201X年春八年级数学下册第17章一元一次方程17.2一元二次方程的解法第2课时公式法课时作业新版沪

17.1一元二次方程知识要点基础练知识点1一元二次方程的概念1.下列方程中属于一元二次方程的是(D)A.ax2+bx+c=0B.+1=0C.x2+2=x2-x-3D.3(x-2)2=x-22.已知方程(m+2)x m-2-2x=5是关于x的一元二次方程,求m的值.解:由题意,得m-2=2,解得m=4,当m=4时,m+2=6≠0,∴m=4.知识点2一元二次方程的一般形式及有关概念3.下列方程中,不含一次项的是(D)A.2x2-9x=0B.16x=7x2C.x(x-2)=0D.(x+5)(x-5)=04.一元二次方程3x2-3x=2+x化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是3,-4,-2.知识点3一元二次方程的根5.关于x的一元二次方程x2+bx-10=0的一个根为2,则b的值为(C)A.1B.2C.3D.76.关于x的方程x2-px+q=0的两个根分别是1和-2,试确定p,q的值.解:根据题意得解得知识点4用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系7.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的一边长为x cm,则可列方程为(D)A.x(40+x)=64B.x(40-x)=64C.x(20+x)=64D.x(20-x)=648.某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是100(1+x)2=160.综合能力提升练9.若方程(2m-1)x2+3x-m=0是关于x的一元二次方程,则m的值为(C)A.m=B.m=-C.m≠D.m≠010.在方程①x2=-1,②-2x+3=0,③(x+1)(x-2)=(x-1)2,④ax2+bx+c=0中,一定是一元二次方程的有(A)A.1个B.2个C.3个D.4个11.在足球进校园活动中,某市有x支球队参加足球比赛,共比赛了28场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(A)A.x(x-1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D.x(x+1)=2812.若关于x的一元二次方程(a-3)x2+ax+a=5x+6没有一次项,则a+2014的值为2019.13.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个解,则代数式a+b+2019的值是2018.14.一个长方形的长比宽大2 cm,面积为14 cm2.若设长方形的长为x cm,则可列方程为x(x-2)=14.15.为表彰表现突出、成绩优秀的同学,某学校设置了奖学金奖励制度.已知去年上半年发放给每位优秀学生700元,今年上半年发放给每位优秀学生1000元.设每半年发放奖学金的平均增长率为x,则可列方程为700(1+x)2=1000.【变式拓展】为执行“均衡教育”政策,某区2016年投入教育经费2500万元,预计到2018年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则可列方程为2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.16.某学校为了改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度均为x米的人行道,请你根据题意列出方程,并将方程化成一般形式.解:(80-2x)(60-2x)=3500,化为一般形式即x2-70x+325=0.17.已知是关于x的方程x2-x+a=0的一个根,求a-2-的值.解:将x=代入方程x2-x+a=0中,得2-+a=0,解得a=-2.当a=-2时,a-2-=-=-=-2.18.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?解:(1)根据题意,要使此方程是一元一次方程,则m2-1=0且m+1≠0,即m=±1且m≠-1,所以m=1,所以当m=1时,此方程是一元一次方程.(2)根据题意,要使此方程是一元二次方程,则m2-1≠0,即m≠±1,所以当m≠±1时,此方程是一元二次方程.拓展探究突破练19.若m是一元二次方程x2+x-1=0的一个根,求m3-2m+2019的值.解:将x=m代入方程x2+x-1=0,得m2+m-1=0,则m2=1-m,m2+m=1,所以m3-2m+2019=m·m2-2m+2019=m·(1-m)-2m+2019=2019-(m2+m)=2019-1=2018.。

长兴县实验初中教师集体备课文稿一． 授课内容和课时安排授课内容：八年级下册第17章《函数及其图象》§17. 1变量与函数、§17.2函数的图象、§17.3一次函数课时安排：第一课时：变量与函数（1） 第六课时：一次函数的认识 第二课时：变量与函数（2） 第七课时：一次函数的图象（1） 第三课时：平面直角坐标系（1） 第八课时：一次函数的图象（2） 第四课时：平面直角坐标系（2） 第九课时：一次函数的性质第五课时：函数的图象 第十课时：一次函数的图象及性质二．第16章《数的开方》授课存在的主要问题：1．对于平方根和立方根的概念，学生比较容易接受，但在做题时，对于正数的平方根经常出现漏解的情况；2．对于二次根式的三条性质，前两条比较容易接受，在具体的习题中也能很好的利用。

但 对于性质3：a a =2，很多同学经常容易搞错，特别是a 为负数时，2a 应该等于a 的 相反数容易出错，例如：()=-2)6(，有的同学会填-6；也有同学会写±6；3．对于二次根式的化简，部分同学还不过关，有待进一步加强和相关训练；4．在实数范围内的化简、计算以及因式分解、求方程的解等等，很多同学由于多种原因，解题正确率不高；5．刚接触无理数、实数这两个概念，在区分无理数、有理数、整数、分数时，部分学生容易混淆。

三．三节内容的教材分析【教学目标】本章前三节的主要内容是变量与函数的认识，以及函数图象的认识；另外主要是一次函数的图象及性质。

教学目标是：1.通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去进行描述和研究其变化规律；通过结合丰富的实际问题，让学生了解常量和变量、自变量与函数的意义，初步理解对应的思想，逐步学会运用函数的观点观察、分析问题，预测实际问题中变量的变化趋势。

2.认识并会画平面直角坐标系，了解现实生活中数形结合思想的实例，体会平面直角坐标系在函数研究中的地位和作用。

数学初二一元一次方程的解法一元一次方程是初中数学中的基础内容，它是一种形式简单、解法直接的数学问题。

掌握一元一次方程的解法，不仅可以提高解决实际问题的能力，还可以为后续学习更深入的数学知识奠定坚实的基础。

本文将介绍一元一次方程的几种常见解法，以帮助初二学生更好地掌握和应用这一知识点。

一、等式两边逐步化简法这是最基本、最常见的一元一次方程解法。

我们以一个例子来说明：例题1：求解方程2x + 5 = 11。

解题步骤如下：1. 将方程中的常数项（5）移到等式右边，得到2x = 11 - 5，即2x = 6。

2. 等式两边同时除以系数2，消去2，得到x = 6 ÷ 2，即x = 3。

所以，方程2x + 5 = 11的解为x = 3。

通过这种方法，我们可以先将方程的常数项移到等式右边，再逐步化简等式，最后得到方程的解。

这种方法简单直接，适用于大部分的一元一次方程。

二、系数相等法有时候遇到的一元一次方程的系数比较复杂，为了简化计算，我们可以利用系数相等的原理来解方程。

我们以一个例子来说明：例题2：求解方程1.5x - 0.3 = 0.2x + 0.9。

解题步骤如下：1. 整理方程，将含有未知数x的项放在一边，将常数项放在另一边，得到1.5x - 0.2x = 0.9 + 0.3。

2. 计算等式两边的结果，得到1.3x = 1.2。

3. 等式两边同时除以系数1.3，消去1.3，得到x = 1.2 ÷ 1.3。

最后，通过简化系数相等的方法，我们可以得到方程的解x =0.9231（保留四位小数）。

这种解法适用于系数较为复杂的一元一次方程，通过简化计算，可以减少错误的发生，提高解题的准确性。

三、代数消元法代数消元法适用于需要消去多个未知数的情况。

我们以一个例子来说明：例题3：求解方程2x + 3y = 8，3x + 4y = 13。

解题步骤如下：1. 通过消元法选择一个系数，使得相乘后的两个方程中的某一项系数相等或相差一个倍数，以方便消元。

八年级数学下册第17章 一元二次方程难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形的两边长是方程29200x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）A ．3BC ．3D ．52、关于x 的一元二次方程2220x x k +-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．不一定有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根3、用配方法解一元二次方程2870x x -+=时，方程可变形为（ ）A ．2(4)7x -=B ．2(8)57-=xC ．2(4)9x -=D ．2(4)25x -=4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 5、将方程28110x x -+=配方，则方程可变形为（ ）A ．()285x +=B ．()285x -=C ．()245x -=D ．()245x +=6、为了绿化荒山，某地区政府提出了2028年荒山的森林覆盖率达到45%的目标．已知2019年该地区森林覆盖率已达到34%，若要在2021年使该地区荒山的森林覆盖率达到38%．设从2019年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()34%1238%x +=B ．()34%1238x +=C ．()234%138%x +=D ．()234%138x += 7、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x 步，根据题意可以列方程为（ ）A ．2608640x x --=B ．(60)864x x +=C ．2608640x x -+=D ．(30)864x x +=8、方程260x x -=的解是（ ）A ．6B ．0C ．0或6D ．-6或0 9、下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=10、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0有两根α，β．若11a β+＝1，则m 的值为（ ）A ．3B ．﹣1C ．3或﹣1D ．34第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若一元二次方程x 2-4x +k +2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．2、方程x (x ﹣5)＝7(x ﹣5)的解是_________．3、已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +k ﹣32＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 _____．4、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）的一个解是x ＝1，则a +b 的值为 _____．5、已知关于x 方程230x x m -+=的一个根是1，则m 的值等于______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解方程：()22133x x -=+．（2）阅读下列材料，并完成相应任务． 三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以22350x x +-=为例，说明如下：将方程22350x x +-=变形为()235x x +=，然后画四个长为()2x +，宽为x 的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形．图中大正方形的面积可表示为()22x x ++，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即：()24224354x x ++=⨯+， 可得新方程：()22144x x ++=，∵x 表示边长，∴2212x +=．∴5x =．任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______；A ．分类讨论思想B ．数形结合思想C ．演绎思想D ．公理化思想②用配方法解方程：22350x x +-=．任务二：比较上述两种解一元二次方程的方法，请反思利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是______．（写出一条即可）2、解方程：()()2311x x x -=-3、中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年人均年收入20000元，到2019年人均年收入达到28800元．假设该地区居民年人均收入平均增长率都相同．（1）求该地区居民年人均收入平均增长率；（2）请你预测该地区2022年人均年收入．4、（1)101522-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． （2）解方程：()211x x x -=-．5、某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长．已知2019年教育支出约80亿元，2021年教育支出约为96.8亿元，求2019年到2021年教育支出的年平均增长率．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的两根，按斜边是否是两根中的一个，进行分类讨论，通过勾股定理求斜边长，最后即可求出答案．【详解】解：29200x x -+=，因式分解得：(4)(5)0x x --=，解得：14x =，25x =，情况1：当5x =为斜边的长时，此时斜边长为5，情况2：当14x =，25x ==∴这个直角三角形的斜边长为5故选：D ．【点睛】本题主要是考查了因式分解法求解方程，以及勾股定理求边长，在不确定直角边和斜边的情况下，一定要分类讨论，分情况进行求解．2、D【分析】根据一元二次方程个的判别式进行判断即可．【详解】解：关于x 的一元二次方程2220x x k +-=，24b ac ∆=-2440k =+>∴方程有两个不相等的实数根．故选D【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．3、C【分析】先把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上42即可．【详解】方程变形为：x 2-8x =-7，方程两边加上42，得x 2-8x +42=-7+42，∴（x -4）2=9．故选C ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程()200++=≠ax bx c a ：先把二次系数变为1，即方程两边除以a ，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程变形为：（x -2b a ）2=244b ac a-． 4、B【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：2250x x --=移项得：225x x -=方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：22151x x -+=+配方得：()216x -=．故选：B ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5、C【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：28110x x-+=，∴2811x x，-=-x-=，则222x x，即()245-+=-+84114故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6、C【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设年平均增长率为x，根据“2019年我市森林覆盖率已达到34%，要在2021年使全市森林覆盖率达到38%”，可列出方程．【详解】解：由题意可得：2020年，全市森林覆盖率为：34%(1+x)；2021年，全市森林覆盖率为：34%(1+x)(1+x)=34%(1+x)2；所以可列方程为34%(1+x)2=38%；故选C．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a (1±x )2=b ．7、C【分析】设长为x 步，则宽为（60-x ）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】设长为x 步，则宽为（60-x ）步，依题意得：x （60-x ）=864，整理得2608640x x -+=：．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8、C【分析】根据一元二次方程的解法可直接进行求解．【详解】解：260x x -=()60x x -=，解得：120,6x x ==；故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．9、D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、()()2341130∆=--⨯-=> ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B 、()234090∆=--⨯=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C 、()22410∆=--⨯=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D 、()224380∆=--⨯=-<，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠ ，当240b ac ∆=-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-< 时，方程没有实数根是解题的关键．10、A【分析】先利用根的判别式得到m ≥34-，再根据根与系数的关系得α+β＝2m +3，αβ＝m 2，则2m +3＝m 2，然后解关于m 的方程，最后利用m 的范围确定m 的值．【详解】解：根据题意得Δ＝（2m +3）2﹣4m 2≥0，解得m ≥34-，根据根与系数的关系得α+β＝2m +3，αβ＝m 2，∵11a β+＝1，∴α+β＝αβ，即2m +3＝m 2，整理得m 2﹣2m ﹣3＝0，解得m 1＝3，m 2＝﹣1，∵m ≥34-，∴m 的值为3．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a =是解答此题的关键． 二、填空题1、2k <【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，计算出根的判别式大于0，即可求得k 值．【详解】解：方程x 2-4x +k +2=0，这里a ＝1，b ＝-4，c ＝k +2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2−4ac ＝(-4)2−4×1×(k +2)>0，解得：2k <，故答案为：2k <．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．2、故答案为：【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．15=x ，27x =【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【详解】解：(5)7(5)x x x -=-，(5)7(5)0x x x ∴---=，则(5)(7)0x x --=，50x ∴-=或70x -=，解得15=x ，27x =，故答案为：15=x ，27x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．3、72k < 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +k ﹣32＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（k ﹣32）＞0， 解得：72k <． 故答案为：72k <【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的符号对应的三种根的情况是解题的关键．（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4、-2【分析】根据一元二次方程解得定义把1x =代入到()200++=≠ax bx c a 进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解得定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 5、2把方程的根代入原方程，求解即可．【详解】解：因为关于x 方程230x x m -+=的一个根是1，所以，2130m -+=，解得，2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是明确方程根的意义，代入原方程求解．三、解答题1、（1）x 1=-1，x 2=52（2）任务一：①B ；②x 1=5，x 2=-7任务二：只能求出方程的一个根．【分析】（1）根据因式分解法即可求解．（2）任务一：①根据图形的特点即可求解；②利用配方法即可解方程．任务二：根据题意言之有理即可求解．【详解】解：（1）()22133x x -=+ ()()()21131x x x +-=+()()()211310x x x +--+=()()12130x x +--=⎡⎤⎣⎦()()1250x x +-=∴1x +=0或2x -5=0∴x 1=-1，x 2=52（2）任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想； 故选B ；②用配方法解方程：22350x x +-=．221351x x ++=+ ()2136x +=16x +=±∴1x +=6或1x +=-6∴x 1=5，x 2=-7任务二：利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是只能求出方程的一个根； 故答案为：只能求出方程的一个根．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解的方法．2、x 1=1，232x =． 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解即可．【详解】解：∵3(x -1)2=x (x -1)，∴3(x -1)2-x (x -1)=0，∴(x -1) (3x -3-x )=0，∴x -1=0或2x -3=0，解得x 1=1，232x ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．3、（1）20%；（2）49766.4元【分析】（1）设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，则2019年人均年收入可以表示为：2200001,x 再列方程解方程即可；（2）2022年人均年收入可以表示为28800×（1+0.2）3，再计算即可.【详解】解：（1）设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，20000（1+x ）2＝28800，解得，x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为20%（2）28800×（1+0.2）3=49766.4（元）答：该地区2022年人均年收入是49766.4元.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用一元二次方程解决增长率问题”是解本题的关键.4、（1）2；（2）11x =，212x =-【分析】（1）分别计算后，再相加减即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：原式251=+-2= （2）解：()()2110x x x -+-=()()1210x x -+=∴11x =，212x =-【点睛】本题考查实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程．（1）中能正确化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂和零指数幂是解题关键；（2）中掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 5、2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．【分析】设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x ，则2020年教育支出为()801x +， 2021年教育支出为2801x ，再由2021年教育支出约为96.8亿元，列方程，再解方程可得答案．【详解】解：设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x ，由题意得：()280196.8x +=， ∴ ()21 1.21x +=，解得10.110%x ==，2 2.1x =-（舍）答：2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“两次变化后的量=原来的量⨯（1+平均增长率）2”是解题的关键.。

解一元一次方程和一元二次方程的方法一、一元一次方程1.1 定义：一元一次方程是指只含有一个未知数（变量），并且未知数的最高次数为1的方程。

1.2 形式：ax + b = 0，其中a、b为常数，且a≠0。

1.3 解法：（1）移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数项留在等号一边。

（2）因式分解法：将方程进行因式分解，找出方程的解。

（3）直接开平方法：对于形如x² = a的方程，直接开平方求解。

（4）公式法：根据一元一次方程的解的公式x = -b/a求解。

二、一元二次方程2.1 定义：一元二次方程是指只含有一个未知数（变量），并且未知数的最高次数为2的方程。

2.2 形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2.3 解法：（1）因式分解法：将方程进行因式分解，找出方程的解。

（2）公式法：根据一元二次方程的解的公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)求解。

（3）配方法：将方程转化为完全平方形式，进而求解。

（4）图像法：利用方程的图像（抛物线）求解。

三、方程的解3.1 定义：方程的解是指使得方程成立的未知数的值。

3.2 判别式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，判别式Δ = b² - 4ac可以判断方程的解的情况：（1）Δ > 0：方程有两个不相等的实数解。

（2）Δ = 0：方程有两个相等的实数解。

（3）Δ < 0：方程没有实数解。

四、实际应用4.1 解一元一次方程和一元二次方程在生活中的应用：例如，在计算购物时打折、计算利息、测量等方面都会用到方程求解的方法。

4.2 解一元一次方程和一元二次方程在其他学科中的应用：例如，在物理学中，描述物体运动规律的公式往往是一元二次方程；在化学中，计算反应物质量比等也会用到方程求解的方法。

习题及方法：1.习题：解一元一次方程 3x - 7 = 11。