三角形内角和定理的证明课

第五节三角形内角和定理的证明第六课时●课题§6.5 三角形内角和定理的证明●教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.●教学重点三角形内角和定理的证明.●教学难点三角形内角和定理的证明方法.●教学方法实验、讨论法.●教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片§6.5 A）第二张：实验（记作投影片§6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？Ⅱ.讲授新课［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？图6－37［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？［生齐声］180°［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.（1）（2）（3）（4）图6－38实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图6－39这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.这时，∠A与∠ACE能重合吗？［生齐声］能重合.［师］为什么能重合呢？［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥B A.［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图6－40［生甲］已知，如图6－40，△AB C.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）即：∠A+∠B+∠C=180°.［生乙］老师，我的证明过程是这样的：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）图6－41在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.［生甲］小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作）∴∠P AB=∠B（两直线平行，内错角相等）∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠P AB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）图6－42［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图6－43即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P196随堂练习1、2.图6－441.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90°60°如图6－44，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.图6－45如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°图6－462.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）（二）读一读P197.（三）看课本P195~196，然后小结.Ⅳ.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业（一）课本P198习题6.6 1、2（二）1.预习内容P199~2002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？（1）（2）（3）图6－47［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.●板书设计§6.5 三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°图6－48已知，如图6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）二、议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业巧添平行线－6.5 三角形内角和定理的证明证三角形内角和定理贵州省剑河二中杨通刚课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B.这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证.其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明.图6－49证法一：如图6－49，延长BC至D，过C点作CE∥A B.∵CE∥AB，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°.图6－50证法二：如图6－50，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.∵∠1+∠BAC+∠2=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.图6－51证法三：如图6－51，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，∴∠2=∠A，又∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°.图6－52证法四：过点A作AD∥BC（如图6－52）∵AD∥BC∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°.图6－53证法五：如图6－53，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.∵BE∥AD∥CF∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EBC+∠BCF=180°∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.参考练习－6.5 三角形内角和定理的证明图6－541.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F（如图6－54），∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.求证：BE ⊥AC .证明：∵AD 是高（已知） ∴∠ADB =90°（垂直的定义）∵∠ABC +∠ADB +∠BAD =180°（三角形内角和定理） ∠ABC =45°（已知）∴∠BAD =45°（等式的性质） ∵∠BAC =75°（已知）∴∠DAC =30°（等式的性质）∵∠AFB +∠AFE =180°（1平角=180°） ∠AFB =120°（已知）∴∠AFE =60°（等式性质）∵∠AFE +∠AEF +∠DAC =180°（三角形内角和定理） ∴∠AEF =90°（等式性质） ∴AC ⊥AE （垂直的定义）2.如图6－55，△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是高，求证：∠BCD =21∠A.图6－55证明：∵∠A +∠B +∠ACB =180°（三角形内角和定理） ∠B =∠ACB （已知）∴∠B =2180A ∠-︒=90°－21∠A∵CD 是△ABC 的高（已知） ∴∠BDC =90°∵∠BDC +∠B +∠DCB =180°（三角形内角和定理） ∴∠BCD =180°－∠BDC －∠B=180°－90°－（90°－21∠A ）=21∠A （等式的性质）§6.5 三角形内角和定理的证明班级：_______ 姓名：_______一、填空请你填一填（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.图6—5—1 图6—5—2 图6—5—3二、选择题认真选一选（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80°D.50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系图6—5—4（3）如图6—5—4，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）A.35°B.45°C.55°D.75°三、数学眼光看世界图6—5—5（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：图6—5—6如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.参考答案一、（1）60°（2）57.5°(3)60°(4)30°60°90°(5)∠1+∠2=∠B+∠C(6)18°二、(1)B (2)C (3)B三、（1）测量∠B+∠C是否等于150°，∠C+∠D是否等于160°，若是则合格，否则不合格.（2）分析：连结对角线将五边形分割成三个三角形.如连结BD、BE，则五边形ABCDE 被分割成三个三角形：△BCD、△BDE、△ABE，这三个三角形的所有内角和等于180°×3=540°,即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°。

北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》这一节，是在学生已经掌握了角的定义，角的计算方法等基础知识之后进行的一节证明课。

本节课的主要内容是引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。

这个定理是几何学中的一个重要定理，对于学生后续的学习有着重要的指导意义。

二. 学情分析我所面对的学生是八年级的学生，他们已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于角的计算方法也已经有了初步的了解。

但是，他们的证明能力还有待提高，对于如何将实际问题转化为数学问题，如何通过逻辑推理得出结论，还需要我在教学中进行引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形内角和定理的内容，并能够运用定理进行问题的解答。

2.过程与方法目标：学生通过观察，推理，证明的过程，提高自己的逻辑思维能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学的学习兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握三角形内角和定理。

2.教学难点：学生能够通过逻辑推理，证明三角形内角和定理。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用引导法，推理法，实践法等教学方法，引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理。

同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：我会通过一个实际问题，引导学生思考三角形的内角和是多少，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：我会引导学生通过观察，推理，证明的过程，得出三角形内角和定理。

3.课堂讲解：我会对三角形内角和定理进行详细的讲解，让学生充分理解定理的内容。

4.课堂练习：我会设计一些练习题，让学生运用所学的定理进行解答，巩固所学知识。

5.课堂小结：我会对所学内容进行小结，帮助学生巩固记忆。

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、2一、教学目标1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2；2．了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；3．经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．二、教学重点及难点重点：根据具体的证明过程，填写推理的理由.难点：将文字语言表述的证明题改写成图形语言和符号语言表述的证明题.三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《三角形内角和定理》图片、《例题1》图片、《练习1》图片．五、教学过程【课堂导入】教师提问：在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180，你还记得这个结论的探索过程吗？学生回答：1.度量法2.折叠法3.剪拼法教师总结：但有的时候，观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明.那么什么是几何证明，如何进行几何证明呢，接下来我们一起来学习一下.设计意图：通过回顾之前的知识，引出本节课的内容.【新知讲解】1．三角形内角和定理的证明．教师提出问题：如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.插入图片《三角形内角和定理》解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．设计意图：通过对相应的例题的讲解，让同学们熟悉证明的一般过程，应用第四种证明三角形内角和为180°的方法，开拓同学们的视野，启发他们的思想.2．证明命题的一般步骤．教师总结：(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母;(3)结合图形和命题写出已知和求证;(4)分析因果关系,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.设计意图：通过对证明命题步骤的详细讲解，帮助学生记忆与理解.3．推论．教师下定义：由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论1:直角三角形两锐角互余.推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形.设计意图：给出推论的定义，以及两个三角形内角和定理的相关推论，为下面典型例题及练习的证明做了铺垫.【典型例题】例1直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝12(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角．插入图片《例题1》如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠OAB＋∠OBA＝12∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．设计意图：深化对定理的理解．【随堂练习】1. 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？插入图片《练习1》解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°.又∵AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，∴2∠1＝∠BAC，2∠2＝∠DCA，∴2(∠1＋∠2)＝∠BAC＋∠DCA，∴∠1＋∠2＝90°，∴△AHC为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1．三角形内角和定理的证明.2．证明命题的一般步骤——六步.3．两个推论推论1:直角三角形两锐角互余.推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、21. 定理2. 证明与推理。