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数学物理方法 第5章 傅里叶变换

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数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换

数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
从物理上看 , 显然有 ∞
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >

数学物理方法 第五章 傅里叶变换

数学物理方法 第五章 傅里叶变换

将上式改写成

f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
是傅里叶正弦积分。
A

2N
0 0
[cos( 0 )t cos( 0 )t]dt
N 2


A


sin( 0 0
)t

sin( 0 )t 0

0 0
A sin( N 2 )[ 1 1 ]
0
0 0
解：f (t)是偶函数，可按余弦展开。

f (t) 0 A() costd
其中：
A() 2

f ( ) cos d
0

2

T
0
h cos d

2h


sin T
例2 由2N个（N是正整数）正弦波组成的有限正弦波列：
f
(t
)


A
sin
0t


l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)


l
sin
l
k x sin
l
n x
l
dx

0
(k n)


l
cos
l
k x sin
l

数学物理方程第五章 傅里叶变换

数学物理方程第五章 傅里叶变换

1 k
1 k
0 2E0 ] 1 k [1 ( 2 n ) 2 ] 1
k 2n 1 k 2 n.
2012-8-1
阜师院数科院
b1
E0 2
,
和
bk 0

E (t )
E0


E0 2
sin t
2E0

1 (2n)
n 1
1
2
cos 2 n t .


f ( ) sin d .
(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。
f ( x ) A ( ), B ( )
为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 ( , ) 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件；(2) 在区间 ( , ) 上绝对可积（即
2 2
0
( ) tg
1
[ B ( ) / A ( )].
C ( )
为振幅谱
3. 奇、偶函数 偶函数
2012-8-1
( )
为相位谱
A ( ) cos xd ,
f (x) A ( )


0
奇函数
f (x) B ( )


B ( ) sin xd ,
f (x)
k
c

k
e
ikx
,
ck
1 2



f ( )e ( 1 ik e
ikx
d
0
1 2 ( 1 ik

数学物理方法 5 傅里叶变换

数学物理方法 5 傅里叶变换

4
( t , t 0)
由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以 看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
6
2. 三角函数族及其正交性 引入三角函数族
①其中任意两个不同的函数之积在 [-l,l]上的积分等于 0 .
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]
上的积分不等于 0 .
(2m ,(2m 1) ) ((2m 1) , 2m )
k
ce
k
ik

ikx
,

1
0
1


2
x
0



f ( )e
1 d 2


0
1 e

0
ik
1 d 2

1 e ik d
1 1 ik ( e ) 2 ik
ak cos
l
l
d
12
1 l k ak f ( )cos d ( k 1, 2 , ) l l l
类似地, 用 sin kπξ/l 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
1 l k bk f ( )sin d l l l
归纳:
(k 1, 2, )
变换 延拓
23
3. 傅里叶级数的复数形式
利用欧拉公式导出
• 1 • 2
24
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 （一） 傅里叶变换
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函数值就重复 一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l∞ 的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅 里叶积分”。 考察复数形式的傅里叶级数:

数学物理方法梁昆淼答案

数学物理方法梁昆淼答案

数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。

的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。

4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。

5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。

7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。

?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。

?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。

(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。

11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。

其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。

则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。

af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。

数学物理方法 第五章 傅里叶变换

数学物理方法 第五章 傅里叶变换

l
2
1 2 2 2 2 [ f ( x )] dx 2la0 l a k l bk 2l l k 1 k 1
l n n
n n 1 l k x 2 k x 2 2 l 2 l 2 [ f ( x )] dx a k [cos ] dx bk [ sin ] dx l l l 2l l l k 0 k 1 n n 1 l k x 2 k x 2 2 l 2 l 2 [ f ( x )] dx a k [cos ] dx bk [ sin 10 ] dx l l l 2l l l k 0 k 0
积化和差后容易证明其余三式， 例如：
cos( ) cos( ) 2 cos cos kx nx 1 ( k n )x ( k n )x cos cos cos cos l l 2 l l l l kx nx 1 l ( k n )x ( k n )x -l cos l cos l dx 2 -l cos l dx -l cos l dx
0πx πx 2πx kx 1 cos , cos , cos , , cos , l l l l 0πx πx 2πx kx sin 0, sin , sin , , sin , l l l l
k x -l 1 cos l dx 0 (k 0) 正交性 l k x -l 1 sin l dx 0 l k x n x -l cos l cos l dx 0 (k n) l k x n x -l sin l sin l dx 0 (k n) l k x n x -l cos l sin l dx 0
f (x) f (x+2l) • -l o +l •

傅里叶变换


线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何 周期信号都可用正 弦函数的级数表示" 1822年发表"热的 分析理论",首次 提出"任何非周期 信号都可用正弦函 数的积分表示" 返 回

数学物理方法第五章傅里叶变换


l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。

数学物理方法5傅里叶变换

图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。

数学物理方法chp5-3 傅里叶变换delta函数


a
11
5.函数的
( x ) 0 的实根 xk (k 1,2,3,) 全为单根 ( ' ( x) 0) 有 ( x xk ) ( x ) k | ' ( xk ) |
0, ( x ) 0 ( x) , ( x ) 0
1/l -l/2
o
l/2
x
15
（2）sinc 函数序列：
1 sin Kx ( x ) lim K x
6 5 4 3
K=8
K=16
sinKt/(pi*t)
2 1 0 -1 -2 -2
K=4Leabharlann -1.5-1-0.5
0 t
0.5
1
1.5
2
16
（3） 函数序列： ( x )
60
lim
m x 0, ( x 0) ( x) lim l ( x) lim rect , ( x 0) l 0 l 0 l l



( x)dx lim l ( x)dx m
l 0

引入δ函数：
0, ( x 0) ( x) , ( x 0) 0, a ( x)dx 1
（一）δ函数概念
– 问题 • 质点的密度函数如何表示？ • 一般函数无法描写物理上的“点源”，如“点电荷”、 “质点”的密度，以及“瞬时力”等概念。 – 思路 • 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； • 一个位于原点、长度l、质量为m的线，线密度为 l(x)=m/l rect(x/l)的物体，当l->0时,可以看成质点；
( x ) C ( )eix d
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0 xl l x 0 x l
-l 0

F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1



0
E0 cost E 0 sin tdt 2


0
E0

E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2


0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)

0
A( ) cosxd

0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )

1
1


f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx

（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
f ( x) F ( x) f ( x) 以2l为周期平移
kx F ( x) a 0 a k cos l k 1
a kx kx kx 2 f ( x) a0 (a k cos bk sin ) a0 a k bk2 sin[ tan 1 ( k )] l l l bk k 1 k 1
其中a0 称为直流分量，与原物理量同频的简谐分量称为基 波，频率是原物理量频率倍的简谐分量称为次谐波。
2．信号频谱
k 次谐波的频率 k k
谱，如图5.4所示。

l
与幅度
图5.4
2 Ak a k bk2 的关系称为信号的频
三、奇的和偶的周期函数
1．奇的周期函数 如果 f (x) 是以 2l 为周期的奇函数，满足狄里希 利条件，则 f (x) 可展开为正弦傅里叶级数。
kx f ( x) bk sin l k 1
( x )
(0 l x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l

【几点结论】
1. 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开有 无穷多种形式。 f (0) f (l ) 0 2. 偶延拓可使级数满足边界条件 奇延拓可使级数满足边界条件 f (0) f (l ) 0 。
E0 cos(k 1)t cos(k 1)t (k 1) 2 (k 1) 0 E0 cos 2t 2 2 0
k2 k 1
E 0 2
(c)
u 0 (t )
E 1 ( RC ) 2
sin[t tan 1 ( RC )]
ui
t (d) 图5.1
问题：如果网络的输入电压不是正弦电压，而是直流脉动电
压，例如图5.1(d)所示的半波整流电压，在这个周期内半波整流 电压可表示为：
E cost , 0 t ui 0 t 2

1 l 其中 a0 f ( x)dx l 0
2 l kx a k f ( x) cos dx 0 l l
特点：余弦傅里叶级数满足边界条件
f (0) f (l ) 0
例3：如图5.6所示，f (x) 是以 2l 为周期的周期函 数，在 [l , l ] 周期上 f ( x) x ，试求其傅里叶级数。
0 E0 2
k2 k 1
E0 2 E0 u i (t ) sin t cos 2nt 2 2 n 1 (1 4n )
E0
二、傅里叶级数的物理意义和信号频谱
1．傅里叶级数的物理意义
周期性的非简谐物理量可以分解为一系列简谐物 理量的叠加，简谐物理量的频率只能是原物理量 频率的整数倍。
R
3. 几个物理问题
例1. 非正弦交流电问题。
如图5.1(a)所示的低通滤波网络，如果输入电压为图 5.1(b)所示的正弦交流电 ui (t ) E sin t
ui
i
C
uo
(a) ui
t
(b)
由于电阻两端的电压降与电流同相，电容两端的 电压降滞后电流 90o 因此，电压、电流向量 如图5.1(c)所示，因此网络的输出电压为：

(0 x l )
方法二：奇延拓法，所找的周期 F (x) 函数为奇函 数，如图5.7(b)所示。
F(x)
f ( x) F ( x) f ( x) 以2l为周期平移

0 xl l x 0 x l
-l
0 l
x
图5.7(b)
(1) k 1 kx F ( x) sin k 1 k l 2l
第五章 傅里叶变换
引言——傅里叶级数和积分的意义
1. 一种重要的数学方法
把非简谐的函数分解为一系列简谐函数的叠加的方法。
2. 解决复杂物理问题的有效手段
正是由于有傅里叶级数和积分才使大量的物理现象 。应用物理学的基本原理结合该数学方法可以解决 许多重要的实际物理问题。如一般的振动、波动、 交流电等问题。
问题的提出：周期性的非简谐物理量可分 解为一系列简谐物理量的叠加。在物理学 中更广泛的是非周期性的物理量，如一段 歌曲的声波是非周期性。那么，非周期的 物理量能否也可分解为一系列简谐物理量 的叠加呢？
一、实数形式的傅里叶变换
f 傅里叶积分定理：(x) 如果是定义在 (,) 上的非周期函数，满足以下两个条件：⑴ 在 x 的任意有限的区间上满足狄里希利条 件，⑵在 (,) 上绝对可积，即 f ( x) dx 存在。则 f ( x) 可表示为：
kx 0 cos l dx
l
f(x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l

0 -l l x
图5.6
四、定义在有限区间上的函数的傅里叶 级数
f (x) 是定义在区间 (0, l ) 上的函数，该函数一定 不是周期函数，将该函数展开为傅里叶级数的方 法如下： ⅰ）找一周期函数 F (x) ，满足条件：当 0 x l 时,有 F ( x) f ( x) 。 ⅱ）将 F (x) 展开为傅里叶级数，该级数在整个 实轴上成立。 ⅲ）把变量 x 限制在区间 (0, l ) ，得到 f (x) 的傅里叶级数。
f ( x) a0 (a k cos
k 1
kx kx bk sin ) l l
1 l 其中： a0 l f ( x)dx 2l
1 l kx ak f ( x) cos dx l l l
1 l kx bk f ( x) sin dx l l l

[ , ] 内： 在周期
ui
0
t
0 ui (t ) E0 sin t
t 0 0t
图5.2
ui (t ) a0 [ak cos
k 1


k t

bk sin
k t

]
a0 [a k cos kt bk sin kt ]
等号在 f (x) 的连续点成立， 在 f (x) 的间断点级数的收敛值等于
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例1：交流电压 e(t ) E0 sin t ，经过半波整流， 负压被“削去”（如图5.2所示），试研究半波整 流电压的傅里叶级数。试研究半波整流电压 i (t ) u 的傅里叶级数。
(1) k 1 (1) k 1 (k 1) (k 1) 0
k2 k 1
2 E 0 2 [( 1) k 1] 2 (k 1) 0
2 E0 (1 4n 2 ) 0
k2 k 1
五、复数形式的傅里叶级数
如果 f (x) 是以 2l 为周期的周期函数，且满足狄里 希利条件，则可把 f (x) 展开为以下的复数形式的 傅里叶级数。
f ( x)
k
c e
k

i
kx l
其中
1 c k f ( x )e 2l l
l
i
kx l
dx
§5.2傅里叶积分与傅里叶变换
k 2n, n 1 k 2n 1, n 0
bk E0 sin t sin ktdt 0 E0 0 [cos(k 1)t cos(k 1)t ]dt 2
E sin(k 1)t sin(k 1)t 0 (k 1) (k 1) 2 0 E0 sin 2t t 2 2 0 k2 k 1
。
二、奇和偶函数的傅里叶变换
1.如果 f (x)是奇函数，则： f ( x) B() sin xd , B( ) 2 f ( x) sin xdx