2022届高考数学复习题：古典概型

11。

2古典概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为。

2.基本事件的特点（1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件）都可以表示成的和.3。

古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件.(2）等可能性:每个基本事件出现的可能性。

4。

古典概型的概率公式.P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数1。

任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和。

2。

求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1）在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(）（2）基本事件的概率都是1n。

若某个事件A包含的结果有m个,则P(A)=mn.(）（3）掷一枚质地均匀的硬币两次，出现“两个正面”“一正一反"“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(4）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为card(A)card(I)。

()(5)从1,2，3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。

2.()2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是（)A.14B.13C。

12D.343.(2019全国3,3）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(）A。

16B。

14C。

13D.124.从集合A={1，3，5,7,9｝和集合B=｛2,4，6,8｝中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是()A。

2022届高考数学一轮复习课后限时集训古典概型与几何概型北师大版年级：姓名：课后限时集训(六十六)古典概型与几何概型建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·全国卷Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.45A [根据题意作出图形，如图所示，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB )，(OAC )，(OAD )，(OBC )，(OBD )，(OCD )，(ABC )，(ABD )，(ACD )，(BCD )，其中取到的3点共线有(OAC )和(OBD )2种可能情况，所以在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，取到的3点共线的概率为210＝15，故选A.] 2．“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是( )A.13B.16C.14D.112A [幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n ＝3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率P ＝13.故选A.]3．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为( )A.18B.14C.38D.12C [抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38.故选C.]4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34B [如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.]5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.316 B.38C.516D.716D [设图中最小正方形的边长为a ，则此点取自阴影部分的概率P ＝S 阴影S 大正方形＝12a 2＋a 2＋12×2a222a2＝716.故选D.]二、填空题6．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．710 [从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n ＝10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m ＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p ＝1－m n ＝1－310＝710.] 7．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．23[由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12 × 43π×13＝23π， 所以所求概率P ＝V －V 1V ＝23.] 8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．0.3 [依题意，记题中被污损的数字为x ，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，解得x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P ＝310＝0.3.]三、解答题9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． [解] (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝521.10．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．[解] (1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50×(m＋0.004 0＋0.005 0＋0.006 6＋0.001 6＋0.000 8)＝1，解得m＝0.002 0.(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.因为前2组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0)×50＝0.3<0.5，前3组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0＋0.005 0)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390.所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．(3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×0.001 60.001 6＋0.000 8＝4人，分别记为a ，b ，c ，d ，在[500,550]内抽取2人，记为e ，f ，则6人中抽取2人的取法有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{a ，f }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{b ，f }，{c ，d }，{c ，e }，{c ，f }，{d ，e }，{d ，f }，{e ，f }，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{e ，f }，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P ＝715.1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为( )A.34B.23C.12D.13D [在[0，π]上，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，故概率为π3π＝13.] 2．如图，B 是AC 上一点，分别以AB ，BC ，AC 为直径作半圆，从B 作BD ⊥AC ，与半圆相交于D ，AC ＝6，BD ＝22，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是( )A.29 B.13 C.49D.23C [连接AD ，CD ，可知△ACD 是直角三角形，又BD ⊥AC ，所以BD 2＝AB ·BC ，设AB ＝x (0＜x ＜3)，则有8＝x (6－x )，得x ＝2，所以AB ＝2，BC ＝4，由此可得图中阴影部分的面积等于π×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫π×122＋π×222＝2π，故概率P ＝2π12×9π＝49.故选C. ]3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是________．13[因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是13.]4．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．[解] (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足a·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b <0的概率为2125.1．某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则下列说法错误的是( )A ．P 1·P 2＝16B ．P 1＝P 2＝12C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＞P 2B [三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132,213,231，共3种，所以P 1＝36＝12；方案二坐到“3号”车可能为312,321，共2种，所以P 2＝26＝13.所以P 1＞P 2，P 1·P 2＝16，P 1＋P 2＝56，故选B.]2．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．13 14 [第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为2×24×3＝13； 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为2×24×4＝14.]。

其次节古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机大事所含的基本大事及大事发生的概率．学问点一古典概型1．基本大事的特点(1)任何两个基本大事是______的；(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中全部可能消灭的基本大事__________；(2)等可能性：每个基本大事消灭的可能性________．答案1．(1)互斥(2)基本大事2．(1)只有有限个(2)相等1．推断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观看它是否发芽”属于古典概型，其基本大事是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，消灭“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能大事．( )(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( )答案：(1)×(2)×(3)×2．一个家庭有两个小孩，则全部可能的基本大事有( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)解析：由于两个孩子诞生有先后之分，所以基本大事有四种状况．答案：C学问点二古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本大事的个数基本大事的总数3．(2022·北京卷)从甲、乙等5名同学中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.925解析：设5名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种状况，其中甲被选中的状况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，所以甲被选中的概率为410＝25.答案：B4．(必修③P113练习第2题改编)将一枚骰子先后抛掷3次，则向上的点数之和是5的概率为( ) A.19B.736C.136D.112解析：向上的点数之和是5的基本大事有(1,1,3)、(1,3,1)、(3,1,1)、(1,2,2)、(2,1,2)、(2,2,1)，共计6个．而全部的基本大事个数为6×6×6＝216，故向上的点数之和是5的概率为6216＝136.故选C.答案：C热点一较简洁的古典概型问题【例1】(1)(2022·新课标全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.56(2)(2022·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 【解析】 (1)从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，依据古典概型的概率计算公式，所求的概率为46＝23.故选C.(2)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，(a ，b )的全部可能结果有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12种，其中log 28＝3，log 39＝2为整数，所以log a b 为整数的概率为16.【答案】 (1)C (2)16【总结反思】计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本大事的总个数n ；(2)求出大事A 所包含的基本大事个数m ；(3)代入公式求出概率P .解题时可依据需要机敏选择列举法、列表法或树形图法.某中学调查了某班全部45名同学参与书法社团和演讲社团的状况，数据如表(单位：人)参与书法社团未参与书法社团参与演讲社团 8 5 未参与演讲社团230(1)(2)在既参与书法社团又参与演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)记“该同学至少参与上述一个社团为大事A ”，则P (A )＝8＋2＋545＝13.所以该同学至少参与上述一个社团的概率为13.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的全部基本大事有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 5，B 3)共15种，其中A 1被选中且B 1未被选中的有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)共2个，所以A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.热点二 较简单的古典概型问题 考向1 古典概型与平面对量的结合【例2】 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，平面对量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得大事“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得大事“|a |≤|b |”发生的概率．【分析】 (1)先依据a ⊥b 得出m －3n ＝0，然后再列举出符合条件的(m ，n )的全部可能的结果；(2)依据|a |≤|b |可得m 2＋n 2≤10，再列举出全部符合题意的(m ，n )，即可求解．【解】 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )全部可能的取法共有36种．(1)若a ⊥b ，则有m －3n ＝0，即m ＝3n ，符合条件的(m ，n )有(3,1)，(6,2)，共2种，所以大事“a ⊥b ”发生的概率为236＝118.(2)若|a |≤|b |，则有m 2＋n 2≤10，符合条件的(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为636＝16.【总结反思】古典概型与平面对量交汇问题的处理方法(1)依据平面对量的学问进行坐标运算，得出大事满足的约束条件； (2)依据约束条件(等式或不等式)列举全部符合的结果；(3)利用古典概型概率计算公式求解概率. 【例3】 将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2无公共点的概率为( )A.16B.512C.712D.23【分析】 由题意知本题是一个古典概型，求出试验发生包含的大事的个数及满足条件的基本大事的个数，代入古典概型概率公式即可得到结果．【解析】 直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2无公共点，则有|2a |a 2＋b 2>2，即a >b ，满足该条件的基本大事有15个，基本大事总数是36个，故所求概率为512.【答案】 B【总结反思】古典概型与直线、圆相结合的处理方法(1)依据平面几何中直线与圆的学问，构建大事满足的约束条件； (2)依据约束条件(等式或不等式)列举全部符合的结果； (3)利用古典概型概率计算公式求解概率.【例4】从某工厂抽取50名工人进行调查，发觉他们一天加工零件的个数在50至350之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50,100)，其次组[100,150)，第三组[150,200)，第四组[200,250)，第五组[250,300)，第六组[300,350]，相应的样本频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中的x的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为娴熟工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有1名拔尖工的概率．【分析】(1)由图表所给的信息利用6个小矩形的面积和为1确定x的值；(2)依据抽样比例确定两层分别抽取的人数，再对基本大事进行列举，最终利用古典概型概率计算公式计算出概率．【解】(1)依据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.006 0.(2)由题知50名工人中拔尖工有3人，娴熟工有6人，从中抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，娴熟工有4人．可设拔尖工分别为A1，A2，娴熟工分别为B1，B2，B3，B4，则从样本中任取2个的状况有：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共15种．其中，至少有1名是拔尖工的状况有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，共9种，故至少有1名拔尖工的概率是915＝35.【总结反思】古典概型与统计图表交汇问题的处理方法(1)依据统计的相关学问，确定相关大事应满足的条件；(2)列举全部符合条件的基本大事结果；(3)利用古典概型概率计算公式求解概率.(1)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数，记为a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，记为b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与曲线y＝x2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18(3)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/平方米)如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9②从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解析：(1)由题意可知(a，b)可能的状况有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种．由于m⊥n，即m·n＝0，所以有a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，所以满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为16.(2)易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.(3)解：①从身凹凸于1.80的同学中任取2人，其一切可能的结果组成的基本大事有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的大事有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝36＝12.②从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的大事有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310.答案：(1)A (2)C (3)12 3101．古典概型的重要思想是大事发生的等可能性，肯定要留意在计算基本大事总数和大事包含的基本大事个数时，它们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要留意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握大事A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．3．较简单大事的概率可机敏运用互斥大事、对立大事、相互独立大事的概率公式简化运算．。

高考数学一轮复习：12.2古典概型与几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中所有可能出现的基本事件.②等可能性:每个基本事件出现的可能性..(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A 包括的结果有m 个,则P (A )=mn.( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( ) 2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( )A.23 B.12C.13D.143.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 的概率为( )A.19B.29C.49D.594.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .5.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于16 cm 2的概率为 .关键能力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是 ( )A.23B.35C.59D.34(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.110B.15C.25D.310解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.(3)基本事件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求对点训练1(1)(2020云南大理高三模拟)掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验,许多著名的科学家都做过这个实验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验,可以让人们感受到随机事件的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1,反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为()A.1564B.516C.916D.58(2)(2020河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37B.47C.314D.1114考古典概型与统计点的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);;第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=mn 第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12B.13C.√24D.√23(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=√3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE⏜,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )A.14B.17C.18D.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为( )A.0.004B.0.012C.0.024D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 对应的区域,在图形中画出事件A 对应的区域,然后用公式P (A )=构成事件A 的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练4(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )A.14B.12C.58D.34(2)已知在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O ,则四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为 .考向3 与线性规划有关的几何概型【例5】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域为Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为( )A.π4B.π8C.π5D.π10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()A.1136B.14C.12D.34考点随机模拟方法【例6】从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.对点训练6(2020湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:√30.8269≈2.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 312.2古典概型与几何概型必备知识·预案自诊知识梳理1.基本事件2.(1)互斥(2)基本事件3.(1)①只有有限个②相等4.(1)长度 (3)构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2.B 4本名著选两本共有C 42=6种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有C 31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为36=12.故选B .3.C 由图形得,△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x ,由DE ∥BC 则有ADAC =DECB ,即4-x 4=x 2,解得x=43,设在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 为事件A ,由几何概型中的面积比得P (A )=S 正方形DEFC S △ABC=(43)212×4×2=49.故选C .4.19 本题考查古典概型.第1,2次向上的点数分别记为a ,b ,每个样本点记为(a ,b ),则所有的样本点为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436=19. 5.25 设线段AC 的长为x cm,则线段CB 长为(10-x )cm,那么矩形面积为x (10-x )<16,解得x<2或x>8,又0<x<10, 所以该矩形面积小于16cm 2的概率为P=410=25.关键能力·学案突破例1(1)A (2)B (1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23,故选A .(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,基本事件总数n=A 55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m=A 22A 33+A 22A 32=24,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率p=mn =24120=15.故选B .对点训练1(1)A (2)A (1)抛掷一枚硬币6次的基本事件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为m=C 62=15,所以概率是P=mn =1564.(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C 82=28(种),其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4C 32=12,根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228=37.例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30, 女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30×115=2,女生人数为45×115=3.则从5人中任意选取2人共有C 52=10种,抽取的2人中没有男生有C 32=3(种),则至少有一名男生有C 52−C 32=7(种).故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.对点训练2解(1)由题意知,样本数据的平均数x =4+6+12+12+18+206=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13=30(个).(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a 1,a 2,非优秀服务网点有4个,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ,则事件M 包含的可能情况有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),共8种,故所求概率P (M )=815.例3(1)C (2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k (x+3)的距离d=|3k |√1+k2≤1,解得-√24≤k ≤√24,所以所求的概率为√222=√24,故选C.(2)连接AC ,如图所示,tan ∠CAB=CB AB =1√3=√33,所以∠CAB=π6,直线AP 在∠CAB 内时,直线AP 与线段BC 有公共点,所以所求事件的概率为π6π2=13.对点训练3(1)B (2)16 (1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟. 所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选B .(2)因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16.例4(1)C (2)A (1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18.(2)设该灯笼的半径为R ,则4πR 2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V 1=13×π×22×4=16π3(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为V 1V=16π34000π3=0.004.对点训练4(1)D (2)2764 (1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R ,小扇形的半径长为r ,则S 大扇形=α2R 2,S 小扇形=α2r 2,R=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为α2R 2-α2r 2α2R 2=R 2-r 2R 2=3r 24r 2=34.(2)当四棱锥O-ABCD 的体积为23时,设点O 到平面ABCD 的距离为h ,则13×22×h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ,且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ,且PA=2,所以PH PA=34,所以四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD=PH PA 3=343=2764. 例5D 作出不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0化为(x-1)2+(y-1)2≤1,它表示的区域为T ,如图所示:则区域Ω表示△ABC ,由{2x -y +4=0,x +2y -3=0,解得点B (-1,2).又A (-2,0),C (3,0), ∴S △ABC =12×(3+2)×2=5,又区域T 表示圆面,且圆心M (1,1)在直线x+2y-3=0上,在△ABC 内的面积为12π×12=π2,∴所求的概率为π25=π10.对点训练5D 因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω={(x ,y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30},画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|≤15,即事件A 可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=302-152302=34,故选D .例6C如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n 个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14S 圆S 正方形=14π×1212≈m n,所以π≈4m n.故选C .对点训练6A 设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r×√32r=3√32r 2,因而所求该实验的频率为3√32r 2πr 2=3√32π=0.8269,则π=3√32×0.8269≈3.1419.。

高考数学《随机事件的概率与古典概型》真题含答案一、选择题1．[2022·全国甲卷(文)，6]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15B ．13C ．25D ．23答案：C解析：从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p ＝615 ＝25.故选C .2．一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率依次为12 ，13 ，14 .若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( )A ．124B ．1124C ．1724 D ．1答案：B解析：记A ，B ，C 三人分别解出题为事件A ，B ，C ，则仅有1人解出题的概率P ＝P(A B －C － )＋P(A － B C － )＋P(A － B －C)＝12 ×23 ×34 ＋12 ×13 ×34 ＋12 ×23 ×14 ＝1124 .故选B .3．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同．如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( )A ．25B ．35C ．715D ．815答案：B解析：方法一 从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n ＝C 26 ＝15，其中至少有1个红球包含的基本事件个数m ＝C 14 C 12 ＋C 22 ＝9，因此至少有1个红球的概率P ＝m n ＝915 ＝35.故选B .方法二 从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n ＝C 26 ＝15，其中全部是黄球包含的基本事件个数是C 24 ＝6，因此至少有1个红球包含的基本事件个数是15－6＝9，因此至少有1个红球的概率P ＝915 ＝35.故选B .方法三 设“一次随机取出2个球，至少有1个红球”为事件A ，则P(A)＝1－P(A －)＝1－C 24C 26＝1－615 ＝35 ，故选B .4．(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12 ，乙获胜的概率为13 ，则下列说法正确的是( )A ．甲获胜的概率为16B ．甲不输的概率为12C ．乙输的概率为23D ．乙不输的概率为56答案： 答案：AD解析：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为12 ，乙获胜的概率为13 ，∴甲获胜的概率为1－12 －13 ＝16 ，故A 正确；甲不输的概率为1－13 ＝23 ，故B 不正确；乙输的概率为1－13 －12 ＝16 ，故C 不正确；乙不输的概率为12 ＋13 ＝56，故D 正确．故选AD . 5．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A ．15B ．25C ．12D ．45答案：A解析：从O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的情况有(O ，A ，B)，(O ，A ，C)，(O ，A ，D)，(O ，B ，C)，(O ，B ，D)，(O ，C ，D)，(A ，B ，C)，(A ，B ，D)，(B ，C ，D)，(A ，C ，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O ，A ，C)和(O ，B ，D)两种情况，所以所求概率为210 ＝15.故选A .6．某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，招聘临时工参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.临时工每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要临时工( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名 答案：B解析：由题意得第二天订单不超过1 600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1 600＋500＝2 100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1 200份订单配货，所以需要临时工完成的订单不超过2 100－1 200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少需要18名临时工，故选B .7．从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( )A ．29B ．14C ．718D ．112答案：C解析：依题意，基本事件的总数为6×6＝36，第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，6)，(5，1)，(5，5)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(3，1)，(3，3)，(2，1)，(2，2)，(1，1)，共14种情况，所以所求的概率P ＝1436＝718，故选C . 8．[2022·新高考Ⅰ卷，5]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23答案：D解析：方法一 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C 27 ＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为1421 ＝23 .故选D .方法二 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C 27 ＝21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为21－721 ＝23.故选D .9．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学必选物理，则下列说法正确的是( )A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B ．甲同学不同的选法共有15种C ．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949答案：BD解析：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲同学必选物理，故只需从剩下的6门学科中任选2门即可，则甲同学不同的选法共有C 26 ＝15种，故B 正确；由于乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是C 15C 26 ＝13 ，故C 错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为C 26C 37 ＝37 ，故乙、丙两名同学都选物理的概率是37 ×37＝949，故D 正确．故选BD . 二、填空题10．[2022·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．答案：635解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C 48 ＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为1270 ＝635.11．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类．某同学从中任选2门课程学习，则该同学选到文科类选修课程的概率是________．答案：710解析：从5门不同的选修课程中任选2门课程学习所包含的基本事件总数n ＝C 25 ＝10，该同学选到文科类选修课程包含的基本事件个数m ＝C 22 ＋C 13 C 12 ＝7，因此该同学选到文科类选修课程的概率P ＝m n ＝710.12．[2024·全国甲卷(理)]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．设m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为________．答案：715解析：记取出的三个球上的数字按先后顺序分别为a ，b ，c ，则共有A 36 ＝120(种)可能．由题知，|m －n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 2－a ＋b ＋c 3 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b －2c 6 ≤0.5，即|a ＋b －2c|≤3.根据对称性知c ＝1或6时，均有2种可能；c ＝2或5时，均有10种可能；c ＝3或4时，均有16种可能，故满足条件的共有2×2＋2×10＋2×16＝56(种)可能，故所求概率P ＝56120 ＝715.[能力提升]13．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( )A ．332B ．1564C ．532D ．516答案：D解析：若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则P左＝P 右＝12，小球最终落入③号球槽经过5次选择，其中向左3次、向右2次，则所求概率P ＝C 35 ×(12 )3×(12 )2＝516 ，故选D .14．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．25答案：A解析：“仁义礼智信”排成一排，任意排有A 55 种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有A 22 A 33种，故所求概率P ＝A 22 A 33A 55＝110 .故选A .15．[2024·福建漳州质检]厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于邮轮码头，终于观音山梦幻沙滩，沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等岛内的“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个浏览，则选取的景点中有“水”的概率为( )A ．13B ．49C ．59D ．109165答案：C解析：从这11个景点中随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取的景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的景点，共有4种情况，故从这11个景点中随机选取相邻的3个游览，选取的景点中有“水”的概率P ＝1－49 ＝59.故选C .16．某机构有项业务是测试手机电池的续航时间，现有美国产的iPhone 和中国产的小米、华为、OPPO 四种品牌的手机需要测试，其中华为有Mate 60和P 60两种型号，其他品牌的手机都只有一种型号．已知每款手机的测试时间都为1个月，测试顺序随机，每款手机测试后不再测试，同一品牌的两个型号不会连续测试．在未来4个月内，测试的手机都是国产手机的概率为________．答案：17解析：在未来4个月内，测试的手机有如下两种情况：①当华为手机出现两次时，有C 22 C 23 A 22 A 23 ＝36种情况；②当华为手机出现一次时，有C 12 A 44 ＝48种情况．故共有36＋48＝84种情况．而其中未来这4个月中测试的手机都是国产手机的情况有A 22 A 23 ＝12(种)，故所求概率P ＝1284 ＝17 .。

第5讲 古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会用列举法计算一些随机大事所含的基本大事数及大事发生的概率．知 识 梳 理 1．基本大事的特点(1)任何两个基本大事是互斥的．(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和． 2．古典概型 (1)定义具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型． ①试验的全部可能结果只有有限个，每次试验只消灭其中的一个结果． ②每一个试验结果消灭的可能性相同． (2)概率公式：P (A )＝大事A 包含的可能结果数试验的全部可能结果数.诊 断 自 测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 呈现(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观看它是否发芽”属于古典概型，其基本大事是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，消灭“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个大事是等可能大事．( )(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( )(4)“从长为1的线段AB 上任取一点C ，求满足AC ≤13的概率是多少”是古典概型．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观看正面对上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取一值x ，求cos x ＜12的概率． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型． 答案 B3．(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )A.25B.415C.35 D ．非以上答案解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 答案 A4．(2022·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，遗忘了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，其次位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析 ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴大事总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115. 答案 C5．(2022·全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析 甲、乙两名运动员选择运动服颜色的状况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种． 而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13. 答案 13考点一 简洁古典概型的概率【例1】(1)(2021·全国Ⅰ卷)假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310 B.15 C.110 D.120(2)(2022·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13 B.12 C.23 D.56解析(1)从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所求概率为110.所以3个数构成一组勾股数的概率P＝1 10.(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种．故所求概率为P＝46＝23.答案(1)C(2)C规律方法(1)计算古典概型大事的概率可分三步：①计算基本大事总个数n；②计算大事A所包含的基本大事的个数m；③代入公式求出概率P.(2)用列举法写出全部基本大事时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．【训练1】(1)(2021·上饶质检)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1(2)(2022·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则消灭向上的点数之和小于10的概率是________．解析(1)记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本大事空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为大事A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．故其概率为P(A)＝610＝0.6.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有36种不同结果．设大事A＝“消灭向上的点数之和小于10”，其对立大事A＝“消灭向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种状况．由于P(A)＝636＝16，因此P(A)＝1－P(A)＝56.答案(1)B(2)56考点二应用古典概型计算较简单大事的概率【例2】(2022·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规章如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮预备参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解(1)用数对(x，y)表示儿童参与活动先后记录的数，则基本大事空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．由于S中元素的个数是4×4＝16.所以基本大事总数n＝16.(1)记“xy≤3”为大事A，则大事A包含的基本大事数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为大事B，“3＜xy＜8”为大事C. 则大事B包含的基本大事数共6个．即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝616＝38.大事C包含的基本大事数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.由于38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．规律方法(1)求较简单大事的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求大事转化成彼此互斥大事的和，或者先求其对立大事的概率，进而再用互斥大事的概率加法公式或对立大事的概率公式求解．(2)本题常见的错误：①理解不清题意，不能把基本大事列举出来；②不能恰当分类，列举基本大事有遗漏，再者本题中基本大事(x，y)看成有序的，(1,2)与(2,1)等表示不同的基本大事．【训练2】(2021·西安检测)某商场进行有奖促销活动，顾客购买肯定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出全部可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．解(1)依题意，全部可能的摸出的结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，全部可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为P1＝412＝13，不中奖的概率为P2＝1－P1＝23.由于P1＝13＜P2＝23.故这种说法不正确．考点三古典概型与统计的综合应用【例3】(2021·郑州模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量依据AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严峻污染．一环保人士记录了某地2022年某月10天的AQI的茎叶图如图所示．(1)利用该样本估量该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI＞100)的这些天中，随机地抽取两天深化分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．解(1)从茎叶图中发觉该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估量该月空气质量优良的频率为25，从而估量该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中轻度污染共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；中度污染1天，记为b；重度污染1天，记为c.从中随机抽取两天的全部可能结果表示为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个．其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个．所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为915＝35.规律方法有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，精确从题中提炼信息是解题的关键.【训练3】(2021·天津南开中学检测)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现接受分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参与竞赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛．①用所给编号列出全部可能的结果；②设A为大事“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求大事A发生的概率．解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的全部可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，大事A发生的概率P(A)＝915＝35.[思想方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；其次，本试验的基本大事有多少个；第三，大事A是什么，它包含的基本大事有多少个．2．确定基本大事的方法(1)当基本大事总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较简单大事的概率可机敏运用互斥大事、对立大事的概率公式简化运算．[易错防范]1．在计算古典概型中试验的全部结果数和大事发生结果时，易忽视他们是不是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B 互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B )，此时P(A∩B)＝0.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2022·全国Ⅰ卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()A.12 B.13 C.23 D.56解析设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P＝46＝23.答案 C2．(2022·北京卷)从甲、乙等5名同学中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A.15 B.25 C.825 D.925解析设另外三名同学分别为丙、丁、戊．从5名同学中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形．故甲被选中的概率P＝410＝25.答案 B3．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15 B.25 C.35 D.45解析设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的大事分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．故所求大事的概率P＝1－410＝35.答案 C4．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为()A.12B.13C.34D.25解析 点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种状况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13. 答案 B5．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次消灭的点数中有5的条件下，方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的概率为( ) A.1136 B.736 C.711 D.710解析 先后两次消灭的点数中有5的状况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的状况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求大事的概率P ＝711. 答案 C 二、填空题6．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．解析 基本大事总数为10，满足方程cos x ＝12的基本大事数为3，故所求概率为P ＝310. 答案 3107．(2022·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8), 共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16. 答案 168．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种， 所以P (A )＝26＝13. 答案 13 三、解答题9．(2021·山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参与书法社团和演讲社团的状况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1(2)在既参与书法社团又参与演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解 (1)由调查数据可知，既未参与书法社团又未参与演讲社团的有30人， 故至少参与上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参与上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本大事有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}， 共15个．依据题意，这些基本大事的消灭是等可能的，大事“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本大事有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个． 因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.10．在一个不透亮 的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，登记球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公正吗？解用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本大事，则基本大事有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的大事为A，则大事A中包含的基本大事有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个，则P(A)＝1025＝25.(2)设甲获胜的大事为B，乙获胜的大事为C.大事B所包含的基本大事有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共有10个；则P(B)＝1025＝25.∴P(C)＝1－P(B)＝35.∵P(B)≠P(C)，∴这样规定不公正．力量提升题组(建议用时：20分钟)11．(2021·衡水中学质检)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为()A.16 B.13C.14 D.12解析由题意知，向量m共有4×3＝12个，由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求概率P＝2 12＝16.答案 A12．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，其次次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为() A.112 B.19C.536 D.16解析先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.答案 A13．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从今口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的大事发生的概率为________．解析由题意知(a，b)的全部可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0 有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求大事的概率P＝416＝14.答案1414．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品来自A，B，C(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)由于样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本大事为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．记大事D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则大事D包含的基本大事有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝4 15.。

专题05古典概型与几何概型考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】6 35.【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C70n==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m=+=个，故所求概率1267035mPn===．故答案为：635．【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A ．14B ．56C ．13D ．5122．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A ．16B ．12C ．910D ．19204．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．13165．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A ．25B ．13C ．16D ．146．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为（）A ．152B ．827C ．413D ．17527．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z =++++∈，当a b c d e ><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．1128．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A ．14B ．12C ．18D ．3410．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.A ．13B ．16C ．59D ．38二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．13．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A．14B．56C．13D．512【答案】B【解析】【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算.【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有212312C C A6=种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有1232C A6=种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有22A2=种，则乙与甲分配到不同社区的方法有66210+-=种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是105 666= +故选：B2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10， (29)乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10， (30)丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率为122305P ==．故选：B ．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A ．16B ．12C ．910D ．1920【答案】D 【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算．【详解】没有买到中国疫苗的概率为13611C 20P ==，所以买到中国疫苗的概率为119120P P =-=．故选：D ．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．1316【答案】D 【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有2333314C C +=+=种选择，所以甲、乙两所高校共有4416⨯=种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有233C =种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为31311616P=-=，故选：D5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A．25B．13C．16D．14【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有66A种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有2525A A种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为252566A A1A3=，故选：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．1752【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为1645213=，故选：C.7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z =++++∈，当a b c d e ><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．112【答案】B 【解析】【分析】先判断出由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有个，即可求出波动数的概率.【详解】由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有55A 120=种.而构成波动数，需满足a b c d e ><><，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.所以波动数的概率为16212015=.故选：B.8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.【详解】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y->，或12x y-<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P==；故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t，则直线y tx=与双曲线2214x y-=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A．14B．12C．18D．34【答案】B【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t<，即1122t-<<，故所求概率为12P=，故选：B.10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.A．13B．16C．59D．38【答案】B【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x十分钟到达，乙经过y十分钟到达，可得x、y满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD，而甲乙能够见面，x、y满足的平面区域是图中的四边形EFGH．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤，该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯= ，114422622EFGH BEH BFG S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGHABCDSP S===故选：B ．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）【答案】49【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共333381N =⨯⨯⨯=种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有24C 6=种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共33A 6=种，所以6636n =⨯=，所以364819n P N ===.故答案为：49.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），因此所求概率为113642142120P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126=故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________．【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤，则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==.故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比13。

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备古典概型（含解析）【考点导读】1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳固性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.2.正确明白得古典概型的两大特点：1）试验中所有可能显现的差不多事件只有有限个；2）每个差不多事件显现的可能性相等.【基础练习】1. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：（1）填写表中击中靶心的频率；（2）那个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？分析：事件A显现的频数n A与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率f n（A）稳固在某个常数上时，那个常数即为事件A的概率.解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.（2）由于频率稳固在常数0.89，因此那个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.点评概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率能够通过求该事件的频率而得之2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件（必定、随机、不可能）3．下列说法正确的是③ .①任一事件的概率总在（0.1）内②不可能事件的概率不一定为0③必定事件的概率一定为1 ④以上均不对34.一枚硬币连掷3次，只有一次显现正面的概率是85. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺2序相邻的概率为5【范例解析】例1. 连续掷3枚硬币，观看落地后这3枚硬币显现正面依旧反面.（1）写出那个试验的差不多事件；（2）求那个试验的差不多事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个差不多事件?解：（1）那个试验的差不多事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）差不多事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个差不多事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.点评 一次试验中所有可能的结果差不多上随机事件，这类随机事件称为差不多事件. 例2. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和显现7点的概率；（2）显现两个4点的概率.解：作图，从下图中容易看出差不多事件空间与点集S={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤6，1≤y ≤6}6×6=36（个），因此差不多事件总数n=36.（1）记A 包含的差不多事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），因此P （A ）=61366=. （2）记“显现两个4点”的事件为B ，则从图中可看到事件B 包含的差不多事件数只有1个：（4，4）.因此P （B ）=361. 点评 在古典概型下求P （A ），关键要找出A 所包含的差不多事件个数然后套用公式()A m P A n=事件包含基本事件的个数基本事件的总数 变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出差不多事件数.解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个差不多事件．（1）记“获得优秀”为事件A ，则随机事件A 中包含的差不多事件个数为3，故3()10P A =． （2）记“获得及格及及格以上”为事件B ，则随机事件B 中包含的差不多事件个数为9，故9()10P B =． 点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.例3. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的差不多事件有6个，即（a 1，a 2），（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）]事件A 由4个差不多事件组成，因而，P （A ）=64=32 【反馈演练】 1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试运算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 .分析：中靶的频数为9，试验次数为10，因此中靶的频率为109=0.9，因此中靶的概率约为0.9． 解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 .3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定那个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车.假定当时各路汽车第一到站的可能性相等，则第一到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于52 4.把三枚硬币一起抛出，显现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是 83 5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是 1036. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，（1）2个数字差不多上奇数的概率为185 （2）2个数字之和为偶数的概率为 94 7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为158 8. A 、B 、C 、D 、E 排成一排，A 在B 的右边（A 、B 能够不相邻）的概率是 21 9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 107 10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率.（11×3=3个，故P（A ）=91273=. （2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图可知，事件B 的差不多事件有2×3=6个，故P （B ）=92276=. 11. 甲、乙两个平均的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问能够组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情形?数字之和为6的共有多少种情形?分别运算这两种情形的概率.解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故差不多事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366=. （2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中能够看出，显现12的只有一种情形，概率为361.显现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情形，因此其概率为365. 12.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）假如从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的差不多上正品的概率；（2）假如从中一次取3件，求3件差不多上正品的概率．解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可能，因此试验结果有10×10×10=103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的差不多事件共有8×8×8=83种， 因此，P(A)= 33108=0.512． （2）能够看作不放回抽样3次，顺序不同，差不多事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，因此试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件差不多上正品”，则事件B包含的差不多事件总数为8×7×6=336, 因此P(B)= 3367．72015。

其次节 古典概型【最新考纲】 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机大事所包含的基本大事数及大事发生的概率．1．基本大事的特点(1)任何两个基本大事是互斥的．(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中全部可能消灭的基本大事只有有限个． (2)等可能性：每个基本大事消灭的可能性相等．3．假如一次试验中可能消灭的结果有n 个，而且全部结果消灭的可能性都相等，那么每一个基本大事的概率都是1n ；假如某个大事A 包括的结果有m 个，那么大事A 的概率P(A)＝mn．4．古典概型的概率公式P(A)＝A 包含的基本大事的个数基本大事的总数．1．(质疑夯基)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一次试验中，每个基本大事发生的可能性肯定相等．( )(2)掷一枚硬币两次，消灭“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能大事．( )(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同. ( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A .118 B .19 C .16 D .112解析：掷两颗骰子，点数有以下状况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为436＝19.答案：B3．(2021·豫东名校联考)在集合A ＝{2，3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1，2，3}中随机取一个元素n ，得到点P(m ，n)，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )A .12B .13C .34D .25解析：点P(m ，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种状况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13，故填13. 答案：B4．(2021·课标全国Ⅰ卷)假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A .310B .15C .110D .120解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，其中勾股数只有{3，4，5}．所以这3个数构成一组勾股数的概率P ＝110.答案：C5．(2022·广东卷)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．解析：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中含有a 的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种，故所求概率为410＝25.答案：25一点提示在计算古典概型中基本大事与要发生大事的大事数时，切莫忽视它们是否是等可能的．两种方法基本大事个数的确定方法1．列举法：适用于较简洁的试验．2．树状图法：适用于较为简单的问题中的基本大事的探求．另外在确定基本大事时，(x ，y)若看成是有序的，则(1，2)与(2，1)不同；{x ，y}若看成无序的，则{1，2}与{2，1}相同．两个技能处理较为简单的概率问题的两种技能一是转化为几个互斥大事的和，利用互斥大事的加法公式进行求解； 二是接受间接法，先求大事A 的对立大事A 的概率，再由P(A)＝1－P(A)求大事A 的概率．一、选择题1．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A .23B .12C .13D .16解析：从A ，B 中任意取一个数，共有{2，1}，{2，2}，{2，3}，{3，1}，{3，2}，{3，3}6种情形．其中两数和等于4的情形只有{2，2}，{3，1}两种，∴P ＝26＝13. 答案：C2．(2021·石家庄一模)某单位方案在3月1日至7日举办人才沟通会，某人随机选择其中的连续两天参与沟通会，那么他在1日至3日期间连续两天参与沟通会的概率为( )A .12B .13C .14D .16解析：在1日至7日选连续两天，有基本大事(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)共6个．其中满足条件的基本大事为(1，2)，(2，3)共2个． 因此所求大事的概率P ＝26＝13.答案：B3．(2021·广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：记3件合格品分别为A 1，A 2，A 3；2件次品为B 1，B 2.从中取2件，有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}共10种可能结果．其中恰有一件次品的大事有6种可能． 故所求大事的概率P ＝610＝0.6. 答案：B4．(2022·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A .15B .25C .35D .45解析：设正方形的四个顶点分别为A ，B ，C ，D ，中心为点O.任取两点的线段分别为AB 、AC 、AD 、AO 、BC 、BD 、BO 、CD 、CO 、DO 共10条，其中线段长度(2个点的距离)小于正方形边长的分别是AO 、BO 、CO 、DO 共4种．故所求大事的概率P ＝1－410＝35.答案：C5．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A .35B .25C .13D .23解析：记“取出的两个数不是连续自然数”为大事A ，则A 表示“取出的两个数是连续自然数”．∵大事A 有5种状况，且从6个数中任取2个有15种状况． ∴P(A)＝515＝13，因此P(A)＝1－P(A)＝23.答案：D 二、填空题6．(2022·课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13.答案：137．在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．解析：基本大事总数为10，满足方程cos x ＝12的基本大事数为2，故所求概率为P ＝210＝15.答案：158．(2022·浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖. 甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．解析：记“两人都中奖”为大事A ，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P(A)＝26＝13.答案：139．(2022·青岛调研)将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从今口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的大事发生的概率为________．解析：由题意知(a ，b)的全部可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4<0的有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4种结果．故所求大事的概率P ＝416＝14.答案：14三、解答题10．(2021·天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现接受分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参与竞赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛．①用所给编号列出全部可能的结果；②设A 为大事“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求大事A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛的全部可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的全部可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，大事A 发生的概率P(A)＝915＝35.11．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b.大事A ：点(a ，b)落在圆x 2＋y 2＝12内；大事B ：f(a)<0，其中函数f(x)＝x 2－2x ＋34.(1)求大事A 发生的概率； (2)求大事A 、B 同时发生的概率．解：(1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果． 满足落在圆x 2＋y 2＝12内的点(a ，b)有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6个．∴大事A 发生的概率P(A)＝636＝16.(2)由f(a)＝a 2－2a ＋34<0，得12<a<32.又a ∈{1，2，3，4，5，6}，知a ＝1.所以大事A 、B 同时发生时，有(1，1)，(1，2)，(1，3)共3种情形．故大事A 、B 同时发生的概率为P(AB)＝336＝112.。