程
第一节 控制系统的微分方程
例2．机械位移系统
系统组成： 质量 弹簧 阻尼器
输入量 输出量
初始微分方程组:
根据牛顿第二定律 F = ma
弹簧系数k F(t)
m y(t)
阻尼系数f
第一节 控制系统的微分方程
F(t) –FB(t) – FK(t) = ma 中间变量关系式:
第三章 自动控制系统的数学模型
第三章自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程 第二节 传递函数 第三节 动态结构图 第四节典型环节的传递函数 第五节 控制系统的传递函数
重点：第一节 控制系统的微分方程
第二节 传递函数 第三节 动态结构图
设计举例：设计一个低通滤波器
（如下图）
要求：求出微分方程、传递函数、动 态结构图
bm-1
dr(t) dt
+bmr(t)
第一节 控制系统的微分方程
（三）练习
建立R、Ｌ、C、串联电路的微分方程
R
L
＋
i(t)