数学物理方法第四版第五章习题答案

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法第五次作业一、单项选择题【 】1、函数()f z 以b 为中心的罗朗（Laurent ）展开的系数公式为11().2()k k f A C d i b γζζπζ+=-⎰ ()().!k k f b B C k = 1().2k f C C d i b γζζπζ=-⎰ 1!().2()k k k f D C d i b γζζπζ+=-⎰ 【 】2、本征值问题()()0,(0)0,()0X x X x X X l λ''+===的本征函数是A ．cosn x l π B ．sin n x l π C ．(21)sin 2n x l π- D ．(21)cos 2n x lπ- 【 】3、点z =∞是函数cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对【 】4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是A. 泛定方程和初始条件为齐次B. 泛定方程和边界条件为齐次C. 初始条件和边界条件为齐次D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次【 】5、设函数()f z 在单连通区域D 内解析，C 为D 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分()C f z dz ⎰A. 与积分路径及端点坐标有关B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关C. 与积分路径及端点坐标无关D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关【 】6、 条件1z <所确定的是一个A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域【 】7、条件210<-<z 所确定的是一个A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域【 】8、积分2||1cos z z z dz ==⎰A ．1B ．12-C ．12D ．0 【 】9、函数1()1f z z =-在12z +>内展成1z +的级数为 A ．102(1)n n n z ∞+=-+∑ B ．101n n z ∞+=∑ C ．10(1)2nn n z ∞+=+∑ D ．0n n z ∞=∑ 【 】10、点0z =是函数11()sin f z z -⎛⎫= ⎪⎝⎭的A. 解析点B. 孤立奇点C. 非孤立奇点D. 以上都不对二、填空题1．复数231i -的三角形式为，其指数形式为.2．复数5cos 5sin ππi +的三角形式为，其指数形式为.3.的实部u =，虚部v =，模r =，幅角θ=.4. 复数22i +-的实部=u ，虚部=v ，模=r ，幅角 =θ .5. 014=--i z 的解为.6．积分dz zz cos ==⎰1. 7. 积分⎰==++1222z z z dz . 8. 积分⎰==13cos z zdz z . 9. 积分=⎰b a dz z z 2cos .10． 积分=⎰10sin zdz z . 11.积分=⎰202sin πdz z z 12．幂级数n n n z ∑∞=121的收敛半径为. 13．幂级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛半径为. 14．幂级数211-1n n z n ∞=∑（）的收敛半径为.15．函数zz f -=11)(在2|1|<+z 上展成)1(+z 的泰勒级数为 . 16. 0=z 为3cos 1)(z z z f -=的.（奇点的类型，极点的阶数） 17. 0=z 为3sin )(z z z f =的.（奇点的类型，极点的阶数）。

数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。

的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。

4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。

5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。

7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。

?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。

?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。

(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。

11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。

其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。

则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。

af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。

5.1 在自由空间中，已知电场3(,)10sin() V/m y E z t e t z ωβ=−G G，试求磁场强度。

(,)H z t G解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式3π(,)10cos( V/m 2y E z t e t z ωβ=−−G G这是一个沿方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为z +90−D 。

与之相伴的磁场为300311π(,)(,)10cos(210πcos() 2.65sin() A/m120π2z z y x x H z t e E z t e e t z e t z e t z ωβηηωβωβ=×=×−−=−−−=−−G G G G G G G5.2 理想介质（参数为0μμ=、r 0εεε=、0σ=）中有一均匀平面波沿x 方向传播，已知其电场瞬时值表达式为9(,)377cos(105) V/m y E x t e t x =−G G试求：(1) 该理想介质的相对介电常数；(2) 与(,)E x t G相伴的磁场；(3) 该平面波的平均功率密度。

(,)H x t G 解：(1) 理想介质中的均匀平面波的电场E G应满足波动方程2220EE tμε∂∇−=∂G G据此即可求出欲使给定的E G满足方程所需的媒质参数。

方程中222929425cos(105)y y y y y E E e E e e t x x∂∇=∇==−−∂G G G G 221892237710cos(105)y y y E E e e t t x∂∂==−×−∂∂G G G x = 故得91899425cos(105)[37710cos(105)]0t x t x με−−+×−即18189425251037710με−==×× 故181882r 0025102510(310) 2.25εμε−−×==×××=其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿x +方向传播的均匀平面波，其相速为98p 10210 m/s 5v k ω===× 而8p 310v ====×故2r 3() 2.252ε==(2) 与电场相伴的磁场E G H G 可由0j E ωμ∇×=−H G G求得。

第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。

7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。

即复数平面的右半平面0x ≥。

【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。

3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。

7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。

【3】计算下列数值。

（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。

那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。

7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。

数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。

[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。

[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。

第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

—证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z z z z z z z αβγ---===---21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+ (0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈ (0,3);αββπ∴++∈0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。