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Lectures当异步电动机用于轧钢机、数控机床、机器人、载客电梯等高性能调速系统和伺服系统时，系统需要较高甚至很高的动态性能，仅用基于稳态模型的各种系统就不能解决问题了。
要实现高动态性能，必须首先研究异步电动机的动态数学模型。
由于此模型的结构比较复杂，本讲主要阐明其基本概念，介绍常用的表达形式，而略去繁琐的数学推导。
如果需要查阅更详细的数学分析，请参阅参考文献［１、２］。
６．１ 三相异步电动机的多变量非线性数学模型在研究异步电动机的多变量非线性数学模型时，常作如下的假设：（１）忽略空间谐波和齿槽效应，三相绕组对称，在空间上互差１２０°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；（２）忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是恒定的；（３）忽略铁心损耗；（４）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。
无论电动机转子是绕线型的还是笼型的，都将它等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。
这样，电动机绕组就等效成图６－１所示的三相异步电动机的物理模型。
图中，定子三相绕组轴线Ａ、Ｂ、Ｃ在空间是固定的，转子绕组轴线 上海大学 陈伯时ａ、ｂ、ｃ则随转子旋转，以Ａ轴为参考坐标轴，转子ａ轴和定子Ａ轴间的电角度 为空间角位移变量。
规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。
这时，异步电动机的数学模型由下述电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。
６．１．１． 电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为dt d R i u A s A A ψ+=dt d R i u B s B B ψ+=dtd R i u C s C C ψ+=交流电机变频调速讲座Lectures on Variable Frequency Speed Control of AC Machines第六讲 异步电动机的动态数学模型和坐标变换Dynamic Mathematical Model of Induction Motors and Coordinate Transformation图６－１ 三相异步电动机的物理模型60 | Power Electronics与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为dt d R i u a r a a ψ+=dtd R i u b r b b ψ+=dtd R i u cr c c ψ+=式中：c b a C B A u u u u u u ,,,,,——定子和转子相电压的瞬时值；c b a C B A i i i i i i ,,,,,——定子和转子相电流的瞬时值；c b a C B A ψψψψψψ,,,,,——各相绕组的全磁链；r s R R ,——定子和转子绕组电阻。
第一节 综合相量和坐标变换3-1-1三相电磁量的综合相量对于三相系统，一般多用单参考轴三相量法表示三相电磁量。
这里，介绍表示三相电磁量的三参考轴单相量法。
图3-1中的a 、b 、c 三相坐标是固定在发电机定子(电枢)空间的坐标系统，这是三参考轴。
排列顺序为，逆时针方向b 相超前a 相2/3π，c 相有超前b 相2/3π。
需要说明，与其对应，逆时针方向也作为发电子转子旋转的正方向。
图3-1 三相电磁量的综合相量如某瞬间，三相绕组的电流瞬时值为a i 、b i 、c i ，而其代数和为零(无零序电流)，即a b c i i i ++=0如在三相轴线上用有向线段表示这三个电流(参阅图3-1)，则在这一坐标平面上存在一电流相量j iie β=它的端点在三相绕组轴线上的投影为a i 、b i 、c i 。
相量i与三相电流a i 、b i 、c i 间的关系为：cos cos(2/3)cos(2/3)a b ci i i i i i ββπβπ=⎧⎪=-⎨⎪=+⎩)(32222c b a i i i i ++=众所周知，如三相电流是一组随时间正弦变化的正序电流，则其电流综合相量i的端点在上述空间随时间移动的轨迹为一个圆，其旋转方向为逆时针方向；如三相电流是一组负序电流，则其电流综合相量i的端点随时间移动的轨迹也是一个圆，但其旋转方向为顺时针方向。
一般讲，有一组随时间连续变化的三相电流，它满足a b c i i i ++=0，即无零序电流，其综合相量端点在图3-1所示a 、b 、c 三相坐标平面上移动的轨迹也是连续的。
这说明三相电流可以用一个相量表示。
零序量不能用综合相量表示，这是综合相量不足之处，零序量的存在只能在数学模型中反应。
综合相量与三相电流的关系，还可以用下式表示2a b c ii ai a i =++式中，算子2/3j a eπ=。
3-1-2三相电磁量综合相量的分解和合成总所周知，相量可以分解和合成，它反映了三相电磁量瞬时值的分解和合成。
第三章坐标变换3.1 时空矢量图根据电路原理，凡随时间作正弦变化的物理量〔如电动势、电压、电流、磁通等〕均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴〔简称时轴t 〕逆时针旋转的时间矢量〔即相量〕来代替。
该相量在时轴上的投影即为该物理量的瞬时值。
我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间向量来代表。
如图3-1所示，只用一根统一的电流相量1I 〔定子电流〕即可代表定子的对称三相电流。
不难证明，1I 在A 上的投影即为该时刻A i 瞬时值；在B 上的投影即为该时刻B i 瞬时值；在C 上的投影即为该时刻C i 瞬时值。
有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。
在图3-2所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。
假设某时刻mAI i +=达到正最大，则此时刻统一相量AI 应与A 重合。
据旋转磁场理论，这时由定子对称三相电流所生成的三相合成基波磁动势幅值应与A 重合，即1F 应与A 重合，亦即与1I 重合。
由于时间相量1I 的角频率ω跟空间矢量1F 的电角速度1ω相等，所以在任何其他时刻，1F 与1I 都始终重合。
为此，我们称1I 与由它所生成的三相合成基波磁动势1F 在时空图上同相。
在考虑铁耗的情况下，1B 应滞后于1F 一个铁耗角Fe α，磁通相量m Φ 与1B 重合。
定子对称三相电动势的统一电动势相量1E 应落后于m Φ 为90度。
由电机学我们知道，当三相对称的静止绕组A 、B 、C 通过三相平衡的正弦电流A i 、B i 、c i 时产生的合成磁势F ，它在空间呈正弦分布，并以同步速度ω〔电角速度〕顺着A 、B 、C 的相序旋转。
如图3-3-a 所示，然而产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。
