数学物理方法-13.1 三类数理方程推导

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数学物理方法-13.1 三类数理方程推导

x2 u u 2u 经化简： T2 sin 2 T1 sin 1 T [ | x x2 | x x1 ] T 2 dx x1 x x x
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
2u Fu T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )ds 2 ds A1 A2 A1 A2 t
•
自由振动
强迫振动
三类典型的数理方程
u 热传导方程： a 2 2u f ( x, y, z, t ) t
2u 波动方程： 2 a 2 2u t
2u 2u 2u 位势方程： 2 2 2 0 x y z
三种典型方程简析
物理量关于时间的变化率 1、波动方程含有关于时间t的二阶偏导数，物理现象随时间剧烈改变。 2、热传导方程含有关于时间t的一阶偏导数，物理现象随时间缓慢改变。 3、位势方程不含关于时间t的任何偏导数，物理现象不随时间而发生改变。
弦的振动方程
• 受力分析 • 水平方向（x轴T2 cos 2 0
• 竖直方向（u轴，牛顿第二定律）
Fu T2 sin 2 T1 sin 1
u 2 ds A1 A2 t
2
A1 A2
F ( x, t )ds
Q1 dt ku dS
t2
dQ1 ku n dSdt

dS dS [cos , cos , cos ] n dS,
t1
S
两处dS的区别，前者是微元面积，后者向量
, , 是微元面积外法向向量与x, y, z轴的夹角
热传导方程：自身产生热量Q3
数学物理方程
• • • • • • 1、基本方程的推导及基本概念(1周) 2、分离变量法(2周) 3、线性偏微分方程的分类与化简(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函数法(1周) 6、积分变换法(1周)

三类典型的数学物理方程

1.2 初始条件与边界条件
u n
u
S
f
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边条件，否则称为非齐次边界条件。
1.3 定解问题的提法
第一章一些典型方程和定解问题的推导
二阶线性偏微分方程
方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。
线性方程示例：一维波动方程：二维热传导方程：
1.3 定解问题的提法
解（古典解）定解条件：边界条件与初始条件的总称定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解
条件合在一起，就构成了一个定解问题。
始值问题（Cauchy问题）边值问题混合问题解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合
实际）
1.3 定解问题的提法
微分方程的适定性
F(x x,t)
x x 密度ρ
以杆上一小段（x，x＋Δx）为研究对象
应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变
成正比，比值为杨氏模量E
u
小段的相对伸长为x ，在x点处为在（x＋ Δx）处为 u(x x,t)
u ( x, t ) x
x
小段所受的力为：F F(x x,t) F(x,t)
T1
c h
T2
l
c
h
T1 T2 T0
sin1 tan1 c h sin2 tan2 c (l h) cos1 cos2 1
C
c F0h(l h)
T0l
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，

数理方程知识点总结

数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。

数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。

一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。

求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。

具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。

（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。

算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。

数理方程

的通解为两个独立解的线性叠加
（13.1.17））但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，的形式容易看出，它在端点故必须取常数处是无界的，处是无界的，
．从而勒让德方程的解就只有
第一类勒让德函数即勒让德多项式：第一类勒让德函数即勒让德多项式：
代入方程以逐个确定系数．代入方程以逐个确定系数．
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论．进行讨论．求得的解既然是级数，的问题．求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题．
尽管幂级数解法较为繁琐，尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中．求解问题中．
有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一有界解的情况下求解，则勒让德方程的解只有第一求解类勒让德函数即勒让德多项式．因为第二类
勒让德函数
在闭区间
上是无界的．上是无界的．
13.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解奇点邻域的级数解法：
前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以表示自变量，表示自变量，以表示未知函数，表示未知函数，则阶贝塞尔方程为
与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关
运用下列恒等式
使分母简化，从而，使（13.1.19）中一般项的系数变成分母简化，从而，）中一般项的系数变成
（13.1.24））以（13.1.24）代入（13.1.19）得到贝塞尔方）代入（）程（13.1.18）的一个特解）的一个特解

第一大节：课程介绍与三类典型方程的导出

2u 2 a 3 u f (t , X ) 2 t
声波在三维弹性介质中传播，介质的运动类似：
弹性介质受到微小扰动后的运动方程（波动方程）一般可表述为：
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
提问一：如果弦在粘稠的液体中运动，受到一与速度成正比的阻尼，其运动方程会有什么变化？
u b t
其中拉格朗日余项
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 (n 1)!
(在x0 与x之间)
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
2 2u u 2 a f (t , x) 2 2 t x
令a
T

f (t , x)
g (t , x)
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
（3）讨论任意一段 x 在
t
时刻的受力情况
外力
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
（4）根据牛顿第二定律写出在
t 时刻运动方程
（5）消掉未知量并化简，考虑利用胡克定律
x x
M 1M 2

x
1 (u x ) 2
由于位移很小，相对位移（相邻两点Hale Waihona Puke 移之差与两点距离的比）也很小，所以：
长江大学地物学院教学课件
《数学物理方程》
《Mathematical Equations for Physics》
课程介绍
主讲教师：王婧慈电子邮箱：851211wjc@
课程介绍
本课程的研究对象物理问题中提出的数学方程，本课程中讨论的主要是偏微分方程(Partial Differential Equation)：含有多元未知函数的偏导数的方程。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和物理过程的基本规律。数学物理方程的概念数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。

数理方程总结完整版

此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1

则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1

a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件

P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ，将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点而异，它在整根弦中取同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以 R，L，C，G。于是

数理方程

两个自变量的方程的分类
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
2 a12 − a11a22 > 0 2 a12 − a11a22 = 0 2 a12 − a11a22 < 0
双曲型抛物型椭圆型
线性、非线性？线性、非线性？阶数？阶数？齐次、非齐次？齐次、非齐次？
utt − a u xx = 0
2
utt − a2uxx = f (x,t)
输运方程：一维扩散问题；输运方程：一维扩散问题；热传导问题
ut − a u xx = f ( x, t )
2
ut − a 2u xx = 0
恒定场方程：二维温度分布问题、恒定场方程：二维温度分布问题、静电场问题
∇ 2u = ∂u ∂u + 2 =0 2 ∂x ∂y
定解问题＝泛定方程定解条件定解问题＝泛定方程+定解条件
数学物理方法
定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
数学物理方程的分类
数学物理方法
分离变量(傅立叶级数) 分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。一、三类典型线性偏微分方程波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；电波传播

数理方程课件

详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。

山大数学物理方法总结

utt a u f
2
2.以扩散问题为代表的抛物型偏微分方程：
ut Du f
2
3. 以描绘稳定过程的泊松方程为代表的椭圆型偏微分方程：
u f
三、数理方程导出的一般步骤: 1. 从研究系统中划出一小部分，分析邻近部分与这一小部分作用 2. 根据物理学规律，以算式表达这一作用。 3. 化简、整理，即得所研究问题满足的数理方程。四、数理方程研究物理问题的一般步骤: 1. 导出定解问题，一般包括数理方程和定解条件两部分。 2. 求解已导出的定解问题。 3. 对求得的解答讨论其适定性（解是否存在，唯一且稳定）
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数理方程的定解问题
一、基本要求: 1.掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤： 2.掌握三类典型数理方程的推导过程和建立数理方程的一般方法、步骤，特别是要掌握弦的微小横振动的推导过程！ 3.正确写出一些典型物理问题的定解问题和定解条件。
二、方程的分类: 1.以波动方程为代表的双曲型偏微分方程：
4
七、达朗贝尔公式，行波法 1.掌握达朗贝尔公式的应用及物理意义。
2. 会用行波法解题并学会用它求解某些定解问题。
并作适当的物理解释。
3 五、数理方程的求解方法：
1. 行波法 2. 分离变量法 3. 积分变换法 4. Green函数法 5. 保角变换法 6. 变分法六、三类定解问题： 1. 初值问题：由泛定方程和初始条件构成，又称Cauchy问题 2. 边值问题：由泛定方程和边界条件构成。 3. 混合问题：由泛定方程、初始条件和边界条件共同构成。

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外力，方向和u一致
线密度
弦的振动方程
T T1 T2 • 应用模型假设得到的结论：
u ( x, t ) sin 1 tan 1 x u 2 ds 1 ( ) dx dx x
平衡方程
u ( x dx, t ) sin 2 tan 2 x
《数量方程》之特点
• 数学物理方程的显著特点（1）广泛运用了数学诸多领域的成果。研究的问题也是复杂的、多样的要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。
（2）数学物理方程源于工程实际问题自然现象所蕴含的规律，对求解思路有着重要的启迪许多求解方法，都可在自然现象中找到来源。
热传导（扩散）方程的推导
• 问题描述和分析如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高的点向温度较低的点流动，这种现象就叫做热传导。热量传递如何用数学语言表示：由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和空间的变化，因此，热传导问题求解本质上是求温度的分布。若用u(x, y, z, t)表示物体G内一点(x, y, z)在t时刻的温度, 记为u(M, t), 点M(x, y, z) 热传导问题的建模既是建立温度函数u(x, y, z, t)所满足的偏微分方程！
热传导方程的推导
建模采用的方法微（单）元体方法，考虑任意一个区域Ω，其表面是S。建模采用的等量关系热量守恒：任意时段内[t1,t2]，温度变化所需的热量Q2 + 流出区域Ω的热量Q1 ＝区域自身产生的热量Q3。
Q2 +Q1 ＝Q3
温度变化所需的热量：与物体的比热有关流出热量：根据Fourier定律表示自身产生的热量： Ω本身是热源
假设在单位时间内单位体积中产生的热量F(x, y, z, t),则时间段[t1, t2]内、在Ω中所产生的热量为
Q3
t2 t1

F ( x, y, z, t )dvdt
建模采用的等量关系： Q1+Q2=Q3
Q1 dt ku dS
t1 S t2
Q2
t2
t1
u 0或 2u 0
波动方程（弦的横振动方程）
• 弦的微小横振动方程 • [问题]设有一根理想化的细弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小。研究弦作微小横向振动的规律。
弦的振动方程
• 弦振动如何描述 • 弦是连续的而非离散的质点组， • 弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状是曲线u(x, t) • 它的运动应符合牛顿运动定律，简化假设如下：设弦在未受扰动时平衡位置是x轴；两端分别固定在x=0及x=l处，而其上各点均以该点的横坐标表示；轻，忽略重力；质量均匀分布；柔软，张力方向与弦相切；无内力抵抗弯曲变形
热传导方程：流进（出）Ω的热量Q1
傅立叶定律温度梯度的定义： u u x , u y , u z 热流强度矢量：q（单位时间流经单位面积的热量）
q ku
比例系数k>0称为导热率，与材料有关，一般视为常数符号表示热流方向和温度增大的方向相反。计算t到t+dt时间内，在点(x, y, z)流经微元面积dS的热量其中，n为微元面积dS的外法线向量。t1至t2时间内流出S 的热量为
S
t1

f ( x, y, z, t ) F ( x, y, z, t ) / C
Laplace方程、位势方程
考虑无热源的热传导问题，经过了相当长时间后，温度趋于稳定，则 u
t 0
热传导方程变为
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
称为Laplace方程，或位势方程，记为
热传导方程：温度变化与热量的关系
温度变化需要的热量Q2 Q CT
热量（吸收或释放）比热密度温度差
从t到t+dt时间内，点(x, y, z)处的温度自u(x, y, z, t)变为 u(x, y, z, t+dt)，在[t, t+dt]微元时间段，温差如何表示? u u ( x, y, z , t dt ) u ( x, y, z , t ) dt t [t, t+dt]时间内，区域Ω温度变化所需热量为 u C [ u ( x , y , z , t dt ) u ( x , y , z , t )] dv C t dvdt t2 u 在[t1, t2]时间内，温度变化 Q2 C dvdt t1 所需要的热量为 t
《数量方程》之概述
• 常微分方程（组）描述的是孤立质点(系)的运动或演变规律。 • 连续体的变化规律如何描述？ • 含有某未知多元函数偏导数的方程称为偏微分方程。 • 表示物理量在空间或时间中变化规律的偏微分方程称为数学物理方程。
《数量方程》之基本任务
• 数物方程的基本任务 • 以物理学、力学及工程技术中的具体问题为研究对象，基本任务有：（1）建立描绘某类物理现象的数学模型，并提供这些问题的求解方法；（2）通过理论分析，研究客观问题变化发展的一般规律。
•
自由振动
强迫振动
三类典型的数理方程
u 热传导方程： a 2 2u f ( x, y, z, t ) t
2u 波动方程： 2 a 2 2u t
2u 2u 2u 位势方程： 2 2 2 0 x y z
三种典型方程简析
物理量关于时间的变化率 1、波动方程含有关于时间t的二阶偏导数，物理现象随时间剧烈改变。 2、热传导方程含有关于时间t的一阶偏导数，物理现象随时间缓慢改变。 3、位势方程不含关于时间t的任何偏导数，物理现象不随时间而发生改变。
弦的振动方程
• 受力分析 • 水平方向（x轴）张力的方向和弧的切线一致
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
• 竖直方向（u轴，牛顿第二定律）
Fu T2 sin 2 T1 sin 1
u 2 ds A1 A2 t
2
A1 A2
F ( x, t )ds
x2 u u 2u 经化简： T2 sin 2 T1 sin 1 T [ | x x2 | x x1 ] T 2 dx x1 x x x
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
2u Fu T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )ds 2 ds A1 A2 A1 A2 t
• 三维：
2 2 2 2 2 2 2 u u u u 2u u u u 2 2 a 2 2 f ( x, y, z, t ) a 2 2 2 2 2 2 t z t x y z x y
• 一维：
•
2 2u u 2 a 2 t x 2
2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
2 2u 2u 2 u a 2 f ( x, y, t ) 2 2 t y x
2u 2u 二维： 2 u a 2 2 2 2 t x y
Q1 dt ku dS
t2
dQ1 ku n dSdt

dS dS [cos , cos , cos ] n dS,
t1
S
Байду номын сангаас两处dS的区别，前者是微元面积，后者向量
, , 是微元面积外法向向量与x, y, z轴的夹角
热传导方程：自身产生热量Q3

C
u dvdt t
曲面积分和体积分的关系（奥高公式），将曲面积分Q1化为体积积分
Q1 dt ku dS [ k 2udv]dt
t1 t2 t2
最终导出热传导方程（扩散方程）其中，参数为 a 2 k / C
u a 2 2 u f ( x, y , z , t ) t
数学物理方程
• • • • • • 1、基本方程的推导及基本概念(1周) 2、分离变量法(2周) 3、线性偏微分方程的分类与化简(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函数法(1周) 6、积分变换法(1周)
数理方程是指在物理学、力学、工程技术等问题中经过一些简化后所得到的、反映客观世界物理量之间关系的一些偏微分方程。
弦的振动方程
u u • 最后的结论： T 2 2 F ( x, t ) x t
2 2
• 进一步假设： a
2
T

f ( x, t ) F ( x, t ) / T
• 弦的横振动方程 2 2 u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
波动方程

数学物理方法-13.1 三类数理方程推导

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