(完整版)两角和与差的三角函数与二倍角公式习题课

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。

第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1 A.— B. 21 3 C.2 D .兀 答案:4,「. si n 2 0 = ?故选 D.1.计算 1-2sin 222.5 22.故选B.答案：B22.设 tan ( a + 3 )=5，tan 3 —A 3r 3A.—B.— 18 221313C^T D .- _ — 18 22解析： tann a + — 4 =tan ( a + 答案： B1 4，则 tan 7tna + —的值是（322.n cos^2— sin 12 n cos^2 + sin 12 =(4.右 tan=4，贝U sin 2 0 =(tan 0A.1B.1 C.3 D. 解析: 由tan0+tan 01= 4 得, sin 0 2 2sin 0 + cos 0cos cos 0 sin 0 sin 0 cos 04,即12sin 2解析: 原式=cos 45 O7t4卩）7t 7t3.求值:答案：Dsin 47 —sin 17 cos 30cos 17 °A.sin 47 ° —sin 17 ° cos 30cos 17 °sin (17°+ 30°)—sin 17 ° cos 30 cos 17 °sin 17° cos 30 ° + cos 17 ° sin 30 ° —sin 17 ° cos 30C.* 1 *D. _32解析:6.已知a,316 13A. —B. —65 6556 33C. lD. —65 65解析：••■ cos2cos 2 a725 cos(5 小a + 3) = 13，则sin 3=()• •• cos a = 5,sin a =厂・5■/ cos( a+ 3 ) 5 12=13 ,•( a + 3 )为锐角，Si n( a +3 )= 13.• sin 3 = sin [(a + 3 )—a ] = sin( a + 3)COS a —COS(a + 3 )sin12 3 5 4 16丄，丄—x x _ .故选A.13 5 13 5 65答案：A7. (2013 •上海卷)若cos xcos y + sin xsin y解析：cos x cos y+ sin x sin y = cos( x —y)=1 小=贝U cos(2x —2y) = ____________13，所以cos 2( x—y) = 2cos (x—y)—8. sin a-,cos 3 = 5，其中2a = 2cos a25'3 4又a为锐角,解析：0, n33a ,3€2 ， sina= 5,cos3= 5,44• •• cos asin53 =5.• •• cos(a + 3) = c os a cos 3--sin as in 3 = 0.n故nT a , 3 € 0, p,• • 0va + 3 Vn,a + 3= 2答案：n22sin a+ 1 sin 2 a13答案：兀 x 匹谑2 10.y 2 答案：冇n（1）求f 6的值;2(2) f (x ) = cos x + sin x cos x 1 + cos 2 x 1= 2+ 小sin 2 x 21 1=一+一 (sin 2 2 2x + cos 2 x ) 1 + 2 =2 + 2sinn 2x + 4 ,9.已知tan a=2,则2” _ 2sin a +1 3sin 解析：. sin 2 a 2si n a 2 2 2 2a + cos a 3tan a + 13X2+ 1 132X2 = 4.cos a 2tan a 10.已知a 为锐角，且 cosa + — = 5，贝U sin 4 57t解析：因为 a 为锐角，所以因为cos n 3+ —= 4 5,所以sin n a ------4贝U sin a = sinn n+4 — 4 =sin acos n一—cos4na+ 4 sin22- 311.已知函数f （x ） =cos 2x + sin xcos xR.⑵若sin a35, n且a€7t7tn解析：（1） f 6= cos 2p+ sin6n6 cos 67t1 — cos 2a n 1 2 .f 2 +24 = 2 +2 sinn n +12+4=+ 22sinsin1-2 + cos因为sin 35,n ，所以cos a一一7t所以f 2+24= 2+3 1—X———X5 2 52012.已知函数f(x) = sin > 0）的最小正周期为n(1)求3的值;na€ 0，g，3€1 5nf 23 + P1213，求sin ( a+ 3 )的值.解析: (1) V 函数f(x) = sin 3Xn+E的最小正周期为2n3 =n，(2)由(1)得f(x) = sinn 2x + —x +6 ，1 n• f -2a +6 = sin2 - ；a +=sin na = cosno, 2,• sin a =叮1 —cos45.=sinn . 1212 + 6 =sin( n+ 3 )= —sin 3=—13,• sin12 3 13•/ 3€7t…cos —\/1 —sin23 = 13'• sin( oc+3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 34 =-X 53 12+5 X13= 65'1613cos 17 °1=sin 30 ° =故选 C.答案：C13。

第20讲 两角和与差的三角函数、二倍角公式考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C 级要求)；二倍角的正弦、余弦、正切公式(B 级要求)；2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2017·山东卷改编)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________. 解析 由cos x ＝34得cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.答案 183.(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________. 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案7 54.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝310，tan(α＋β)＝－2，则tan β＝________.解析由α是第二象限角，且sin α＝310，得cos α＝－110，tan α＝－3，所以tan β＝tan(α＋β－α)＝tan（α＋β）－tan α1＋tan（α＋β）tan α＝－2＋31＋6＝17.答案1 75.(必修4P109习题4改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案22知识梳理1.两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠k π＋π2，且α≠k π2＋π4(k ∈Z ).②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角. 3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β). (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .考点一 公式的正向、逆向使用【例1】 (1)(一题多解)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.(2)(2016·四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________. 解析 (1)法一 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.法二 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝1＋147－2＝3.(2)由二倍角公式得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.答案 (1)3 (2)22规律方法 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的正向使用(从左往右使用)、逆向使用(从右往左使用)是本节的基础，要从角度联系、结构特征发现问题中隐含的公式特征，选择使用公式解决问题；特别要注意“尽量用已知角表示未知角”的思想方法的应用.【训练1】 (1)(2017·课标全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. 解析 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010. (2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 (1)31010 (2)12考点二 公式的变形、灵活使用【例2】 (1)(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.(2)(2017·江苏四校联考)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________.(3)(2017·如东中学调研)已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.解析 (1)由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. (2)sin 2αcos 2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]cos[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）cos （α＋β）cos （α－β）＋sin （α＋β）sin （α－β） ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1＋tan （α＋β）tan （α－β）.将tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3代入，得原式＝2＋31＋2×3＝57.(3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝±45，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45时，cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝3－4310<0，与α是锐角矛盾，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425.答案 (1)1718 (2)57 (3)2425规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α等；(3)注意倍角的相对性，如α＝2×α2等； (4)要时时注意角的范围；(5)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等. 【训练2】 (1)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是________.(2)(2018·四川泸州四诊)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.解析 (1)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.(2)由题意：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－78.答案 (1)2 (2)－78考点三 三角函数式的化简与求值(多维探究) 命题角度1 三角函数式的化简【例3－1】 化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案 cos α 命题角度2 给值求值【例3－2】 (一题多解)(2017·苏州一模)若2tan α＝3tan π8，则 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝________.解析 法一 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝tan α－tan π81＋tan αtan π8＝12tan π81＋32tan 2π8＝sin π8cos π82cos 2π8＋3sin 2π8＝12sin π41＋cos π4＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos π4＝1＋5249.法二 由tan π4＝1，解得tan π8＝2－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝12tan π81＋32tan 2π8＝12×（2－1）1＋32×（3－22）＝1＋5249.答案1＋5249 命题角度3 给角求值【例3－3】 [2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6.答案6命题角度4 给值求角【例3－4】 (2018·常州一模)满足等式cos 2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为________.解析 将方程化为2cos 2x －3cos x －2＝0，解得cos x ＝－12或cos x ＝2(舍去).因为x ∈[0，π]，所以x ＝2π3. 答案 2π3规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.三角函数求值有三种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路；①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角.【训练3】 (1)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.(2)(2016·课标Ⅲ卷改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.(3)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π2)，则tan 2α＝________，β＝________.解析 (1)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α=cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α.(2)由tan α＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos α＝1625＋4×1225＝6425. (3)∵cos α＝17，0<α<π2， ∴sin α＝437，tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.答案 (1)12cos 2α (2)6425 (3)－8347 π3一、必做题1.(2018·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 由α∈(0，π)，cos α＝－45，得tan α＝－34， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 答案 172.(2017·扬州一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，那么sin(π＋α)＝________.解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，0<α<π2，知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝223，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3＝－223×12＋13×32＝－22＋36.答案－22＋363.(2018·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝________. 解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35.答案 －354.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析 tan(β－α)＝－tan(α－β)＝13，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝13－121＋16＝－17.答案 －175.(2018·淮阴中学期中)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________. 解析 由tan(22°＋23°)＝tan 22°＋tan 23°1－tan 22°tan 23°＝1，得tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝1，所以(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝1＋tan 22°＋tan 23°＋ tan 22°tan 23°＝1＋1＝2. 答案 26.(2017·南京、盐城第二次模拟考试)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________.解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310 答案43－3107.(2018·盐城中学月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案 －33658.(2017·泰州调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin(2α－π6)的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案 －799.(2017·扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求：(1)(一题多解)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值.解 (1)法一 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22 ＝－35.法二 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210得sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，即sin α＋cos α＝15，结合sin 2α＋cos 2α＝1， 得cos α＝－35或cos α＝45. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10.(2018·常州一中期中)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin(α＋2β)＝13.(1)若α＋β＝2π3，求sin β的值； (2)若sin β＝45，求cos α的值.解 (1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋β＝2π3，sin(α＋2β)＝13，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，所以cos(α＋2β)＝－223，所以sin β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋2β）－2π3＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×32＝26－16. (2)因为sin β＝45且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β＝35，所以sin 2β＝2sin βcos β＝2425，cos 2β＝2cos 2β－1＝－725， 所以2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝13，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋2β)＝－223.所以cos α＝cos(α＋2β－2β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＋13×2425＝24＋14275.二、选做题11.(2017·仪征中学检测)已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝________.解析 由3tan α2＋tan 2α2＝1，可得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝23，由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[α＋(α＋β)]，展开得sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin αcos(α＋β)＋3cos αsin(α＋β)， 合并得2sin(α＋β)cos α＝－4sin αcos(α＋β)， 所以tan(α＋β)＝－2tan α， 故tan(α＋β)＝－2×23＝－43. 答案 －4312.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________.解析 ∵sin α＝3sin(α＋π6)，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12≠0，cos π12≠0，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan 15°＝－2tan(45°－30°)＝－2×tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝－2×1－331＋33＝－2×1－23 3＋131－13＝－2(2－3)＝23－4.答案 23－4。