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信号第3章 正交分解

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3 连续信号的正交分解1-2

3 连续信号的正交分解1-2
t2 t1
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E

信号与系统第3章总结

信号与系统第3章总结

第3章 连续信号的正交分解1 基本要求（1）了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念（2）能用傅立叶级数的定义、性质以及周期信号的傅立叶变换，求解周期信号的频谱、频谱宽度，画频谱图；深刻理解周期信号频谱的特点（3）能利用傅立叶变换的定义、性质，求解非周期信号的频谱，画频谱图，求信号的频谱宽度；会对信号进行正反傅立叶变换。

（4）深刻理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念，会在时域与频域两个域中求解功率信号的功率与能量信号的能量2 理论提要一 任意信号表示为完备的正交函数集（1）两矢量21,A A 正交的条件是021=⋅A A ，或标量系数0222112=∙=⋅A A A C （2）两个实函数)(),(21t f t f 在区间),(21t t 内正交的条件是⎰=210)()(21t t dt t f t f ，或相关系数（3）正交函数集：设有n 个实函数),(),(),(21t g t g t g n 构成一个实函数集，且这些函数在区间),(21t t 内满足关系式⎰⎩⎨⎧=≠=21)()(0)()(t t i i j i K j i j i K t g t g 为一正数则此实函数集称为正交函数集 (4)两个复数函数)(),(21t f t f 在区间),(21t t 内正交的条件是⎰⎰=∙=∙**21210)()()()(2121t t t t dt t f t f dt t f t f ；若在区间),(21t t 内，复数函数集{}),,2,1()(),(),(),(21n r t g t g t g t g n r =满足关系式⎩⎨⎧=≠=⎰*)()(0)()(21j i K j i dt t g t g i t t j i 则此复数函数集称为正交函数集 （5）任意信号)(t f 可表示为完备的正交函数集，即)()()()()(2211t g C t g C t g C t g C t f n n r r +++++=应用最广的完备正交函数集是三角函数集，其它还有复指数函数集等。

管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 连续信号的正交分解)

管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 连续信号的正交分解)

F(
j)
e2
2e2 2 j
。
2．频谱函数 F（jω）＝g4（ω）cosπω 的傅里叶逆变换 f（t）等于______。
【答案】
f
(t)
1
[Sa2(t
)
Sa2(t
)]
【解析】因为
F(
j)
g4 () cos
1 2
g4 ()(e j
e j
)
，而
F
1[ g 4
()]
2
Sa(2t)
，根据傅里叶变换的时移特性，可得
x(t t0 ) X (w)e jwt0 ，可得 e j4w (t 4) ， e j4w (t 4) ，再分别乘
以系数即得 f（t）＝
。重点在于傅里叶变换的性质。
1 / 117
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3．信号
的傅里叶变换为（ ）。
)， 2
A2
E
A
2E
，
已知
，根据卷积定理
F2(
)
F1(
)gF1(
)
E 2
Sa2( 4
)
二、填空题
8 / 117
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1．信号
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的傅里叶变换 F（jω）等于______。
【答案】
【解析】
f
(t)
e2 (t)
2e2e2t (t) ，根据傅里叶变换，可得
10．图 3-2（a）所示信号 f（t）的傅里叶变换 3-2（b）所示信号 y（t）的傅里叶变换 Y（jω）为（ ）。
为已知，则图
5 / 117

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

)
F (j )

/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2

j

2
2 sin(

2
1
gτ (t)
)

Sa(

2
)


2
0

2
t
频谱图
F j

2π
O 2π

F j
4π

幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F

2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

信号与系统第三章 连续信号的正交分解

信号与系统第三章 连续信号的正交分解

f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1

若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。

连续信号的正交分解

连续信号的正交分解
如果（或），则称和正交。 ▪ 如果和是复函数，则其方均误差为： ▪ 最佳系数为：
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt

第三章 连续信号的正交分解-2


c
n

Ae T
2
dt
T
Sa(
2
)
A f (t ) T
n jnt Sa( 2 )e n

第三步：频谱分析
An
a
2 n
bn
2
a
n

Cn
A
1 n 与 T 之比值有关，取 T 5
A n Sa ( ) T 2
2 A n 2 A n Sa( ) Sa( ) T 2 T 2
由周期信号f (t )
n
Ce
n

jnt
， 2 2 d
当T ， d，n ，T f (t ) lim TCn jnt Te T n

1 d T , ， T 2 2
讨论：
讨论：
f (t )

1

0
F ( j ) cos t ( )d
从上式可以看出： 1. 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。
2. 不同的是，由于非周期信号的 T , 0,于是它包含了从零到无限高的所 有频率分量。
3. 同时，三角函数振幅 函数作出。
n
n
n

相位频谱图
An
Ae
n
j
2 A n 2 Sa ( ) Cn
N
T
2

n
0
n )0 2 n Sa( )0 2 Sa (
即 Cn>0 即 Cn<0
Cn
1 j An e n — —称复数频谱 2
此例中 为一实数。振幅频谱与 相位频谱可以和画在一张图上。

精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第3章


An cos(nt n )
Fne jnt
n 1
n
F0 2 Fn cos(nt n )
其中：
n 1
an
2 T
t0 T t0
fT (t )cosntdt
bn
2 T
t0 T t0
fT (t )sin ntdt
n0,1,2...
1
n1,2...
Fn
T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
fT (t)sin ntdt
A0 a0 An an2 bn2
n 1,2...
n
arctg
bn an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。
2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍
和正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
a0 A0 直流分量cost, sin t 基波分量 22
fT (t)
Fne jnt
F e j (nt n ) n
F0
2 Fn cos(nt n )
n
n
n1
各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的
振幅和相位，均有傅立叶系数 Fn Fn e jn 反映出来。
为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅
及相位随w变化的曲线称其为频谱图。
的模
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的
模最小，此时V1和V2正交。
2.矢量分解
在平面空间里，相互正交的矢量
V1和V2构成一个正交矢量集，而且为
完备的正交矢量集。平面空间中的任
一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即：
V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：

3 连续信号的正交分解3


第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.3 信号表示为傅立叶级数
• a0/2,an,bn都是分量系数 都是分量系数 • a0/2是函数 /2是函数 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 在该区间内的平均值 直流分量 合成一个角频 • n=1时，即a1cos t+b1sin t合成一个角频 n=1时 =2π/T的正弦分量 称为基波分量 的正弦分量， 基波分量； 率为 =2π/T的正弦分量，称为基波分量； • N〉1时，ancos t+bnsin t合成一个角频 率为n 的正弦分量，称为f(t) f(t)的 率为n 的正弦分量，称为f(t)的n次谐波 分量; 分量; • 称为基波频率，n 称为谐波频率。 称为基波频率 基波频率， 称为谐波频率 谐波频率。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
bn an
§3.3 信 ∫ =
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt cos 2 ( nΩt ) dt
∫ ∫
t1 + T
2 = T 2 = T
∫ ∫
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt
t1
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt sin 2 ( nΩt ) dt
t1 + T
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt
t1
2 n = 0时， a0 = T
∫
t1 + T
t1
f (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析

§3.1 信号正交分解new


③典型信号的频谱： (t ), (t ), 指数信号，正弦信号，直流… …
■
第 2页
信号与系统
电子教案
(2) 系统分析
① 傅氏变换性质及应用
( 信号通过系统后，时间特性及频谱发生变换的 对应关系) y (t ) f (t )
h(t )
F ( j )
H ( j ) Y ( j )
② 系统频率特性描述 H ( j )
2

t2 t1
[ f 2 (t ) Cii (t )]2 dt 0
i 1
n
[ f (t ) Cii (t )] f (t ) 2 Ci f (t )i (t ) Ci i (t )
2 2 i 1 i 1 i 1
n
n
1 Ci Ki

t2 t1
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个 函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足

t2
t1
0 i j i (t ) j (t )dt ki 0 i j
▲ ■ 第 8页
f (t )i (t )dt
n

t2 t1
(t )dt Ki
2 i

t2 t1
f 2 (t )dt 2 Ci2 K i Ci2 K i 0
i 1 i 1
n

t2 t1
t2 t1
f 2 (t )dt Ci2 K i 0
i 1
n


t2 t1
f (t )dt C K i Ci i (t )dt
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An
A1 A3 A5 0 A7 =n
28
4
谱线
n

2
1 3 5 7
第三章 连续信号的正交分解 f (t)
周期性矩形脉冲
… －T 1 A …

0
2 2
T
2T
t
An A n
n 0或
29
第三章 连续信号的正交分解
特点：离散性、谐波性、收敛性
30
第三章 连续信号的正交分解
第三章 连续信号的正交分解
4 1 1 f (t ) sin t sin 3t sin 5t 3 5
14
第三章 连续信号的正交分解
3.3.2 指数傅里叶级数 虚指数函数集
e
jnt
, n 0,1,2


在区间（t0,t0+T）( T＝ 2 )内为完备的正交函数集。
直流 分量 n次谐波分量 n =1，基波分量
8
第三章 连续信号的正交分解
直流分量
a0 2

t1 T
t1
1 t1 T 2 T 1 dt
t1
f (t )dt

t1 T
t1
f (t )dt f (t )
余弦分量系数
an

t1 T
t1
2 t1 T f (t ) cos(nt )dt t1 T t1 2 T cos (nt )dt
n
• 非奇非偶函数
– 三角傅里叶级数：正弦项、余弦项都有，可能有直 流分量。
19
第三章 连续信号的正交分解 非奇非偶函数
f o (t )
20
第三章 连续信号的正交分解
21
第三章 连续信号的正交分解
周期函数的奇谐偶谐性判定及其傅里叶级数特点
T • 奇谐函数 f (t ) f (t ) 2
-1 T 2 f (t ) cos ntdt cos ntdt T cos ntdt 0 T 2 T 2 T 2 f (t ) sin ntdt sin ntdt T sin ntdt T0 2
T 2 0
T/ 2
T
n为奇数 n为偶数

t1
t1 T
t1 t1 T
(e
jnt
) (e
jnt *
) dt T mn
(e
jmt
) (e
jnt *
) dt 0,
15
第三章 连续信号的正交分解
第三章 连续信号的正交分解 指数与三角傅氏级数的关系
a0
17
第三章 连续信号的正交分解 指数与三角傅氏级数的关系
定义复数振幅
解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。
0
f (t )
T 4
t
T 4
0
T 4
T 2
T
t
f(t)= f(-t) f(t)= - f(t+T/2)
26
第三章 连续信号的正交分解 3.4 周期信号的频谱
A0 f (t ) An cos( nt n ) 2 n 1 A0 a0
• 频谱图
T • 偶谐函数 f (t ) f (t ) 2
– 傅里叶级数：只有奇次谐波。
– 傅里叶级数：只有偶次谐波。
• 非奇谐非偶谐函数
– 傅里叶级数：偶次谐波和奇次谐波同时存在。
例
______ 。 C
1
第三章 连续信号的正交分解
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是
f (t )
1
f (t )
1
0
T 2
T
t
-1
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波
24
第三章 连续信号的正交分解
例 3 习题3.8
（1）已知周期信号f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)前四分之一周期的波形如图 所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 • f (t)是t的偶函数， f (t ) 其傅里叶级数只有偶次谐波；
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
9 0° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2
c2 V 2 V2
V
2
Cr

t2
r 1
t1
1 t2 2 kr g ( t ) dt r
t1
f (t ) g r (t )dt

t2
t1
f (t ) g r (t )dt
2 Cr由 Cr Cr
n 1 t2 2 [ f (t ) C j g j (t )] dt 0求得 t j 1 t 2 t1 1
4
3.2.3 复变信号的正交分解
第三章 连续信号的正交分解

t2
t1
0, l m g l (t ) g m (t )dt km , l m
*
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交复变函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C2 g 2 (t ) Cr g r (t ) Cn g n (t ) Cr g r (t )
jn An Ane
18
第三章 连续信号的正交分解
3.3.3 周期函数的奇偶性及其三角傅里叶级数特点 • 奇函数 f (t ) f (t )
– sin(nt ) 是奇函数。 – 周期奇函数的三角傅里叶级数：只有正弦项。 an
0
• 偶函数 f (t ) f (t )
– cos(nt ) 是偶函数。 – 周期偶函数的三角傅里叶级数：只有余弦项（可能 有直流项）。 b 0
第三章 连续信号的正交分解 • 信号分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。
可证: a n a n 偶函数 A n An
bn bn 奇函数 n n
10
第三章 连续信号的正交分解
11
第三章 连续信号的正交分解
• 实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波， 而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差
a0 ak coskt bk sinkt n (t ) f (t ) 2 k 1
o
1
V1 c1 V 1
V c1 , c2
2
第三章 连续信号的正交分解
c3 V 3 V3 o V2 c2 V 2 V1
V c1 V 1
V c1V1 c2V2 c3V3 V1 ,V2 ,V3 构成完备的正交矢量集 在三维空间中，
3
3.2.2 实信号的正交分解 t2 f1(t) f2 (t)dt 0 信号 f1(t), f 2 (t) 在区间（t1,t2）内正交
0
T 2
T
t
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
偶函数：只含余弦项； 半周重叠： 只含偶次谐波和直流
23
例
______ 。 B
2
第三章 连续信号的正交分解
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是
t1
f (t ) cos(nt )dt
正弦分量系数
bn

t1 T
t1
2 t1 T f (t ) sin(nt )dt t1 T 2 T t1 sin ( n t ) dt
t1
f (t ) sin(nt )dt
第三章 连续信号的正交分解
——基波频率 ， n —— n 次谐波频率 令 anCos(nt ) bn Sin(nt ) AnCos(nt n )
r 1
Cr
2
1 k g ( t ) g ( t ) dt
t1 t2
t2
f (t ) g * (t )dt r
*
r
t2
t1
r
r
t1
f (t ) g * (t )dt r
2 n 1 t2 Cr由 f (t ) C j g j (t ) dt 0求得 Cr Cr t2 t1 t1 j 1
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第三章 连续信号的正交分解
与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一 个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。
完备的正交函数集有两种定义： A.如果用正交的函数集 g r (t ) 在区间（t1,t2）内近似表 2 0(此时 ) ，则称该函 示 f (t ) ，若令 n , lim n 数集为完备的正交函数集。 B.如果在正交函数集 g1 (t ), g 2 (t ),, g n (t ) 之外，不存在 函数 x(t ) ，满足等式: t2 * x ( t ) g (t )dt 0(r 1,2,, n) 则这个函数集称为完备的 r 正交函数集。
周期T不变，脉冲宽度变化