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三角形内角和定理证明
三角形内角和定理是几何学中一个重要的定理，该定理在三角形中描述了三个内角之和为180°。

该定理有很多不同的证明方法，而在本文中，我们将使用向量方法来证明三角形内角和定理。

证明：
假设有ABC三角形，由OA、OB、OC分别表示三边AB 、BC、CA所对应的单位向量，则有：
OA+OB+OC=0
推导：假设OA和OB的夹角为θ ,OA和OC的夹角为φ。

记角度A＝|OA，OB|，C＝|OC，OA|，以及B＝|OB，OC|，
根据内积公式有：
OA·OB = |OA|. |OB|cosθ
代入上式：
OA·OB + OC·OA + OB·OC=(|OA|. |OB| + |OB|. |OC| + |OC|. |OA|)cosθ cosφ cos（180°-θ-φ）
结合此处弦长恒等于两边之和（a²=b²+c²-2bc·cosA）：
结论：由上述推导，OA+OB+OC=0，即A+B+C=180°。

三角形内角和三种证明
三角形内角和是指三角形内部所有角的度数之和。

为了方便计算和分析，人们一般都将三角形内角和定义为180度。

三角形内角和有三种不同的证明方法。

第一种证明方法是基于平行线相交定理。

这个定理告诉我们，如果一条直线与两条平行线相交，那么相交两侧的对应角相等。

我们可以将三角形的一条边延长，再在延长线上画一条平行线，使其与另一边相交。

这样，我们就得到了两个相等的内角，它们的和是180度。

我们再用同样的方法证明另外两个内角的和也是180度，这样就得到了整个三角形内角和为180度的结论。

第二种证明方法是基于三角形的外角和定理。

这个定理告诉我们，三角形的一个外角等于其对应内角的补角。

也就是说，三角形的三个外角的和等于360度。

然后我们就可以用180度减去一个内角的补角，得到了这个内角的度数。

我们对三个内角分别做这样的计算，再把它们相加，就得到了三角形内角和为180度的结论。

第三种证明方法是基于等腰三角形的性质。

如果一个三角形两边相等，那么它的两个内角也相等。

我们可以把一个三角形分成两个等腰三角形，然后分别计算它们的内角和。

由于它们的内角相等，所以它们的和也相等。

最后把这两个和相加，就得到了整个三角形内角和为180度的结论。

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三角形内角和定理证明方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形内角和定理的证明方法呀！这可是几何里超级重要的一块呢！你看那三角形，三个角就像三个小伙伴，它们凑在一起可有大秘密哦！咱们要证明它们的和永远是 180 度，这多有意思呀！有一种证明方法就像是搭积木一样。

我们可以画一个三角形，然后把它的三个角剪下来，哎哟，这就像把小伙伴们分开啦。

接着呢，把这三个角拼在一起，你猜怎么着，嘿，它们正好能拼成一个平角，那不就是 180 度嘛！你说神奇不神奇？这就好像三个小伙伴手牵手围成了一个圈一样。

还有一种方法呢，就像是走迷宫找出口。

我们在三角形里画一条平行线，然后通过各种角度的关系来发现内角和的秘密。

就好像在迷宫里找到正确的路径，一旦找到了，哇，恍然大悟！这不是 180 度嘛！咱再想想，这三角形内角和定理不就像是家里的规矩一样嘛，是永远不变的呀！不管这个三角形是大是小，是胖是瘦，它的内角和永远都是 180 度，就像家里的一些老规矩，不管啥时候都得遵守。

你说要是没有这个定理，那几何的世界得乱成啥样呀？就好比没有了交通规则，马路上还不得乱套啦！大家可别小瞧了这个定理哦，它在好多地方都有用呢！盖房子的时候，工程师得用它来保证房子结构稳定吧；画图画设计的时候，设计师也得靠它来让图形更完美吧。

所以说呀，三角形内角和定理真的是太重要啦！咱可得把它牢牢记住，就像记住自己的名字一样。

以后看到三角形，就想想它那三个角加起来是180 度，这多有意思呀！总之呢，三角形内角和定理的证明方法多种多样，但不管哪种方法，都让我们更深入地了解了几何的奇妙世界。

它就像一把钥匙，打开了我们探索几何奥秘的大门。

让我们一起在这个奇妙的几何世界里尽情遨游吧！。

三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。

证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。

2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。

3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。

4. 在此过程中,q转过了一个平面角。

我们知道,平面角的大小等于360度。

5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。

6. 因此,A + B + C = 360度。

7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。

结论:任意三角形的内角和都等于180度。

人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。

该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。

这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。

三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理是指任意三角形的三个内角的和等于180度。

在
数学中，三角形是最基本的几何图形之一，研究三角形性质的重要一环就
是研究三角形的内角和。

证明三角形的内角和定理可以通过几何方法或代
数方法。

下面我将通过几何方法进行证明。

证明三角形的内角和定理：
D_____________E
____________
由平行线的性质，得∠ACD=∠CDE（对应角）、∠CBD=∠CDE（同位角）。

则∠ACD+∠CBD=∠ACD+∠CDE+∠CBD=∠CDE+∠CDE=2∠CDE。

而∠ACB和∠CDE是同位角，根据同位角相等的性质，得∠ACB=∠CDE。

因此，∠ACB+∠CDE=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。

类似地，我们还可以得到∠ABC+∠CDE=2∠ACB。

再根据同位角相等的性质，得∠ABC+∠ACB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。

综上所述，∠ACB+∠ABC+∠ACB=2∠ACB+2∠ACB=4∠ACB。

(1)
另一方面，由三角形的补角性质可知，∠ACB和∠ABC是补角，即
∠ACB+∠ABC=180度。

(2)
将方程(2)代入方程(1)中，得4∠ACB=180度，即∠ACB=45度。

所以，三角形的内角和定理得证，即∠ACB+∠ABC+∠ACB=180度。

综上所述，任意三角形的三个角的和等于180度，即三角形的内角和定理成立。

【注意】：
实际上，这个证明是利用了平行线和同位角的性质，通过构造了平行线DE来推导三角形的内角和定理。

第五节三角形内角和定理的证明第六课时●课题§6.5 三角形内角和定理的证明●教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.●教学重点三角形内角和定理的证明.●教学难点三角形内角和定理的证明方法.●教学方法实验、讨论法.●教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片§6.5 A）第二张：实验（记作投影片§6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？Ⅱ.讲授新课［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？图6－37［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？［生齐声］180°［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.（1）（2）（3）（4）图6－38实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图6－39这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.这时，∠A与∠ACE能重合吗？［生齐声］能重合.［师］为什么能重合呢？［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥B A.［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图6－40［生甲］已知，如图6－40，△AB C.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）即：∠A+∠B+∠C=180°.［生乙］老师，我的证明过程是这样的：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）图6－41在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.［生甲］小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作）∴∠P AB=∠B（两直线平行，内错角相等）∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠P AB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）图6－42［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图6－43即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P196随堂练习1、2.图6－441.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90°60°如图6－44，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.图6－45如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°图6－462.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）（二）读一读P197.（三）看课本P195~196，然后小结.Ⅳ.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业（一）课本P198习题6.6 1、2（二）1.预习内容P199~2002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？（1）（2）（3）图6－47［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.●板书设计§6.5 三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°图6－48已知，如图6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）二、议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业巧添平行线－6.5 三角形内角和定理的证明证三角形内角和定理贵州省剑河二中杨通刚课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B.这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证.其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明.图6－49证法一：如图6－49，延长BC至D，过C点作CE∥A B.∵CE∥AB，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°.图6－50证法二：如图6－50，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.∵∠1+∠BAC+∠2=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.图6－51证法三：如图6－51，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，∴∠2=∠A，又∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°.图6－52证法四：过点A作AD∥BC（如图6－52）∵AD∥BC∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°.图6－53证法五：如图6－53，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.∵BE∥AD∥CF∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EBC+∠BCF=180°∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.参考练习－6.5 三角形内角和定理的证明图6－541.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F（如图6－54），∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.求证：BE ⊥AC .证明：∵AD 是高（已知） ∴∠ADB =90°（垂直的定义）∵∠ABC +∠ADB +∠BAD =180°（三角形内角和定理） ∠ABC =45°（已知）∴∠BAD =45°（等式的性质） ∵∠BAC =75°（已知）∴∠DAC =30°（等式的性质）∵∠AFB +∠AFE =180°（1平角=180°） ∠AFB =120°（已知）∴∠AFE =60°（等式性质）∵∠AFE +∠AEF +∠DAC =180°（三角形内角和定理） ∴∠AEF =90°（等式性质） ∴AC ⊥AE （垂直的定义）2.如图6－55，△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是高，求证：∠BCD =21∠A.图6－55证明：∵∠A +∠B +∠ACB =180°（三角形内角和定理） ∠B =∠ACB （已知）∴∠B =2180A ∠-︒=90°－21∠A∵CD 是△ABC 的高（已知） ∴∠BDC =90°∵∠BDC +∠B +∠DCB =180°（三角形内角和定理） ∴∠BCD =180°－∠BDC －∠B=180°－90°－（90°－21∠A ）=21∠A （等式的性质）§6.5 三角形内角和定理的证明班级：_______ 姓名：_______一、填空请你填一填（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.图6—5—1 图6—5—2 图6—5—3二、选择题认真选一选（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80°D.50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系图6—5—4（3）如图6—5—4，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）A.35°B.45°C.55°D.75°三、数学眼光看世界图6—5—5（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：图6—5—6如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.参考答案一、（1）60°（2）57.5°(3)60°(4)30°60°90°(5)∠1+∠2=∠B+∠C(6)18°二、(1)B (2)C (3)B三、（1）测量∠B+∠C是否等于150°，∠C+∠D是否等于160°，若是则合格，否则不合格.（2）分析：连结对角线将五边形分割成三个三角形.如连结BD、BE，则五边形ABCDE 被分割成三个三角形：△BCD、△BDE、△ABE，这三个三角形的所有内角和等于180°×3=540°,即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°。