可化为一元一次方程的分式-课件

会产生增根.
可化为一元一次方程的分式方程 第2课时
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多 做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的 时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题分 析题意设元
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x－6）个零件，
依题意得：
90 60 , x x6
这个方程有何特点？ 特点：方程两边的代数式是分式. 或者说未知数在分母上的方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特点： （1）含有分式 ； （2）分母中含有未知数； （3）是等式.
判断下列说法是否正确：
(1) 2x 3 5是分式方程 2
(2)
3 4 是分式方程
44x x 3
(3) x2 1是分式方程 x
(4) 1 1 是分式方程 x1 y1
（× ） （√ ） （× ） （√ ）
分式方程的解法
80 60 x3 x3
分式方程
两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得方程
两边乘以 最简公分
母
80(x 3) 60(x 3).
解这个整式方程得 x 21.
验x=5是所列分式方程的根，故x=5.
答案：5
2.（江西·中考）解方程：
x x
2 2
4 x2
4
1
【解析】方程两边同乘以 x2 4 ，得 (x 2)2 4 x2 4
解得x=3
检验：x=3时，x2 4 ≠0 所以，x=3是原分式方程的解.
3.当m为何值时，去分母解方程
x
2
2
mx x2 4
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系.

(1).
90
x = x-6
60
(2).
x = x-2 (3). x-3 = x (4). x-1 = x2-1
x=-5 x=9 无解
5
7
2
3
1
2
x=18
7 +3= x . 例1 解方程 ： x -1 x -1
解 方程两边同乘最简公分母x-1， 得 7+3(x-1)=x. 解这个一元一次方程，得x=2. x=-2时，最简公分母x-1的值为:-2-1=-3≠0 检验：把 因此x=-2是原方程的一个根. 注意：分式方程化 x+1 4 整式方程时，不含分 例2 解方程： - 2 =1 x-1 x -1 母的项也要乘以最 解 方程两边同乘最简公分母x2-1， 简公分母。 得：(x+1)2-4=x2-1 解得：x=1
数 x 2 4x a 1 有增根，求a的值。 6、若关于x的方程， x3 a=3
7、解分式方程
5 1 2 0 (4). 2 x x x x 3 2 6 x 3 5 2 2 2 (6). 2 x x x x x 1 x 1 2x 2
2x 2 1 1 1 8 (7). 2x 1 x2 ( x 2)( x 3) ( x 4)( x 5)
1 = 2 . 中考 1、分式方程 x +1 x -1 的解为 x = -3 试题 5 3 = 2、分式方程 的解是 （ A ） x -2 x
1- x +2= 1 3、解分式方程 ，可知方程（ D x -2 2- x
A. 解为x=2 B. 解为x=4 C. 解为x=3
互为相反数.
x x 1 2与 4.当x=( B )时, x5 x
湘教版SHUXUE八年级上

能装配机器多少台？
想一想，该怎么计算？
导入新课
设原来每天能装配机器x台，可列出方程：
6 30 6

3
x
2x
观察这个方程与我们学过的
一元一次方程有什么不同？
讲授新课
知识点一 分式方程的概念
问题1 一艘轮船在顺水时航行80千米和在逆水时航行60千米用的时
间相同，已知水流的速度是3千米/时，问轮船在静水中的速度x千米/
解：方程两边同时乘(30+x)(30-x)，得
90(30-x) =60(30-x)
解这个方程,得 x=6
经检验，x=6是原方程的解
当堂检测
6. 解方程：
x
x 1

2.
x 1
x
2
x
( x 1)( x 1) 2 x( x 1).
解：去分母，得
解得
1
x
2.
1
1
x x 1) 0.
1
3
=
x-2 x
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式
子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
“去分母”
讲授新课
归纳总结
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法
是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般
方法.
讲授新课
2x
x x
; (4) 1
2 3
（是）
（否）
讲授新课
2．下面说法中，正确的是( C )
A.分母中含有未知数的式子就是分式方程
B.含有字母的方程叫做分式方程

2021/12/13
第三页，共五页。
2021/12/13
第四页，共五页。
内容 总结 (nèiróng)
可化为一元一次方程的。分式方程。甲、乙两地相距 360 km，张老师、王老师分别从甲地乘早 7 时出发的 普通客车(kèchē)和 8 时 15 分出发的豪华客车(kèchē)去乙地，两车恰好同时到达.已知豪华客车(页，共五页。
阳光小区有 A 型和 B 型两种户型的住宅出售，A 型与 B 型 住宅每平方米的价格(jiàgé)分别是全楼每平方米平均价格(jiàgé)的 1.1 倍与 0.9 倍，而且一套 A 型比一套 B 型的面积少 40 平方米. 如果 A型 与 B 型两种住宅的售价分别为 66 万元与 81 万元，求全楼每平方 米的平均价格.
可化为一元(yī yuán)一次方程的 分式方程
2021/12/13
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甲、乙两地相距 360 km，张老师、王老师分别从甲 地乘早 7 时出发的普通(pǔtōng)客车和 8 时 15 分出发的豪
华客车去乙地，两车恰好同时到达.已知豪华客车与普
通客车的平均速度的比是 4∶3，两车的平均速度分别
No 车(kèchē)的平均速度的比是 4∶3，两车的平均速度分别是多少
Image
12/13/2021
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解 : 设乙操作员每小时能录入x名 , 甲就是2x名
则列式为 2640- 2640=2
x 2x
解得 x =660 2x =1320 答 : 甲操作员每小时能录入1320名 ,
乙操作员每小时能录入660名.
4.某商场新进一种商品 , 第一个月将此商品的进价提高20% 作为销售价 , 总获利600元.第二个月商场搞促销活动 , 将商品 的进价提高15%作为销售价 , 第二个月销量比第一个月增加 40件 , 并且多获利150 元.问此商品的进价是多少元 ？商场第 二个月销售该商品多少件 ？
销售问题：利润=售价-进价，利润=进价×利润率， 销售额=销售量×单价.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固练习
1.某单位盖一座楼房 , 如果由建筑一队施工 , 那么180天就可
盖成 ; 如果由建筑一队、二队同时施工 , 那么30天能完成工
程总量的 3
10
.现假设由二队单独施工
,
那么需要多少天才能盖
成
？解
:
设二队单独施工需要x天
（1 1 ）30= 3
x 180
10
解得 x =225
检验 : 把x=225代入分式方程中 , 左边=右边 , 因此x=225是原方程 的根 , 且符合题意.
答 : 二队单独施工需要225天.
2.一艘轮船在两个码头之间航行 , 顺水航行60km所需时间与 逆水航行48 km所需时间相同. 已知水流的速度是2km/h , 求 轮船在静水中航行的速度.
补贴前11万元购买的台数×〔1+10%〕=补贴后11万元购买的台数
解 : 设该款空调补贴前的售价为每台x元
110000×（ 110%） =110000
x

们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车
的速度.
解：设自行车的速度为 x 千米/时，那么汽车的速度是
3x 千米/时，依题意得：
15 15 2 . 3x x 3
解得 x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根. 由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
因此 x = 2200 是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台 2200 元.
2. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到
达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，
求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h.
做一做 1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车 行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提 速，他们约定好在 300 公里的地方碰头，他们正好同 时到达，请问小轿车提速多少 km/h？
0
180 200
甲的工1作效(1率 1是) 13
，根据题意得 1 1 1， 即
3
2 x2
1 1 2 2x
1.
方程两边同乘 2x，得 x 1 2x.
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部
任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务， 所以乙队的施工速度快.
车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若 面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车、 小轿车的速度分别为多少？

次方程.
80
60

x 3 x 3
同
解
两边同乘以
(x+3)(x-3) ≠0
80(x-3)=60(x+3)(解为x=21)
1
2
2
x 1 x 1
不
同
解
两边同乘以
(x+1)(x-1) =0
x+1=2 (解为x=1)
由此可知，解分式方程可能产生增根.因此，解分式方程必须检验.
思考
如何对分式方程进行检验呢？
∴x=-5是原方程的解.
1
2
2
2.解分式方程：
x 1 x 1
解:方程两边同乘以(x+1)(x-1)，约去分母，得
x+1=2.
解得x=1.
检验:把x=1代入(x+1)(x－1)，得
(1+1)(1-1)=0，
∴ x=1是原方程的增根，
∴ 原方程无解.
3
做一做 当a为何值时，方程 x +
6
x-1
个含有未知数的整式（最简公分母），并约去分母，这个整式方程
有时与原分式方程同解，有时可能产生不合适原分式方程的解（或
根），这个根叫增根，增根不是原分式方程的根.
思考
为什么会产生增根呢?
我们知道在将分式方程变形为整式方程时，根据的是方程的基本性质2，即
在方程两边同时乘以或除以同一个不等于零的数，方程的解不变.如一元一
解:方程两边同乘以
(x+3)(x－3)，约去分母，得
x+3=6.
解得x=3.
检验:把x=3代入(x+3)(x－3)，
得(x+3)(x－3)=0，

如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x个工件，那么加工
100310100 100 8 100个工件需要＿＿x 天；采用新工艺后每天加工 1.5x 个
x 1.5x 210
工件，加工剩余的工件用了＿1 .＿5 x 天。
问题中的等量关系是：
采用新工艺前工作天数+采用新工艺后工作天数=8
对比下面两组方程（组）， 分析第二组方程特征：
擦亮慧眼
5(12y)4y31 3
5x4y31
1003101008 x 1.5x
x 2 x2
3x 1 2y 5x 4y 31
x11x41x221
讨论： 它们有什么共同的特点？
方程的分母中都含有未知数
1003101008 x 1.5x
x11x41x221
x 2 x2
9000 15000
x
x3000
1、在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？
2、如果选取某一个未知量用x表示，那么其他未知量怎样用
关于x的代数式表示？
3、这个问题中的等量关系是什么？
4、选择哪个等量关系，可以得到关于未知数x的方程？
境问题
1. 王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了 100个工件后开始采用焊接新工艺，工效提高到 原来的1.5倍,共用8天完成了任务。请问采用新工 艺前，王师傅每天焊接多少个工件?
例１ 解方程：x231x2111x
解： 原方程可化为
3 21
(x1)(x1) x1 1x
方程两边都乘 最简公分母 (x1)(x1)，得
32(x1)(x1)
解这个方程，得 x 6
检验: 把x = 6代入原方程，左边=右边
∴ x = 6 是原方程的根.
注意：解分式方程一定要检验.

匀速行驶需要4 h． 某天，他们以平常的速度行驶了2 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20 km/h，到 达奶奶家时共用了5 h，求小强家到他奶奶家的距离是 多少千米.
感悟新知
知3－练
解：设平常的速度是 x km/h，易知行驶12的路程用时 2 h. 根据题意，得1x－－122·04x＋2＝5，解得 x＝60， 经检验，x＝60 是原分式方程的解，且符合题意． 4×60＝240(km)． 答：小强家到他奶奶家的距离是 240 km.
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90 m．
感悟新知
知3－练
4-1. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件 投入市场， 服装厂有A，B 两个制衣车间，A 车间每 天加工的数量是B 车间的1.2倍，A，B 两车间共同完 成一半后，A 车间出现故障停产，剩下的全部由B 车 间单独完成，结果前后共用20 天完成， 求A，B 两车 间每天分别加工多少件.
感悟新知
知3－练
解：设妈妈开车的平均速度为x km/h，则小明骑自
x
行车的平均速度为 4 km/h，
根据题意得
16 x
－1
16 x
，解得x=48，
经检验，x=448 是原分式方程的解，且符合题意.
答：妈妈开车的平均速度是48 km/h．
感悟新知
知3－练
3-1.[中考·常德] 小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 1
(1)
x x－4
x＋2 x－6
;(2)
2－x x－3
1 3－x
－2;
(3)
4 3
x＋6 x－3
－
5 x－4 x－1
1;(4)
4 ＋7 x2＋2x x2－4