2021年九年级数学上册 课时作业本 一元二次方程定义及方程的解(含答案)

2. 1 一元二次方程一.选择题1•下列关于* 的方程：®a^+bx+c=O；②3(x—9)：—(x+1)：2=1;③x+3=-；④(x—l)(x+2)=l.其中一元二次方程的个数是()A. 1B. 2C. 3D.42.关于x的方程&”一3%+2=”是一元二次方程，则a的取值范围为()A. B. &>0 C. Q-/-1 D.耳> 13.中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入200美元，预计2017年年人均收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为”可列方程为()A. 200(1+2^)=1000B. 200(1+02=1000C. 200(1+0 =1000D. 200+2*= 1000二.填空题4. ______________________________________ 方程2玄=3匕一6)化为一般形式为______________________________ ,二次项系数是_______ ，一次项系数是________ ，常数项是_______ •5. ____________ 当m=时，方程(加一2)沏?'一2+2皿Y+3=0是关于x的一元二次方程.三•解答题6.下列方程是不是一元二次方程？若是，请指出其中的二次项系数.一次项系数和常数项.(1)F+1=2X； (2) —2 = 3”；(3)x(2x-1) =x； (4) 2 (卄1) (x-1) =2—4*.7.根据题意列方程：⑴剪一块面积为150 cm：的长方形铁皮，使它的长比宽多5 cm. 设铁皮的宽为xcm,请列出满足题意的方程.(2)—个数比另一个数小且这两数之积为6,求这两个数. 设其中较小的一个数为”请列出满足题意的方程.(3)为了庆祝某节日，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了45场比赛.如果设这次有x支队参加比赛，列出满足题意的方程.(4)如图K-6-1,等腰直角三角形宓中，Z万=90° , AB=BC =8 cm,动点尸从点M出发沿M向点万移动，通过点尸引PQ//AC, PR//BC.当胚等于多少时，平行四边形尸妙的面积等于16 cm：?设力尸的长为cm,请列出满足题意的方程.图K-6-18.分类讨论思想鹰山中学数学兴趣小组对关于x的方程伽+1) Azzf+1+ (刃一2)x—1=0提出了下列问题：(1)是否存在也的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出刃的值，并确定方程的二次项系数.一次项系数和常数项；(2)是否存在也的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m 的值，并解此方程.参考答案1•［解析］B①当&=0时，aji+bx+ c=0不是一元二次方程，③* 2+ 3=-不是整式方程.x2.［解析］C把已知方程转化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行解答.由原方程，得@一1)#一3%+2 = 0,则依题意得1H0,解得&H1.故选C.3.［解析］B设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么根据题意得2017年年人均收入为200(1 + 02美元，列出方程为200(1 + 07=1000.故选B.4.［答案］2r-3%+18 = 0 2 -3 185.答案］一2［解析］当力一2 = 2且刃一2H0,即m=_2时，方程—2+2血Y+3=0是关于*轴一元二次方程.6.解：(1)原方程可化为£一2/+1 = 0,所以此方程是一元二次方程，其中二次项系数为1, 一次项系数为一2,常数项为1.(2)原方程可化为3r + 2 = 0,所以此方程是一元二次方程，其中二次项系数为3, —次项系数为0,常数项为2.(3)原方程可化为2”一2%=0,所以此方程是一元二次方程，其中二次项系数为2, —次项系数为一2,常数项为0.(4)原方程可化为4/一2 = 0,所以此方程不是一元二次方程.7.解：(1) (x+5)*=150.(2)X(*+£) =6.⑶1) =45.（4）x（8 —0 =16.8.解：（1）存在刃的值，使方程为一元二次方程.殒+1 = 2,根据一元二次方程的定义可得丄加十1工0,解得刃=1,此时方程为2F—x—1=0,所以二次项系数为2, —次项系数为一1,常数项为一1.（2）存在加的值，使方程为一元一次方程.由题意可知应分以下三种情况：①当力+1 = 1且（加+1） + （加一2）工0时，解得血=0,此时方程为一X—1 = 0,解得*=一1；②当力+ 1 = 0且加一2H0时，无解；③当zz?+l=0且刃一2H0时，解得刃=—1,此时方程为一3*—1 = 0,解得”=一才综上所述，存在刃的值，使方程为一元一次方程.当血=0时，方程的解为”=一1；当刃=一1时，方程的解为。

2021年九年级数学上册课时作业本一元二次方程解法-直接开方法与配方法一、选择题1.用直接开平方的方法解方程(2x﹣1)2=x2做法正确的是( )A.2x﹣1=xB.2x﹣1=﹣xC.2x﹣1=±xD.2x﹣1=±x22.x1，x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( )A.x1小于-1，x2大于3B.x1小于-2，x2大于3C.x1，x2在-1和3之间D.x1，x2都小于33.方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=44.解下列方程：①2x2-18=0；②9x2-12x-1=0；③3x2＋10x＋2=0；④2(5x-1)2=2(5x-1)．用较简便的方法依次是( )A.①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B.①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C.①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D.①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法5.用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是( )A.x2﹣4x+2=0B.2x2﹣8x+3=0C.x2﹣8x=2D.x2+4x=26.将方程x2+8x+9=0左边配方后，正确的是( )A.(x+4)2=﹣9B.(x+4)2=25C.(x+4)2=7D.(x+4)2=﹣77.将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是( )A.(2x﹣1)2=0B.(2x﹣1)2=4C.2(x﹣1)2=1D.2(x﹣1)2=58.用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是( )A.(x＋4)2=15B.(x＋4)2=17C.(x－4)2=15D.(x－4)2=179.用配方法解下列方程，配方正确的是( )A.2y2﹣4y﹣4=0可化为(y﹣1)2=4B.x2﹣2x﹣9=0可化为(x﹣1)2=8C.x2+8x﹣9=0可化为(x+4)2=16D.x2﹣4x=0可化为(x﹣2)2=410.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为D.3y2-4y-2=0化为二、填空题11.方程x2﹣16=0的解为．12.一元二次方程9(x-1)2-4=0的解是 .13.若将方程x2＋6x=7化为(x＋m)2=16，则m=________.14.若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是________．15.用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成（x+m）2=n的形式（m、n为常数），则m+n= .16.将方程x2-4x-1=0化为(x-m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n= .17.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0的解为．18.若(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1=0，则2m＋n的值是________．三、解答题19.解方程：(2x﹣1)2=(3﹣x)2（直接开平方法）20.解方程：(x﹣5)2=16 （直接开平方法）21.解方程：4(x-1)2=9(x-5)222.解方程:(1-2x)2=x2-6x＋9.23.解方程：x2＋2x－399=0.(配方法)24.解方程：x2﹣6x﹣9=0(配方法)25.解方程：x2+3x﹣4=0；(用配方法)26.解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法)27.解方程：x2﹣5x+1=0；(用配方法)28.解方程：2x2﹣5x+2=0(配方法)参考答案1.答案为：C.2.A3.C.4.D5.答案为：C.6.C7.D.8.C9.D.10.B11.答案为：x=±4．12.答案:x1=5/3,x2=1/313.答案为：314.答案为：－6或115.答案为：41.16.答案为:717.答案是：x 1=4+，x2=4﹣．18.答案为：－119.答案为：20.（x﹣5）2=16 （直接开平方法）x﹣5=±4x=5±4∴x1=1，x2=9；21.答案为：x1=13,x2=-3.4.22.答案为：x1=，x2=-2.23.答案为：x1=－21，x2=19.24.答案为：x1=3+3，x2=3﹣3；25.答案为：x1=﹣4，x2=1；26.答案为：x1=1+，x2=1﹣.27.答案为：28.答案为：x1=2，x2=0.5.。

一、选择题1．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-C解析：C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量． 3．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠ B ．1a ≥且5a ≠ C ．1a ≥ D ．1a <且5a ≠B解析：B【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．4．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．222-=x x xB ．215x x +=C ．220++=ax bx cD ．223x x +=D解析：D【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．【详解】解：A 、移项得：20x -=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项错误； B 、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；C 、ax 2+bx+c=0，当a=0时，它不是一元二次方程，故C 错误；D 223x x +=符合一元二次方程的定义，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．5．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4D 解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，化简得：2+340a a -=，解得：a=1或a=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．6．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17B 解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．7．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay y y y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5B 解析：B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a 为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a 的个数．解：∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根， ∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0， ∴31122a -≤≤且a≠2， ∴整数a 为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y ，解得y=61a -， 而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3， 当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符合条件的所有a 的个数是3．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．8．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根C解析：C【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-8＜0，进而可得出方程23210x x ++=没有实数根．【详解】解：∵△=22-4×1×3=-8＜0，∴方程23210x x ++=没有实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．9．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ） A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019A 解析：A【分析】把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成()2222020m m -+，再整体代入求出即可．∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，∴221m m -=，∴()222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2B 解析：B【分析】设方程的另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个根为x 1，根据题意得：2+x 1=3，∴x 1=1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和与系数的关系是解题的关键． 二、填空题11．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）249【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公解析：49814 92 【分析】运用配方法的运算方法填写即可．【详解】解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x 2-9x+814=（x-92）2， 故答案为：814，92． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解：一元二次方程x2－2x ＋1＝0一次项系数是：－2故答案为：－2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解解析：-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．【详解】解：一元二次方程x 2 －2x ＋1＝0一次项系数是：－2．故答案为：－2．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 14．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．15．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则21a +3β的值为________．10【分析】原方程变为（）-3（）-1=0得到β是方程x2-3x-1=0的两根根据根与系数的关系得到关系式代入求出即可【详解】解：∵α2+3α﹣1＝0∴（）-3（）-1=0∵实数αβ满足α2+3α﹣解析：10【分析】 原方程变为（21a）-3（1a ）-1=0，得到1a 、β是方程x 2-3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．【详解】解：∵α2+3α﹣1＝0， ∴（21a）-3（1a ）-1=0， ∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴1a 、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根， ∴1a +β＝3， a β ＝﹣1，2131a a=+， ∴原式＝1+3a +3β＝1+3（1a+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键． 16．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____．【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值再对代数式变形整体代入即可【详解】解：∵ab 是方程的两个实数根∴∴故答案为：【点睛】本题考查根与系数关系熟记根与系数关系的公式是解题关键 解析：22019【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值，再对代数式11a b+变形整体代入即可． 【详解】解：∵a ，b 是方程2220190+-=x x 的两个实数根，∴2a b +=-，2019ab =-， ∴112220192019a b a b ab +-+===-． 故答案为：22019． 【点睛】 本题考查根与系数关系．熟记根与系数关系的公式是解题关键．17．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____．﹣2【分析】直接根据根与系数的关系求解即【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2+2x ﹣7＝0的两个根∴m+n ＝﹣2故答案为﹣2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系是重要考点难度较易掌握相关知识是解析：﹣2．【分析】 直接根据根与系数的关系求解，即b m n a +=-． 【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，∴m+n ＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解：∵m 是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根，得21m m +=，代入求值．【详解】解：∵m 是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，即21m m +=，原式()222018220182020m m =++=+=．故答案是：2020．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．19．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 20．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值 解析：12- 【分析】先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．【详解】解：∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2，-(2x+1)2≤0，∴当x=-12时，4x 2-4x+1有最大值是2．故答案为：-12． 【点睛】 此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．三、解答题21．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.22．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．解析：（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=415x -=±∴14+15x =，2415x =-【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．如图,为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m ，现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是多少？（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．解析：（1）AB 的长应是4米；（2）花的面积不能达到39平方米．【分析】（1）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，解方程，把不合题意的解舍去即可求解； （2）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，方程无实数根，即可求解．【详解】解：（1）设AB=x 米，由题意得 x （21-3x ）=36，整理得 27120x x -+=，解得123,4x x ==，当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去；当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是4米．（2）设AB=x 米，由题意得 x （21-3x ）=39，整理得 27130x x -+=，()2247411330b ac ∆=-=--⨯⨯=-＜∴方程无实数根，∴无法围成总面积为39平方米的花圃．答：无法围成总面积为39平方米的花圃．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键，解题时注意根据题意检验根的合理性．24．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．25．如图，在ABC 中，13AB AC ==厘米，10BC =厘米，AD BC ⊥于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD的长；（2）当PDC△的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得112PMD ABCS S=？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t的值为2或292814+或292814，使得S△PMD=112S△ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×12=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12-t，又∵由△PDM面积为12PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S△PMD=112S△ABC．①若点M 在线段CD 上，即 0≤t≤52时，PD=12-t ，DM=5-2t ， 由S △PMD =112S △ABC ， 即 12×(12−t)(5−2t)＝5， 2t 2-29t+50=0解得t 1=12.5（舍去），t 2=2．②若点M 在射线DB 上，即52≤t≤12． 由S △PMD =112S △ABC 得 12(12−t)(2t−5)＝5， 2t 2-29t+70=0解得 t 1，t 2综上，存在t 的值为2或294或 294-，使得S △PMD =112S △ABC ． 【点睛】 此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．26．解下列方程（1）2280x x +-=；（2）（2y ＋1）2－25＝0；（3）24430t t --=；（4）2（m ＋3）＝m 2－9 ．解析：（1）x 1＝－4，x 2＝2；（2）y 1＝2，y 2＝－3；（3）t 1＝32，t 2＝12-；（4）m 1＝－3，m 2＝5【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）可以变形为：（2y ＋1）2＝25，直接开方求解（3）常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解；（4）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答．【详解】（1）x 2+2x -8＝0，（x +4）（x -2）＝0，则x +4＝0或x -2＝0，解得x ＝-4或x ＝2(2) （2y ＋1）2－25＝0；(2y+1)2=25，∴2y+1=±5，∴y 1=2,y 2=-3；(3)24430t t --=；4t 2−4t=3，4t 2−4t+1=3+1，(2t−1)2=4，∴2t−1=±2，∴t 1=32 ,t 2=12- （4）2（m ＋3）＝m 2－92（m ＋3）-（m ＋3）（m-3）＝0（m ＋3）(2-m+3)=0∴m+3=0或5−m=0，∴m 1=-3,m 2=5．【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则．27．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？ 解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．28．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-（1）求一次函数的表达式；（2）若点()222,a a +在该一次函数图象上，求a 的值；（3）已知点()()1122,,,A x y B x y 在该一次函数图象上，设()()1212m x x y y =--，判断正比例函数y mx =的图象所在的象限，说明理由．解析：（1）21y x =-+；（2）a 的值是－1或－3；（3）在第二、四象限．【分析】（1）把点()0,1和点()1,1-两点坐标分别代入一次函数y kx b =+，进而求得k 、b 的值，即可求出一次函数的表达式；（2）将点()222,a a +代入一次函数21y x =-+，即可求得a 的值；（3）根据点()()1122,,,A x y B x y 在一次函数21y x =-+图象上，由()()1212m x x y y =--可得()()()212121222112m x x x x x x =--+=--+-，据此可以判断m 的取值，结合正比例函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-，根据题意得： 11b k b =⎧⎨-=+⎩， 解得21k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的表达式为21y x =-+；（2）∵点()222,a a +在一次函数21y x =-+的图象上，∴22(22)1a a =-++，解得1a =-或3a =-，即a 的值是－1或－3；（3）正比例函数y mx =的图象在第二、四象限．理由：∵点()()1122,,,A x y B x y 在一次函数21y x =-+图象上，()()1212m x x y y =--，∴()()()212121222112m x x x x x x =--+=--+-，∴m＜0，的图象在第二、四象限．∴正比例函数y mx【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．。

21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n.(1)求m ，n 的值；(2)求x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，∴m ＝2，n ＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第2单元用配方法求解一元二次方程一．选择题1．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．2500x2＝3600B．2500（1+x）＝3600C．2500（1+x）2＝3600D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝36002．受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，根据题意可得方程（）A．B．C．D．3．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（）A．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52B．60（1﹣2x）＝52C．60（1﹣x）2＝52D．60（1﹣x2）＝524．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1+x＝4B．（1+x）2＝4C．1+（1+x）2＝4D．1+（1+x）+（1+x）2＝45．据贵阳市自然资源和规划局公示，贵阳轨道交通4号线从贵阳北出发，依次为贵阳北﹣贵阳东﹣龙洞堡﹣……﹣白云区．从贵阳北到白云区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（）A．x（x+1）＝156B．x（x﹣1）＝156C．（x+1）＝156D．x（x﹣1）＝1566．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（）A．1.5（1+2x）＝4.8B．1.5×2（1+x）＝4.8C．1.5（1+x）2＝4.8D．1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.87．新冠疫情给各地经济带来很大影响．为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．若该企业五、六月份平均每月的增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182C．50（1+2x）2＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝1828．2021年第二季度，某市实现垃圾分类的小区数比第一季度增加了30%，第三季度比第二季度增加了40%，假设该市小区数量不变，设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小区平均增加的百分数为x%，则x%满足的方程是（）A．30%+40%＝2x%B．（1+30%）（1+40%）＝2x%C．（1+30%）（1+40%）＝（1+x%）2D．（1+30%）（1+40%）＝（1+2x%）29．某景点去年第一季度接待游客25万人次，第二、第三季度共接待游客150万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变（x＞0），则（）A．25（1+x）2＝150B．25（1+x）＝150C．25+25（1+x）+25（1+x）2＝150D．25（1+x）+25（1+x）2＝150二．填空题10．某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为．11．九江某农场2019年种植1亩蔬菜的成本是4000元，由于原料价格上涨，2021年生产种植1亩蔬菜的成本是6000元，求该农场种植1亩蔬菜成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为．12．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得．13．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件村衫降价x元，由题意列得方程．三．解答题15．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．16．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．17．某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题：（1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利元．（2）为了更多的让利消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？18．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？19．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？20．国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，2019年有耕地7200亩，经过改造后，2021年有耕地8712亩．（1）求该村耕地两年平均增长率；（2）按照（1）中平均增长率，求2022年该村耕地拥有量．21．今年三月，新冠肺炎疫情再次波及长沙，某社区超市将原来每瓶售价为20元的免洗消毒液经过两次降价后（每次降价的百分率相同），以每瓶16.2元出售支持社区防疫．（1）求每次降价的百分率；（2）商家库存的1000瓶免洗消毒液每瓶进价为15元，仓储、人工等成本大约共1500元，计划通过以上两次降价方式全部售出后确保不亏损，那么第一次降价至少售出多少瓶后，方可进行第二次降价？参考答案一．选择题1．C2．D3．C4．D5．B6．D7．D8．C9．D二．填空题10．4+2.6（1+x）2＝7.14611．4000（1+x）2＝600012．x（x﹣1）＝1513．（50﹣x）（300+10x）＝1600014．（40﹣x）（20+2x）＝1200三．解答题15．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．16．解：每降价2元，多销售6件，设降价x元，则多销售3x件；降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元．则有（30+3x）（40﹣x）＝1000，整理得3x2﹣90x﹣200＝0．17．解：（1）根据题意，得（120﹣20）×（100+2×20）＝14000（元），故答案为：14000；（2）设每盒应降价x元，根据题意，得（120﹣x）（100+2x）＝14400，解得x＝30或x＝40，∵更多的让利消费者，∴x＝40，答：每盒应降价40元．18．解：（1）设月平均增长率是x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：月平均增长率是20%．（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20．又∵要尽量减少库存，∴y＝20．答：售价应降低20元．19．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．20．解：（1）设该村耕地两年平均增长率为x，依题意得：7200（1+x）2＝8712，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该村耕地两年平均增长率为10%．（2）8712×（1+10%）＝9583.2（亩）．答：2022年该村拥有耕地9583.2亩．21．解：（1）设每次降价的百分率为x，则20（1﹣x）2＝16.2，解得x＝0.1或x＝1.9（舍），答：每次降价的百分率为10%．（2）由（1）知第一次降价后的售价为18元，设第一次降价销售y瓶，根据题意得：（18﹣15）y+（16.2﹣15）（1000﹣y）≥1500，解得：y≥≈166.7，答：第一次降价至少售出167瓶后，方可进行第二次降价．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第21章一元二次方程21.1一元二次方程一、选择题（本大题共9小题，共27分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A.+2=1B.2+−1=2C.2+3=8D.2−5=02.若关于x的方程(a-2)2-2x+2=0是一元二次方程,则a的值是（）A.2B.−2C.0D.不等于2的任意实数3.一元二次方程22+5x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.2，5，1B.2，5，−1C.2，5，0D.22，5，−14.下列各数:-1,0,1,2中,是方程2-x-2=0的根的是（）A.−1B.2C.−1，2D.1，25.若x=1是关于x的一元二次方程2+ax+2b=0的一个根,则2a+4b等于（）A.−2B.−3C.−1D.−66.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）A.(−11)=180B.2+2(−11)=180C.(+11)=180D.2+2(+11)=1807.已知关于x的一元二次方程(m-2)2+3x+2-4=0有一根为0,则m的值是（）A.2B.−2C.2D.−2或28.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根－b，则a－b的值为（）A.1B.−1C.0D.−29.王叔叔从市场上买了一块长80cm,宽70cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为30002的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为()A.(80−)(70−)=3000B.80×70−42=3000C.(80−2)(70−2)=3000D.80×70−42−(70+80)=3000二、填空题（本大题共9小题，共27分）10.关于x的方程(2-1)2+(m+1)x+3=0.(1)当m=时,是一元一次方程;(2)当m≠时,是一元二次方程.11.填空方程一般形式二次项系数一次项系数常数项22+5=4x4x(x+3)=0(5+x)(x-5)=02x-1)(x+5)=x(3x-2)12.下列数-1,-2,-3,2,3是一元二次方程2-2x=3的根是.13.若关于x的一元二次方程2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=.14.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0．15.已知m是方程2-2x-1=0的一个根,则4m-22=.16.x支球队参加篮球赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,一共进行了36场比赛,求参赛的篮球队支数x.根据问题,列出关于x的方程:,并将其化为一般形式:.17.关于x的一元二次方程(m+1)2+2x+2-1=0的常数项为0,则m的值为.18.根据下列问题列方程,并将方程化为一般形式:(1)新年里,一个小组有若干人,若每人给小组其他成员赠送一张贺年卡,则全组共送贺年卡72张,设此小组人数为x人,则可列方程,化为一般形式.(2)在一次同学聚会时,同学见面后每两人握一次手,共握手28次,设参加聚会的同学有x人,则可列方程为,化为一般形式.(3)在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,如果雕像的高为2m,设雕像下部为xm,则列方程,并化成一般形式.三、解答题（本大题共4小题，共46分）19.当方程(m-1)2+1-(m+1)x-2=0是一元二次方程时,求m的值.20.关于x的一元二次方程2+bx+c=0的一个根是1,a,b满足b=−2+2−-1,12+c=0的解为.421.已知a是方程2-2017x+1=0的一个根,求2-2018a+2+1的值.201722.已知m为方程2+x-1=0的一个根,求3+22-3的值.参考答案1.D2.D3.B4.C5.A6.C7.B8.A9.C10.(1)1；(2)±111.22-4+5=0;2；-4；5；42+12=0；4；12；0；2-25=0；1；0；-25；2-11+5=0；1；-11；512.-1，3．13.-214.115.-216.12x (x -1)=36；122-12x -36=0(或2-x -72=0)17.118.(1)x (x -1)=72,2-x -72=0;(2)12x (x -1)=28,2-x -56=0;(3)2=2(2-x ),2+2x -4=019.解：∵−12+1−+1−2=0是一元二次方程，∴m 2+1=2，解得m =±1，又∵m -1≠0，∴m≠1，∴m=-1．20.y1=2，y2=-221.解:∵a是方程2-2017x+1=0的一个根，∴2-2017a+1=0，∴2-2018a=2-2017a+1-a-1=-a-1,2+1=2017a，∴原式=-a-1+2017=-a-1+a=-1.201722.解：把x=m代入方程得：m2+m-1=0，整理得：m2+m=1，∴m3+2m2-3=2++2−3=×1+2−3=1−3=-2.。

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程课时练习一、选择题1. 如果方程（ k- 2）x2 - 3kx- 1=0 是一元二次方程，那么k 的值不可能是（）A . 0B . 2 C.- 2 D. 1答案： B解析：解答：∵方程（ k- 2）x2 - 3kx- 1=0 是一元二次方程，∴k- 2≠ 0，解得， k≠ 2．分析：一元二次方程的二次项系数不等于零．故选 B ．2．若方程（ m+2）x m =0 是关于 x 的一元二次方程，则（）A . m=2 B. m=- 2 C. m=± 2 D . m≠ 2答案： A解析：解答：∵方程（ m+2）m =0是关于x的一元二次方程，x∴|m|=2， m+2 ≠ 0，解得 m=2．故选 A ．分析：根据一元二次方程的定义，令系数不为0，指数为 2 即可解答．3. 下列方程是一元二次方程的是（）A . 2x+1=9 B. x2 +2 x+3=0 C. x+2x=7 D . 1 5 6x答案： B解析：解答：根据一元二次方程的定义可得x 2 +2x+3=0 是一元二次方程，故选： B．分析： A 是一元一次方程， B 是一元二次方程， C 是一元一次方程， D 是分式方程．4. 若关于 x 的方程m 1 x m2 1 mx 3 0 是一元二次方程，则m=（）A . 1B .- 1 C. ± 1 D. 无法确定答案： B2解析： 解答： ：∵关于 x 的方程 m 1 x m 1mx 3 0 是一元二次方程，∴ m 2 +1=2 ，且 m- 1≠ 0，解答， m=- 1．故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程 m 2 +1=2 ，且二次项系数 m- 1≠ 0，据此易求 m 的值．5. 方程 x23x是（）2A . 一元二次方程 B. 分式方程 C. 无理方程 D. 一元一次方程答案： A解析： 解答： ∵此方程含有一个未知数，并且未知数的次数为 2，∴此方程是一元二次方程． 故选 A ．分析：根据一元二次方程的定义进行解答即可．6. 若 a 2 x a 2 23 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是（）A . 0B . 2 C.- 2D. ± 2答案： C解析： 解答： ∵ a 2 x a 2 23 是关于 x 的一元二次方程，a 2 0∴2 ，a 22解得， a=- 2．故选 C ．分析：一元二次方程必须满足两个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．7. 已知一元二次方程（ m- 2） x m）+3 x- 4=0，那么 m 的值是（ A . 2 B . ±2C.- 2 D. 1答案： C解析： 解答： 由一元二次方程的定义可知：m- 2≠ 0 且 m =2解得， a=- 2．故选 C ．分析：一元二次方程必须满足两个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．8. 关于 x 的方程 kx 2- 6x+9=0 是一元二次方程，则 （ ）A . k ＜ 0 B. k ≠0 C. k ≥ 0D . k ＞ 0答案： B解析： 解答： ∵一元二次方程的二次项系数不能为 0，且 kx 2 - 6x+9=0 是一元二次方程，∴k ≠ 0故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义中，二次项系数不能为 0，直接求出 k 的取值范围．9. 方程（ m- 1） x |m|+1 - 2x =3 是关于 x 的一元二次方程，则有（ ）A . m=1 B. m=- 1C. m=± 1D . m ≠± 1答案： B解析： 解答： ∵方程（ m-1）x |m|+1 - 2x=3 是关于 x 的一元二次方程，m 1 0∴1 ，解得 m=- 1．m2故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程组，求出 m 的值即可．10. 若关于 x 的方程（ a- 1） x 2 +3x- 2=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A . a ≥ 1 B. a ≠ 0 C. a ≠1 D. a ＞ 1解析：解答：根据题意，得a- 1≠ 0，解得， a≠ 1．故选 C．分析：本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．11. 下列式子中是一元二次方程的是（）A . xy+2=1B . （x2 +5） x=0C. x2 - 4x- 5 D . x2 =0答案： D解析：解答： A 、含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；B、未知数的次数是 3，是一元三次方程，故本选项错误；C、不是等式，故不是方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选 D ．分析：根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．12. 如果（ m- 1）x2+2x- 3=0 是一元二次方程，则（）A . m≠ 0B . m≠ 1 C. m=0 D. m≠ - 12答案： B解析：解答：∵（ m- 1）x2 +2x-3=0 是一元二次方程，∴m- 1≠ 0，∴m≠ 1．故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于m 的不等式，求出m 的值即可．13. 关于 x 的方程ax2 ax 2 0 是一元二次方程，则 a 满足（）A . a＞ 0 B. a=1 C. a≥ 0 D . a≠ 0a 0解析：解答：根据题意得，解得a＞0．a 0故选 A ．分析：本题根据一元二次方程的定义中：二次项系数不为0 以及算术平方根中的被开方数是非负数，即可求得 a 的取值范围．14. p x2 - 3x+ p2 - p=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）A . p=1B . p＞ 0 C. p≠ 0 D . p 为任意实数答案： C解析：解答： p x2 - 3x+ p2 - p=0 关于 x 的一元二次方程，可知p≠0，选 C．分析：根据一元二次方程的一般形式是 a x2 +bx+c=0（ a， b，c 是常数，且a≠0），据此即可进行判断．15.关于x的方程a x2- 3x+3=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A . a＞ 0 B. a≠ 0 C. a=1 D . a≥ 0答案： B解析：解答：由一元二次方程的特点可知a≠ 0．故选 B ．分析：根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠ 0），据此即可进行判断．二、填空题16.试写出一个含有未知数 x 的一元二次方程 ________．答案：x2 - 2x+1=0解析：解答：答案不唯一，要符合一元二次方程的定义，保证二次项系数不为0，如x2 - 2x+1 =0 分析：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠ 0）特别要注意 aax2叫二次项， bx 叫一次≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中项， c 是常数项．其中a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17. 关于 x 的一元二次方程ax 2 - bx- c=0 的 a 的取值范围 ________．答案： a≠ 0解析：解答：：∵ax2 - bx- c=0 是关于 x 的一元二次方程，∴a≠0．故答案为： a≠ 0．分析：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程，可得出a的取值范围．18.当 k 满足条件 ________时，关于 x 的方程（ k- 3）x2 +2x- 7=0 是一元二次方程．答案： k≠ 3解析：解答：根据题意得k- 3≠0，解得 k≠ 3．故答案为k≠3．分析：根据一元二次方程的定义得到k- 3≠ 0，然后解不等式即可．19.关于x的方程ax2- 3x- 2=0是一元二次方程，则a________．答案：≠ 0解析：解答：使 x 的方程ax2 - 3x- 2=0 是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为0，∴a≠ 0．分析：根据一元二次方程的一般形式是ax 2 +bx+c=0（ a≠0， a， b， c 都是常数）及其定义，即可求解．20. 方程ax a 1 +3x- 1=0 是一元二次方程，则a=________ ．答案： 3 或- 3．解析：解答：根据题意得，|a|- 1=2 且 a≠ 0，由|a|- 1=2 得， a- 1=2 或 - a-1=2，解得 a=3 或 a=- 3，所以， a=3 或 - 3．故答案为： 3 或 - 3．分析：根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（ 2）二次项系数不为 0 列式求解即可．三．解答题21. 若（ m+1 ）x m 1 +6-2=0 是关于 x 的一元二次方程，求m 的值．答案： m=1解析：解答：因为是关于 x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1 一定是此二次项．m 1 0 所以得到1 ，m 2 解得 m=1．分析：一元二次方程的一般形式是： 2 bx c 0 a b，c是常数且a 0 aax + + = （，≠）特别要注意≠0 的条件．22.若关于x的方程（k24 ） x2+k 1 x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．答案： k≥ 1 且 k≠ 2.解析：解答：根据题意，k 24≠0且k-1≥0，解得k≥1且k≠ 2.分析：本题根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0，并且二次根式有意义的条件被开方数是非负数，即可求得k 的范围．23.已知关于x的一元二次方程 2 x a - 3 x b - 5=0 ，试写出满足要求的所有a， b 的值．答案：a=2， b=2 或a=2 ， b=1 或a=2，b=0，或a=1， b=2 或 a=0， b=2解析：解答：根据题意，a=2，b=2 或 a=2， b=1 或a=2 ， b=0 ，或a=1， b=2 或a=0， b=2 分析：本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．24. 试比较下列两个方程的异同，x2 +2x- 3=0 ，x2 +2x+3=0 ．答案：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解解析：解答：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解分析：从一元二次方程的概念、系数等进行比较．25.已知 a、b、 c 为三角形三个边，ax2 +bx（ x- 1）= cx2 - 2b 是关于 x 的一元二次方程吗？答案：是解析：解答：化简ax2 +bx（ x- 1） = cx2 - 2b，得（ a+b- c）x2 - bx+2b=0，∵a、 b、 c 为三角形的三条边，∴a+b＞ c，即 a+b- c＞0，∴ax2 +bx（x- 1） = cx2- 2b 是关于 x 的一元二次方程．分析：首先将ax 2+bx（x- 1）=cx2- 2b化简整理成（a+b- c）x2- bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．。

课时提优计划作业本数学九年级上一、一元二次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥0)，解得x = ±√(k)。

- 例如方程(x - 3)^2=16，则x - 3 = ±4，解得x = 7或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为ax^2+bx = - c的形式；然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2；将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再进行求解。

- 例如用配方法解方程x^2+6x - 7 = 0。

- 移项得x^2+6x = 7。

- 配方：x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16。

- 解得x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 例如解方程2x^2-5x + 1 = 0，其中a = 2，b=-5，c = 1。

- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 17。

- 代入公式得x=(5±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 将方程化为一边是两个一次因式乘积，另一边为零的形式，使每个一次因式等于零，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。

- 例如方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知能演练提升一、能力提升1.若关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则n m的值为()A.-8B.8C.16D.-162.若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为()A.-1或2B.1或-2C.-2D.13.若α,β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为()A.-13B.12C.14D.154.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③x12+x22<a2+b2.则正确结论的序号是.5.(2020·青海中考)在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=4.请你写出正确的一元二次方程.6.已知x1,x2为方程x2+3x+1=0的两个实数根,则x13+8x2+20=.7.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值.★8.若实数x1,x2满足x12-3x1+1=0,x22-3x2+1=0,求x2x1+x1x2的值.二、创新应用★9.如图,菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于点O,且OA,OB的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,求m的值.知能演练·提升一、能力提升1.C ∵关于x 的方程2x 2+mx+n=0的两个根是-2和1,∴-m 2=-1,n 2=-2,∴m=2,n=-4,∴n m =(-4)2=16.故选C .2.D x 1,x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根,x 1+x 2=2m ,x 1x 2=m 2-m-1.∵x 1+x 2=1-x 1x 2,∴2m=1-(m 2-m-1),即m 2+m-2=(m+2)(m-1)=0,解得m 1=-2,m 2=1.由方程x 2-2mx+m 2-m-1=0有实数根,得Δ=(-2m )2-4(m 2-m-1)=4m+4≥0,解得m ≥-1.故m=1.故选D .3.B ∵α为2x 2-5x-1=0的实数根,∴2α2-5α-1=0,即2α2=5α+1,∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1.∵α,β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根, ∴α+β=52,αβ=-12, ∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(-12)+1=12.故选B .4.①② Δ=(a+b )2-4(ab-1)=a 2+b 2-2ab+4=(a-b )2+4>0,则①成立;∵x 1x 2=ab-1,x 1+x 2=a+b ,∴x 1x 2=ab-1<ab ,②成立;x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(a+b )2-2(ab-1)=a 2+b 2+2>a 2+b 2,故③不成立.5.x 2-5x+6=06.-1 由x 1,x 2是方程x 2+3x+1=0的两实数根,可知x 1+x 2=-3,x 12+3x 1+1=0,即x 12=-3x 1-1.因此x 13+8x 2+20=x 12·x 1+8x 2+20=(-3x 1-1)x 1+8x 2+20=-3x 12-x 1+8x 2+20=9x 1+3-x 1+8x 2+20=8x 1+8x 2+23=-24+23=-1.7.解 (1)关于x 的方程x 2+(2k-1)x+k 2-1=0有两个实数根x 1,x 2,Δ=(2k-1)2-4(k 2-1)=-4k+5≥0,解得k ≤54,实数k 的取值范围为k ≤54.(2)关于x 的方程x 2+(2k-1)x+k 2-1=0有两个实数根x 1,x 2,x 1+x 2=1-2k ,x 1x 2=k 2-1.∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16+x 1x 2,∴(1-2k )2-2(k 2-1)=16+(k 2-1),即k 2-4k-12=0,解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).故实数k 的值为-2.8.解 当x 1≠x 2时,x 1,x 2是方程x 2-3x+1=0的两根,有x 1+x 2=3,x 1x 2=1.故x 2x 1+x 1x 2=x 22+x 12x 1x 2=(x 2+x 1)2-2x 1x 2x 1x 2=32-2×11=7. 当x 1=x 2时,原式=1+1=2.综上,原式的值是7或2.二、创新应用9.分析将直角三角形中的勾股定理、完全平方式的基本变形以及一元二次方程根与系数的关系结合起来求解.解因为OA,OB的长是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个实数根,所以OA+OB=1-2m, OA·OB=m2+3.在菱形ABCD中,OA2+OB2=AB2,(OA+OB)2-2OA·OB=AB2,即(1-2m)2-2(m2+3)=25,化简得m2-2m-15=0.解得m1=5,m2=-3.而方程有两实数根,则b2-4ac=(2m-1)2-4(m2+3)≥0..从而可知m≤-114因此m=5不合题意,舍去.故m=-3.。

专题21.1 一元二次方程目录一元二次方程的定义 (1)一元二次方程项数系数 (4)一元二次方程含参 (5)一元二次方程的解 (6)直接开平方法 (9)配方法 (11)一元二次方程判别式 (15)含参求根的辨别式 (16)根的辨别式综合运用 (17)因式分解法 (19)十字相乘 (21)根与系数的关系..............................................................................................................................22一元二次方程的定义【例1】下列方程中，不是一元二次方程的是( )A ．21x x =+B ．276x x -=C ．24573x x -=-D ．2650x --=【解答】解：A ．根据一元二次方程的定义，21x x =+是一元二次方程，那么A 不符合题意．B ．根据一元二次方程的定义，276x x -=是一元二次方程，那么B 不符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，24573x x -=-不是一元二次方程，那么C 符合题意．D ．根据一元二次方程的定义，2650x --=是一元二次方程，那么D 不符合题意．故选：C ．【变式训练1】下列方程中是一元二次方程的是( )A ．22(2)4x x -+=B ．2220x x ++=C ．2130x x +-=D ．21xy +=【解答】解：A ．由22(2)4x x -+=，得40x =，那么22(2)4x x -+=不是一元二次方程，故A 不符合题意．B ．根据一元二次方程的定义，2220x x ++=是一元二次方程，故B 符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，2130x x+-=不是一元二次方程，而是分式方程，故C 不符合题意．D ．根据一元二次方程，21xy +=不是一元二次方程，故D 不符合题意．故选：B ．【变式训练2】下列是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．22x x -=C ．22(2)x x x -=-D ．11x x+=【解答】解：A 、当0a =时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；B 、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意；C 、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；D 、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B ．【变式训练3】下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【解答】解：A ．该方程是分式方程，故本选项不合题意；B ．当0a =时，20ax bx c ++=不是关于x 的一元二次方程，故本选项不合题意；C ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D 、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【例2】已知关于x 的方程21(1)230mm x x +-+-=是一元二次方程．（1）求m 的值；（2）解该一元二次方程．【解答】解：（1）Q 关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，\21012m m -¹ìí+=î，解得1m =-；（2）方程为22230x x -+-=，即22230x x -+=，2a =Q ，2b =-，3c =，224(2)423424200b ac \-=--´´=-=-<，故原方程无解．【变式训练1】已知方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．【解答】解：Q 方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，|3|42a \-=且20a +¹，解得：2a =．【变式训练2】已知关于x 的方程21(3m m x x --=，试问：（1）m 为何值时，该方程是关于x 的一元一次方程？（2）m 为何值时，该方程是关于x 的一元二次方程？【解答】解：（1）由题意，得211m -=，解得m =，当m =时，该方程是一元一次方程；0m =，解得m =，当m =时，该方程是一元一次方程；210m -=，解得1m =±，1m =±时，该方程是一元一次方程；（2）由题意，得212m -=且0m ¹，解得m =，当m =时，该方程是关于x 的一元二次方程．【变式训练3】关于x 的方程21(43)5130k k k x x --+-+=能否为一元二次方程？若能，求出k 的值；若不能，请说明理由．【解答】解：若关于x 的方程21(43)5130k k k x x --+-+=是一元二次方程，则243012k k kì-+¹í-=î，k \无解，\关于x 的方程21(43)5130k k k x x --+-+=不能为一元二次方程．一元二次方程项数系数【例3】把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是( )A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【解答】解：(1)(1)3x x x +-=，2130x x --=，即2310x x --=，故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是( )A ．1B ．8C ．7D ．2【解答】解：关于x 的一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项分别为4、1和3-．所以一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是4132+-=．故选：D ．【变式训练2】方程2514x x -=化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是( )A ．4，1-B ．4，1C ．4-，1-D ．4-，1【解答】解：2514x x -=化成一元二次方程一般形式是25410x x --=，它的一次项系数是4-，常数项是1-．故选：C ．【变式训练3】把方程225(2)x x x +=-化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．1，3-，2B ．1，7，10-C ．1，5-，12D ．1，3-，10【解答】解：225(2)x x x +=-，22510x x x +=-，225100x x x +-+=，23100x x -+=，则1a =，3b =-，10c =，故选：D ．一元二次方程含参【例4】若关于x 的方程2(1)2a x -=为一元二次方程，则a 满足( )A ．1a =B ．1a ¹C ．0a =D ．0a ¹【解答】解：Q 方程2(1)2a x -=为一元二次方程，10a \-¹，解得1a ¹．故选：B ．【变式训练1】若||1(3)(3)50m m x m x -+---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．3B ．3-C ．3±D ．2±【解答】解：由题意可知：||1230m m -=ìí+¹î，解得：3m =，故选：A ．【变式训练2】若方程||1(1)23m m x x +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．不存在【解答】解：由题意得：||12m +=，且10m -¹，解得：1m =-，故选：B ．【变式训练3】已知关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，则( )A ．2m ¹±B ．2m =-C ．2m =D ．2m =±【解答】解：Q 关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，\20||2m m -¹ìí=î，解得2m =-，故选：B ．一元二次方程的解【例5】已知m 为方程2320220x x +-=的根，那么32220252022m m m +-+的值为( )A ．2022-B ．0C ．2022D ．4044【解答】解：m Q 为方程2320220x x +-=的根，2320220m m \+-=，232022m m \+=，\原式3223320222022m m m m m =+---+22(3)(3)20222022m m m m m m =+-+-+2022202220222022m m =--+0=．【变式训练1】若a 是2320220x x --=的一个根，则231a a -+的值是( )A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【解答】解：a Q 是2320220x x --=的一个根，2320220a a \--=，232022a a \-=，231202212023a a \-+=+=．故选：D ．【变式训练2】已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为( )A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【解答】解：a Q 是方程2202210x x -+=的一个根，2202210a a \-+=，即212022a a +=，220221a a =-，则2222022112021112022120211a a a a a a a +-+=-+=-=-=+．故选：C ．【变式训练3】已知m 是一元二次方程2410x x -+=的一个根，则220214m m -+的值为( )A ．2021-B ．2021C ．2020D ．2022【解答】解：把x m =代入方程2410x x -+=得2410m m -+=，所以241m m -=-，所以22202142021(4)2021(1)2022m m m m -+=--=--=．故选：D ．一元二次方程与三角形【例6】已知关于x 的方程2(1)4120a x x a ---+=，其中3x =是方程的一个根．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）若ABC D 的三条边长都是此方程的根，求ABC D 的周长．【解答】解：（1）把3x =代入方程得9(1)43120a a --´-+=，\原方程为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x \=，23x =，故它的另一个根是1；（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，那么三角形的周长是3或9；②仅有两边相等，1123+=<Q ，\三角形的边长只能为3，3，1，那么三角形的周长是7；由①、②知，三角形的周长可以是3或7或【变式训练1】已知2x =是关于x 的方程2(4)40x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长．（1）求m 的值；（2）求ABC D 的周长．【解答】解：（1）把2x =代入方程2(4)40x m x m -++=得42(4)40m m -++=，解得2m =；（2）方程化为2680x x -+=，解得12x =，24x =，224+=Q ，\等腰三角形ABC 的腰长为4，底边长为2，ABC \D 的周长为44210++=．【变式训练2】已知关于x 的方程2(2)20x m x m -++=．（1）判断方程根的情况；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数m 的值；（3）若等腰ABC D 的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求ABC D 的周长．【解答】解：（1）Q △22(2)42(2)0m m m =+-×=-…，\方程有两个实数根；（2）2(2)2m m x +±-=，所以12x =，2x m =，Q 两根异号，正根的绝对值较大，20m \-<<，\整数m 的值为1-；（3）当2m =时，三角形三边为2、2、3，则三角形的周长为2237++=；当3m =时，三角形三边为2、3、3，则三角形的周长为2338++=．综上所述，三角形的周长为7或【变式训练3】已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰ABC D 的两条边长．（1）求m 的值；（2）求ABC D 的周长．【解答】解：（1）把2x =代入方程得4430m m -+=，解得4m =；（2）当4m =时，原方程变为28120x x -+=，解得12x =，26x =，Q 该方程的两个根恰好是等腰ABC D 的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形ABC \D 的腰为6，底边为2，ABC \D 的周长为66214++=．直接开平方法【例7】方程2(1)9x +=的解为( )A ．2x =，4x =-B ．2x =-，4x =C ．4x =，2x =D ．2x =-，4x =-【解答】解：方程2(1)9x +=，开方得：13x +=或13x +=-，解得：12x =，24x =-．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2160x -=的根是( )A ．4B ．4-C ．4±D ．16【解答】解：2160x -=Q ，216x \=，4x \=±，故选：C ．【变式训练2】解方程22(1)160x --=．【解答】解：22(1)160x --=，22(1)16x -=，2(1)8x -=，1x -=±11x \=-，21x =+．【变式训练3】解方程：24(3)250x --=．【解答】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=，532x \-=±，1112x \=，212x =．【例8】解方程：22(23)(32)x x +=+．【解答】解：方程：22(23)(32)x x +=+，开方得：2332x x +=+或2332x x +=--，解得：11x =，21x =-．【变式训练1】解方程：22(21)(3)x x -=-．【解答】解：21(3)x x -=±-，213x x -=-或213x x -=-+，所以143x =，22x =-．【变式训练2】用适当的方法解一元二次方程：22(1)4(1)x x -=+．【解答】解：12(1)x x -=±+，所以13x =-，213x =-．【变式训练3】解方程：22(21)(1)x x +=-．【解答】解：21(1)x x +=±-，所以12x =-，20x =．配方法【例9】一元二次方程2220x x --=配方后可化为( )A ．2(1)3x +=B ．2(1)3x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=【解答】解：2220x x --=，222x x -=，22121x x -+=+，2(1)3x -=，故选：B ．【变式训练1】把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是( )A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x -=【解答】解：2240x x --=，224x x -=，22141x x -+=+，2(1)5x -=，故选：C ．【变式训练2】方程2460x x --=经配方后，可化为( )A ．2(2)10x -=B ．2(2)10x +=C ．2(2)8x -=D ．2(2)8x +=【解答】解：2460x x --=Q ，246x x \-=，则24464x x -+=+，即2(2)10x -=，故选：A ．【变式训练3】下列配方中，变形正确的是( )A ．222(1)x x x +=+B ．2243(2)1x x x --=-+C ．222432(1)1x x x ++=++D ．222(1)1x x x -+=-+-【解答】解：22x x+2211x x =++-2(1)1x =+-，A 错误．243x x --24443x x =-+--2(44)(43)x x =-++--2(2)7x =--．B 错误．2243x x ++22(2)3x x =++22(211)3x x =++-+22(21)213x x =++-´+22(1)23x =+-+22(1)1x =++．C 正确．22x x-+2(211)x x =--+-2(21)1x x =--++2(1)1x =-++D 错误．故选：C ．【例10】用配方法解一元二次方程：22410x x -+=．【解答】解：方程整理得：2122x x -=-，配方得：21212x x -+=，即21(1)2x -=，开方得：1x -=解得：11x =+，21x =．【变式训练1】解一元二次方程：22460x x --=．【解答】解：22460x x --=Q ，2230x x --=，223x x -=，则22131x x -+=+，即2(1)4x -=，12x \-=±，11x \=-，23x =．【变式训练2】用配方法解方程：24x -=．【解答】解：Q 24x -=，2545x \-+=+，即2(9x =，3x \=或3x =-，13x \=+23x =-+【变式训练3】用配方法解方程：21090x x -+=．【解答】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．一元二次方程判别式【例11】方程2450x x --=的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定【解答】解：方程2450x x --=，Q △2(4)41(5)1620360=--´´-=+=>，\方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2610x ++=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：一元二次方程2610x ++=中，△24610=-´´=，2610x \++=有两个相等的实数根，故选：C ．【变式训练2】一元二次方程2210x x -+=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有无数个实数根【解答】解：对一元二次方程2210x x -+=，△2(2)4110=--´´=，2210x x \-+=有两个相等实数根，故选：B ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程24(1)(3)0x x m m ++--=，下列选项正确的是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关【解答】解：方程24(1)(3)0x x m m ++--=，△164(1)(3)m m =---2164(33)m m m =---+241628m m =-+24(44)12m m =-++24(2)12m =-+，2(2)0m -Q …，24(2)12120m \-+>…，则方程有两个不相等的实数根．故选：C ．含参求根的辨别式【例12】关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．98m …B ．98m <且0m ¹C ．98m …且0m ¹D ．98m …【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，\△2(3)80m =--…，且0m ¹，解得：98m …且0m ¹．故选：C ．【变式训练1】若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．36B ．9C ．6D ．9-【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，\△2640c =-=，解得9c =，故选：B ．【变式训练2】若关于x 的方程220x x m --=没有实数根，则m 的最大整数值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 关于x 的方程220x x m --=没有实数根，2(2)41()440m m \--´´-=+<，解得：1m <-，则m 的最大整数值是2-．故选：A ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程2(1)210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．1m <-B ．0m >C ．1m <且0m ¹D ．0m >且1m ¹【解答】解：根据题意得10m -¹且△224(1)(1)0m =--->，解得0m >且1m ¹．故选：D ．根的辨别式综合运用【例13】已知关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根．（1）求实数k 的取值范围．（2）若此方程有一个根为1，求k 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根，\△2224(23)41(1)0b ac k k =-=--´´-…，解得：1312k …；（2）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=的一个根为1，\把1x =代入方程得：21(23)10k k +-+-=，2230k k \+-=，解得：1k =或3-，故k 的值为1或3-．【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=．（1）求证：对于任意实数m ，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m 的值．【解答】（1）证明：对关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=，△22221[(1)]4(2)21214m m m m m m m =---´-=-+-+=，\△0>，\对于任意实数m ，一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则2210(1)0(2)04m m m ´--´+-=，220m m \-=，解得0m =或2m =，答：m 的值为0或【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程2(1)230x k x k -++-=．（1）当3k =时，求一元二次方程2(1)230x k x k -++-=的解；（2）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：当3k =时，方程可化为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x \=，23x =；（2）证明：Q △222[(1)]4(23)613(3)4k k k k k =-+--=-+=-+，而2(3)0k -…，\△0>．\对任意实数k ，方程有两个不相等的实数根．【变式训练3】已知关于x 的方程2(3)30x k x k -++=．（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）等腰ABC D 的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC D 的周长．【解答】（1）证明：△22(3)43(3)0k k k =+-´=-…，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：依题意有△2(3)0k =-=，则3k =，将其代入方程2(3)30x k x k -++=，得2(33)330x x -++´=．解得123x x ==．故ABC D 的周长是2338++=．因式分解法【例14】方程24x x =的解是( )A．x =B ．12x =，22x =-C ．124x x ==D ．10x =，24x =【解答】解：24x x =，240x x -=，(4)0x x -=，0x =或40x -=，10x =，24x =，故选：D ．【变式训练1】方程2(2)3(2)x x -=-的解是( )A ．5x =B ．15x =，22x =C ．11x =，22x =D ．2x =【解答】解：2(2)3(2)x x -=-，2(2)3(2)0x x ---=，(2)(23)0x x ---=，20x -=或230x --=，所以12x =，25x =．故选：B ．【变式训练2】方程(1)2x x x -=的解是( )A ．3x =B ．3x =-C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =【解答】解：(1)2x x x -=，(1)20x x x --=，(12)0x x --=，(3)0x x -=，10x =，23x =，故选：C ．【变式训练3】如果220a a +=，那么a 的值是( )A ．0B ．2C ．0，2D ．0，2-【解答】解：220a a +=Q ，(2)0a a \+=，0a \=或20a +=，10a \=，22a =-，故选：D ．十字相乘【例15】方程22240x x --=的根是( )A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【解答】解：22240x x --=，(6)(4)0x x -+=，60x -=或40x +=，解得16x =，24x =-，故选：B ．【变式训练1】方程2430x x ++=的两个根为( )A ．11x =，23x =B ．11x =-，23x =C ．11x =，23x =-D ．11x =-，23x =-【解答】解：2430x x ++=，(3)(1)0x x ++=，30x +=或10x +=，13x =-，21x =-，故选：D ．【变式训练2】方程220x x +-=的两个根为( )A ．12x =-，21x =B ．11x =-，22x =C ．12x =-，21x =-D ．11x =，22x=【解答】解：220x x +-=，(2)(1)0x x +-=，20x +=或10x -=，12x =-，21x =，故选：A ．【变式训练3】下列各数是方程23100x x +-=的根的是( )A ．2和5B ．5-和3C ．5和3D ．5-和2【解答】解：方程23100x x +-=，分解因式得：(2)(5)0x x -+=，所以20x -=或50x +=，解得：2x =或5x =-．故选：D ．根与系数的关系【例16】设方程2840x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．2【解答】解：由2840x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数8b =-，由根与系数的关系：12881b x x a -+=-=-=．故选：A ．【变式训练1】下列一元二次方程两实数根和等于4-的是( )A ．2340x x +-=B ．2440x x -+=C ．2450x x ++=D ．2440x x ++=【解答】解：A 、两实数根的和等于3-，所以A 选项不符合题意；B 、两实数根的和等于4，所以B 选项不符合题意；C 、△2441540=-´´=-<，方程没有实数根，所以C 选项符合题意；D 、两实数根的和等于4-，所以D 选项不符合题意．故选：D ．【变式训练2】设a ，b 是方程220210x x --=的两个实数根，则a b ab +-的值为( )A ．2022B ．2022-C ．2020D ．2020-【解答】解：根据题意，得1a b +=，2021ab =-，120212022a b ab \+-=+=，故选：A ．【变式训练3】若矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，则该矩形的周长和面积分别为( )A ．3和34B ．34和3C ．34和6D ．6和34【解答】解：Q 矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，设长为a ，宽为b ，3a b \+=，34ab =，则该矩形的周长为2()6a b +=，面积为34ab =．故选：D ．【例17】已知a 、b 分别是一元二次方程2450x x +-=的两个实数根，则11a b+的值为( )A ．25B ．45C ．1D ．65【解答】解：根据题意，可知4a b +=-，5ab =-，\1145b a a b ab ++==，故选：B ．【变式训练1】关于x 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，且22126x x +=，则k 的值是( )A ．3-B ．3±C ．2-D ．2±【解答】解：x Q 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，121x x k \+=+，122x x k ×=+，Q 22126x x +=，\221212()2(1)2(2)6x x x x k k +-=+-+=，解得3k =±，根据题意，得△2[(1)]4(2)0k k =-+-+…，当3k =时，△162040=-=-<，不符合题意，当3k =-时，△4480=+=>，符合题意，3k \=-，故选：A ．【变式训练2】已知1x 、2x 是一元二次方程270x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是( )A ．6-B ．2-C ．13-D ．30-【解答】解：根据根与系数的关系得121x x +=，127x x =-，所以2222112212124()212(7)13x x x x x x x x ++=++=+´-=-．故选：C ．【变式训练3】一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则21212x x x x ++的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，\2112x x =+，121x x +=，122x x =-，\21212x x x x ++12122x x x x =+++12122x x x x =+++122=-+1=．故选：D ．【例18】关于x 的一元二次方程2(4)20x m x m +++=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是方程的两个实根，且212124x x x x m m ++=-，求m 的值．【解答】（1）证明：Q △2(4)42m m=+-´28168m m m =++-2160m =+>，\方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得12(4)x x m +=-+，122x x m =，212124x x x x m m ++=-Q ，2(4)24m m m m \-++=-，解得1m =或4，即m 的值为1或4【变式训练1】已知关于x 的方程22290x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若221236x x +=求m 的值．【解答】（1）证明：Q △22(2)4(9)360m m =---=>，\方程有两个不相等的实数根；（2）解：122x x m +=Q ，2129x x m ×=-，\22222121212()2421836x x x x x x m m +=+-=-+=，化简，得2218m =，解得3m =或3m =-．【变式训练2】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2240kx x -+=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若113x =，求12(1)(1)x x ++的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程2240kx x -+=有两个实数根，0k \¹，且△2(2)440k =--´…，解得14k …且0k ¹；（2）由根与系数的关系可得122123x x x k +=+=，122143x x x k==，解得30k =-，225x =-．12115x x \+=-，12215x x =-，12(1)(1)x x \++1212()1x x x x =+++2111515=--+45=．【变式训练3】关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2212129x x x x +-=，求m 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根，\△2224[(21)]41(2)410b ac m m m m =-=---´´-=+…，解得：14m -…．（2）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=的两个根分别为1x ，2x ，1221x x m \+=-，2122x x m m ×=-，2212129x x x x +-=Q ，21212()39x x x x \+-=，即22(21)3(2)9m m m ---=，整理得：2219m m ++=，2(1)9m \+=，解得：14m =-，22m =，14m -Q …．m \的值为21．下列方程中，属于一元二次方程的是( )A ．2310x -=B ．213x x +=C ．2(2)(1)x x x =-+D ．(2)(2)40x x -++=【解答】解：A ．2310x -=，是一元一次方程，故A 不符合题意；B ．213x x +=是分式方程，故B 不符合题意；C ．方程整理可得20x +=，是一元一次方程，故C 不符合题意；D ．(2)(2)40x x -++=是一元二次方程，故D 符合题意；故选：D ．2．下列方程中，属于一元二次方程的是( )A ．23x y +=B ．230x x +=C ．210x x-=D ．210x +=【解答】解：A ．是二元一次方程，故本选项不合题意；B ．是一元二次方程，故本选项符合题意；C ．是分式方程，故本选项不合题意；D ．是一元一次方程，故本选项不合题意；故选：B ．3．方程2232x x -=的一次项系数和常数项分别是( )A ．2和2B ．3-和2C ．3和2-D ．3-和2-【解答】解：2232x x -=Q ，22320x x \--=，\方程2232x x -=的一次项系数和常数项分别是3-和2-，故选：D ．4．若1x =是关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根，则m 的值是( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：把1x =代入方程230x mx +-=得：130m +-=，解得：2m =．故选：D ．5．对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是( )A ．不论c 为何值，方程均有实数根B ．方程的根是c b x a-=C ．当0c …时，方程可化为：ax b +=ax b +=D ．当0c =时，b x a=【解答】解：当0c <，方程没有实数解；当0c …时，方程有实数根，则ax b +=，解得1x =，2x =0c =时，解得12bx x a==-．故选：C ．6．若1x =是方程230x mx ++=的一个根，则方程的另一个根是( )A ．3B ．4C ．3-D ．4-【解答】解：设另外一根为a ，由根与系数的关系可知：13a ´=，3a \=，故选：A ．7．已知4a b ++=，则a b +的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：已知等式移项得：(1)(14)0a b -+--=，即221)2)0+-=，21)0Q …，22)0-…，\1=2=，解得：1a =，5b =，则6a b +=．故选：C ．8．一元二次方程2250x -=的解为( )A ．125x x ==B ．15x =，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【解答】解：2250x -=，则225x =，解得：15x =，25x =-．故选：B ．9．如果关于x 的方程|1|(3)310m m x x ---+=是一元二次方程，则m =　1-　．【解答】解：由题意得：|1|2m -=，且30m -¹，解得：1m =-，故答案为：1-．10．若关于x 的方程||(2)230m m x x ---=是一元二次方程，则m =　2-　．【解答】解：由题意，得||2m =且20m -¹，解得2m =-，故答案是：2-．11．将方程(32)(1)83x x x -+=-化成一元二次方程的一般形式为 23710x x -+=　．【解答】解：(32)(1)83x x x -+=-，2332283x x x x +--=-，232830x x x +--+=，23710x x -+=，故答案为：23710x x -+=．12．关于x 的方程220x x c -+=有一个根是3，那么实数c 的值是 3-　．【解答】解：Q 关于x 的方程220x x c -+=有一个根是3，23230c \-´+=，即30c +=，解得3c =-．故答案是：3-．13．试说明关于x 的方程22(820)210a a x ax -+++=无论a 取何值，该方程都是一元二次方程．【解答】解：22820(4)4a a a -+=-+Q 又2(4)0a -Q …，28200a a \-+¹，\关于x 的方程22(820)210a a x ax -+++=无论a 取何值，该方程都是一元二次方程．14．已知方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．【解答】解：Q 方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，|3|42a \-=且20a +¹，解得：2a =．15．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）2(21)(32)2x x x -+=+；（2）2)(3)x x x -+=+．【解答】解：（1）化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4-；（2）化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．。

2021年九年级数学上册课时作业本一元二次方程定义及方程的解一、选择题1.已知关于的方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)x2-4x=8+x2；(3)1+(x-1)(x+1)=0；(4)(k2+1)x2+kx+1=0.一元二次方程的个数为()个A.1B.2C.3D.42.若方程(m-1)x m2+1-(m+1)x-2=0是一元二次方程,则m的值为()A.0B.±1C.1D.-13.下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）A.（x﹣1）2=16B.3（x﹣2）2=27C.5x2﹣3x=0D.x2+2x=84.已知关于x的方程x2＋m2x－2＝0的一个根是1，则m的值是（）A．1B．2C．±1D．±25.把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0B．x2﹣5=0C．5x2﹣2x+1=0D．5x2﹣4x+6=06.方程3x2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A．3B．﹣C．D．﹣97.若x=2是关于x的一元二次方程x2-ax+2=0的一个根，则a的值为（）A.3B.-3C.1D.-18.已知x=1是一元二次方程x2＋mx＋n=0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为()A.0B.1C.2D.49.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，则a－b的值为()A.1B.－1C.0D.－210.已知关于x的方程x2＋bx＋a=0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A.-1B.0C.1D.2二、填空题11.把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．12.把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是．13.已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为．14.已知关于x的方程ax2＋bx＋c=0有两个根1和－1，那么a＋b＋c=________，a－b＋c=________.15.若a+b+c=0且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______.16.若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为17.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=.18.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2=0的一个根是x=1，那么m2＋3m=______.参考答案1.B；2.D3.C4.C5.A6.D7.A；8.B9.A10.A；11.答案为x2+2x﹣1=0，1，2，﹣112.答案为：3x2﹣6x﹣4=0．13.答案为：30．14.答案为：0,0；15.答案为：1；16.答案为：﹣2.17.答案为：2016；18.答案为：－1；。

专题21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】【人教版】【题型1 一元二次方程的识别】 (1)【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 (3)【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】 (4)【题型4 一元二次方程的一般形式】 (5)【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】 (7)【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 (8)【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 (9)【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】 (10)【知识点1 一元二次方程的定义】【题型1 一元二次方程的识别】【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x−1x=0．A．①B．①②C．①②③D．①②③④【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；④3x−1x=0是分式方程．故选：A．【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2−1x=4；④x2＝1；⑤x2−x3+3=0A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选：B．【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③a2+a﹣x＝0；④（x+1）2＝2x2﹣9；⑤x2﹣y2＝3．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意；②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合题意；③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合题意；④（x+1）2＝2x2﹣9是一元二次方程，符合题意；⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合题意意．故选：A．【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦1x2+1x−2＝0；⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（ ）个．A．2B．3C．4D．6【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①y2+2x＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；②x2＝0是一元二次方程；③（x2﹣1）2＝1，未知数的最高次数是4次，不是一元二次方程；④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数），当a＝0时，不是一元二次方程；⑦1x2+1x−2＝0是分式方程；⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知数，不是一元二次方程．所以属于一元二次方程的有②④，共2个．故选：A．【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）A．a≠±1B．a≠0C．a为任何实数D．不存在【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，可得a2+1不可能为0，∴a为任何实数．故选：C．【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）x n﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）A．m≠0，n＝2B．m≠2，n＝2C．m≠0，n＝3D．m≠2，n≠0【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵（m﹣2）x n﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，n＝2，解得m≠2，n＝2．故选：B．【变式2-2】（2021秋•龙江县期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ．【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0，求出即可．【解答】解：ax2+2x﹣1＝2x2，（a﹣2）x2+2x﹣1＝0，∵关于x的方程ax2+2x﹣1＝2x2是一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2，故答案为：a≠2．【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的不等式，进而得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣1）x2x＝1是关于x的一元二次方程，∴m≥0且m﹣1≠0，∴m≥0且m≠1，故答案为：m≥0且m≠1．【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】【例3】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m 的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：|m|−1=2 m+3≠0，解得：m＝3，故选：A．【变式3-1】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)x m2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（ ）A．m≠2B．m＝±2C．m＝﹣2D．m＝2【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程(m−2)x m2−2+4x−7=0是一元二次方程，∴m−2≠0m2−2=2，解得：m＝﹣2．故选：C．【变式3-2】（2021秋•太平区期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．﹣1B．2C．﹣1或3D．3【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，解得：a＝﹣1，故选：A．【变式3-3】（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程(m+2)x m2−2−3x−2a=0的解，则m﹣1+a的值为 ．【分析】根据一元二次方程的定义可得m的值，再将x＝1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求式子计算即可．【解答】解：由题意得：m+2≠0m2−2=2，解得m＝2，故关于x的一元二次方程为4x2﹣3x﹣2a＝0，因为x＝1是关于x的一元二次方程(m+2)x m2−2−3x−2a=0的解，所以4﹣3﹣2a＝0，解得a=1 2，所以m﹣1+a=2−1+12=12+12=1．故答案为：1．【知识点2 一元二次方程的一般形式】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）．这项．【题型4 一元二次方程的一般形式】【例4】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）A．2x2，﹣3，1B．2x2，3，﹣1C．﹣2x2，﹣3，﹣1D．﹣2x2，3，1【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，故选：B．【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）若（1﹣m）x m2+1+3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）A．﹣1B．±1C．﹣3D．±3【分析】先根据一元二次方程的定义求m，再求系数．【解答】解：由题意得：1−m≠0 m2+1=2解得：m＝﹣1．∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．故选：C．【变式4-2】（2021春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（ ）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出a的值．【解答】解：方程整理得：x2﹣ax+1＝0，∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a＝﹣1，即a＝1．故选：B．【变式4-3】（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m ，n＝ ．【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．根据题意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，解得m≠±2，n＝7．故答案是：≠±2，7．【知识点3 一元二次方程的解】【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）A．9B．4.5C．3D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故选：B．【变式5-1】（2021秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（ ）A．7B．316C．4D．﹣7【分析】把x＝0代入方程中，就可以求出k的值．【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为0，∴把x＝0代入此方程，有：﹣k﹣7＝0，∴k＝﹣7．故选：D．【变式5-2】（2021秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k 为（ ）A．±1B．1C．﹣1D．0【分析】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解得k1＝1，k2＝﹣1，而k﹣1≠0，所以k＝﹣1．故选：C．【变式5-3】（2021秋•封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（ ）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，解得：k＝1或k＝﹣1，故选：C．【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（2021秋•开州区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个解，则6a2﹣3a的值为　9　．【分析】把x＝a代入方程求得a2﹣a的值，然后根据6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）即可求解．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣a﹣3＝0，则2a2﹣a＝3，则6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）＝9．故答案是：9．【变式6-1】（2021秋•莲池区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为 ．【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b＝1，再把2022﹣2a+2b变形为2022﹣2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2022﹣2a+2b＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×1＝2022﹣2＝2020．故答案为：2020．【变式6-2】（2021秋•盱眙县期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式a2−43a+6的值为 ．【分析】根据方程解的定义得到3a2﹣4a﹣3＝0，变形得到a2−43a＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得3a2﹣4a﹣6＝0，∴a2−43a＝1，∴a2−43a+6＝1+6＝7．故答案为：7．【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（ ）A．4B．6C．8D．10【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2﹣4m＝﹣2，再把8m﹣2m2+2变形为﹣2（m2﹣4m）+2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝6．故选：B．【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】【例7】（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）A．﹣2022B．0C．2022D．4044【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．【变式7-1】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（ ）A．2020B．﹣2020C．2021D．﹣2021【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝a+1，再用a表示a3得到a3＝2a+1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2＝a+1，∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，∴﹣a3+2a+2021＝﹣（2a+1）+2a+2021＝﹣2a﹣1+2a+2021＝2020．故选：A．【变式7-2】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（ ）A．62B．63C．64D．65【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的一个根，∴a2+a﹣8＝0∴a2+a＝8，∴a4+a3+8a﹣1＝a2（a2+a）+8a﹣1＝8a2+8a﹣1＝64﹣1＝63，故选：B．【变式7-3】（2021秋•石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 ．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把x＝a代入方程可得，a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2＝（a+1）2﹣3a﹣2＝a2﹣a﹣1＝0．【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．【分析】根据关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的两个根为±3，可得y2+1＝x2＝9，于是得到结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程12022x 2+3=2x 2+b 的两个根为±3，∴关于y 的一元二次方程12022（y 2+1）+3＝2（y 2+1）+b 可得y 2+1＝x 2＝9，解得y ＝﹣故答案为：﹣【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x 的一元二次方程ax 2+2bx ﹣2＝0的一个根是x ＝2022，则一元二次方程a 2（x +2）2+bx +2b ＝1必有一根为（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【分析】一元二次方程a 2（x +2）2+bx +2b ＝1变形为a （x +2）2+2b （x +2）﹣2＝0，由于关于x 的一元二次方程ax 2+2bx ﹣2＝0的一个根是x ＝2022，则关于（x +2）的一元二次方程a （x +2）2+2b （x +2）﹣2＝0的一个根是x ＝2022，于是可判断一元二次方程a 2（x +2）2+bx +2b ＝1必有一根为2020．【解答】解：一元二次方程a 2（x +2）2+bx +2b ＝1变形为a （x +2）2+2b （x +2）﹣2＝0，所以此方程可看作关于（x +2）的一元二次方程，因为关于x 的一元二次方程ax 2+2bx ﹣2＝0的一个根是x ＝2022，所以关于（x +2）的一元二次方程a （x +2）2+2b （x +2）﹣2＝0的一个根是x ＝2022，即x +2＝2022，解得x ＝2020，所以一元二次方程a 2（x +2）2+bx +2b ＝1必有一根为2020．故选：A ．【变式8-2】（2022春•淄川区期中）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5＝0（a ≠0）有一根为2022，则方程a （x +1）2+b （x +1）＝﹣5必有根为（ ）A ．2022B ．2020C ．2019D ．2021【分析】对于一元二次方程a （x +1）2+b （x +1）＝﹣5，设t ＝x +1得到at 2+bt +5＝0，利用at 2+bt +5＝0有一个根为t ＝2022得到x +1＝2022，从而可判断一元二次方程a （x +1）2+b （x +1）＝﹣5必有一根为x ＝2021．【解答】解：由a （x +1）2+b （x +1）＝﹣5得到a （x +1）2+b （x +1）+5＝0，对于一元二次方程a （x +1）2+b （x +1）＝﹣5，设t＝x+1，所以at2+bt+5＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，则x+1＝2022，解得x＝2021，所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．故选：D．【变式8-3】（2021秋•泉州期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（ ）A．2019B．2020C．2021D．2022【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt﹣3＝0，利用at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x ＝2022．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b即a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt﹣3＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2022．故选：D．。

【九年级】2021年九年级数学上一元二次方程解法专题练习(含答案)2021年九年级数学上册一元二次方程解法专题练习题一用适当的方法或按要求解下列一元二次方程：1、x（x+4）=5（x+4）2、(x-2)2=3(x-2)3、x（x?1）=2（x+1）（1?x）4、2（x?3）2=?x（3?x）5、(2x?1)2=(3?x)26、3（x?1）2=x（x?1）7、x2?6x?9=0（分体式方法）8、3x2=2?5x（公式法）9、x2+2x?1=010、x2-4x+1=011、（x?1）2?2（x?1）=15．12、?3x2+4x+1=0．13、2x2＋3＝7x;14、(1－2x)2＝x2－6x＋9.15、（x?1）（x?3）=8．16、3x2?6x+1=0（用配方法）17、x(x+4)=8x+1218、3y2＋4y－4=019、x2?2x=2x+1．20、x（x?3）=4x+6．21、2x2－4x－1＝0.22、2x2－5x－3＝0.23、x2－2x－24＝0.24、x2?4x+2=025、(x+3)(x－1)＝12二、答疑题26、已知一元二次方程x2－11x＋30=0的两个解恰好分别是等腰△abc的底边长和腰长，求△abc底边上的高.27、未知关于x的一元二次方程x2+x+m2?2m=0存有一个实数根为?1，谋m的值及方程的另一实根．28、已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值．29、未知关于x的一元二次方程(a-1)x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3.（1）求a的值及方程的另一个根;（2）如果一个等腰三角形（底和腰不成正比）的三边短都就是这个方程的木，谋这个三角形的周长.30、先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2?2x?2=0的正数根．31、先化简，再表达式：，其中a就是方程x2+4x-3=0的木．32、先化简，再求值：，其中m是方程2x2+4x-1=0的根．33、用分体式方法证明：(1)a2－a＋1的值为正；(2)－9x2＋8x－2的值小于0.34、(1)解方程：①x2-6x-4=0；②x2-12x+27=0．(2)轻易写下方程(x2-6x-4)(x2-12x+27)=0的求解：．35、现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）谋4※7的值；（2）求x※x+2※x?2※4=0中x的值；（3）不论x就是什么数，总存有a※x=x，谋a的值．36、阅读下面的例题，解方程（x?1）2?5|x?1|?6=0.解方程x2?|x|?2=0；解：原方程化为|x|2?|x|?2=0．令y=|x|，原方程化成y2?y?2=0解得：y1=2y2=?1当|x|=2，x=±2；当|x|=?1时（相左题意，舍弃）∴原方程的解法x1=2，x2=?2．37、基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．（1）先行利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．38、例如图，在△abc中，ab=10，点p从点a已经开始沿ac边向点c以2m/s的速度匀速移动，同时另一点q由c点已经开始以3m/s的速度沿着cb匀速移动，几秒时，△pcq的面积等同于450m2？参考答案1、x（x+4）?5（x+4）=0，（x+4）（x?5）=0，x+4=0或x?5=0，所以x1=?4，x2=5．2、略；3、x（x?1）=2（x+1）（1?x），移项得：x（x?1）+2（x+1）（x?1）=0，因式分解得：（x?1）（x+2x+2）=0，x?1=0，或x+2x+2=0，解得：x1=1，x2=?．4、2（x?3）2?x（x?3）=0，（x?3）（2x?6?x）=0，x?3=0或2x?6?x=0，所以x1=3，x2=6．5、可用直接开平方6、3（x?1）2=x（x?1），3（x?1）2?x（x?1）=0，（x?1）[3（x?1）?x]=0，x?1=0，3（x?1）?x=0，x1=1，x2=．7、x2?6x+9?9=18，x2?6x+9=18，（x?3）2=18，x?3=±3，x1=3+3，x2=3?3；8、∵a=3，b=5，c=?2，∵b2?4ac=52?4×3×（?2）=49＞0，∴x==，∴x1=?2，x2=．9、x2+2x+1=2，（x+1）2=2，x+1=±，所以x1=?1+，x2=?1?；10、略；11、解：（x?1）2?2（x?1）?15=0，[（x?1）?5][（x?1）+3]=0，（x?1）?5=0或（x?1）+3=0，所以x1=?6，x2=?2．12、?3x2+4x+1=0，3x2?4x?1=0，b2?4ac=（?4）2?4×3×（?1）=28，x=，x1=，x2=．13、x1＝，x2＝3.14、因式分解，得(1-2x)2=(x-3)2.开平方，得1-2x=x-3或1－2x=-(x-3)．Champsaurx1=，x2＝-2.15、x2?4x?5=0，（x?5）（x+1）=0，x?5=0或x+1=0，所以x1=5，x2=?1．16、3x2?6x+1=0，3x2?6x=?1，x2?2x=?，x2?2x+1=?+1，（x?1）2=，x?1=，x1=1+，x2=1?；17、x1=-2,x2=6;18、19、原方程化成：x2?4x=1配方，得x2?4x+4=1+4整理，得（x?2）2=5∴x?2=，即x1=2，x2=2．20、【答疑】求解：x2?7x?6=0，△=（?7）2?4×1×（?6）=73，x=，所以x1=，x2=．21、∵a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝16＋8＝24，∴x＝＝.∴x1＝，x2＝.22、x2－x＝，x2－x＋＝.(x－)2＝.x－＝±.∴x1＝3，x2＝－.23、.移项，得x2－2x＝24.配方，得x2－2x＋1＝24＋1，即(x－1)2＝25.开方，得x －1＝±5.∴x1＝6，x2＝－4.24、方程整理得：x2?4x=?2，配方得：x2?4x+4=2，即（x?2）2=2，开方得：x?2=±，Champsaur：x1=2+，x2=2?；25、26、4或。

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（）A.方程两根之和等于0B.方程有一根等于0C.方程有两个相等的实数根D.方程两根之积等于02、直线与双曲线交于A,B两点,若A,B两点的坐标分别为, ,则的值为( ).A.-4B.0C.4D.83、已知关于的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（）A. B. C. D.任意实数4、若关于x的一元二次方程 x2-2x+m-3=0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＜﹣2B.m＞4C.m≤4D.m＜45、方程的解是A. B. C. 或 D.6、若反比例函数的图象分布在二、四象限，则关于x的方程的根的情况是 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.只有一个实数根7、下列是一元二次方程的是A. B. C. D.8、下列方程是一元二次方程的是（）A.3x+1=5x+7B. +x﹣1=0C.ax 2﹣bx=5（a和b为常数） D.m 2﹣2m=39、关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（）A.a≠1B.a≠﹣1C.a≠±1D.为任意实数10、已知a是方程的其中一个解，则的值为（）A.4040B.2020C.1010D.50511、关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ）A.m＜3B.m≤3C.m＞3D.m≥312、一元二次方程x2﹣4x+2=0根的情况是（）A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根13、若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣1，则另一个根是（）A.1B.0C.2D.﹣214、二次三项式配方后变为（）A. B. C. D.15、在实数范围内定义运算“※”，其规则是a※b=a+b2，根据这个规则，方程x※（x+1）=5的解是（）A. B. C. ， D.二、填空题(共10题，共计30分)16、方程（x+2）（x﹣1）=0的解为________．17、若a2-2a-5=0,b2-2b-5=0（a b),则ab+a+b=________18、若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为________19、“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，由题意可得方程：________20、若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，则m的取值范围是________．21、关于x的一元二次方程x2+（m2+4m）x+m2﹣m﹣1=0的两根互为相反数，则m=________ ．22、已知一元二次方程有两个相等的实数根，且当与时，，则m的值是________23、已知关于x的方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________。

一元二次方程练习一：（定义、配方法）1. 一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例：；；。

2. 一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数，叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。

举例：。

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。

例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有。

（填序号）①；②；③；④；⑤；⑥。

（2）若关于的方程(a－5)+2x－1=0是一元二次方程，则a的值是_______。

思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判断：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④经过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得，所以；但是当时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故应舍去；当时，原方程为，因此。

答案：（1）①③⑥；（2）点评：做概念辨析题要紧扣定义，对于一元二次方程要把握这样几个关键点：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x－1)=5(x+3)化成一般形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。

思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由得，移项得，合并同类项得。

答案：；；；点评：任何一个一元二次方程通过化简都可以得到的形式，方程左边是含有未知数的二次式，项数有可能为三项、两项或一项，方程的右边一定为0。

例题3 一元二次方程有一个解为x=0，试求的值。

思路分析：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程，解此方程可得m的值。

答案：解：把x=0代入得；即∴当时，原方程的二次项系数为0，与题意不符，故舍去；当时，原方程为，符合题意；故，此时。