数学归纳法

课题：数学归纳法
教学目标：1.掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.2.对数学归纳法的认识不断深化.3.掌握数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求
平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明. 教学重点：本
（一） 主要知识及主要方法：
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.
2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完
全归纳法
3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
4.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
先证明当n 取第一个值0n 时命题成立；然后假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当1n k =+命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数0n ，如果当0n n =时，
命题成立，再假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数01n +，02n +，…，命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
()1证明：当n 取第一个值0n 结论正确；()2假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时结论正确，
证明当1n k =+时结论也正确由()1，()2可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正
确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
7.()1用数学归纳法证题时，两步缺一不可；()2证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二
凑目标.
（二）典例分析：
问题1．求证：49161n n +-能被64整除.
问题2．()1求证：111112
2
3
422
n n --+++⋅⋅⋅+
>
()2设n N ∈，且1n >，用数学归纳法证明：1111113521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
⋅+⋅⋅⋅+> ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()3用数学归纳法证明：
222111
123n
++⋅⋅⋅+<（其中n ≥2，且*n N ∈）.
问题3．已知()1x ϕ=
，()()x
x x f x a b a b =+--，其中a 、b R +∈，1a ≠，
1b ≠，a b ≠，且4ab =.()1求()x ϕ的反函数()g x ；()2对任意*n N ∈，试指出()
f n 与(2)n
g 的大小关系，并证明你的结论.
问题4．（05浙江）设点(),0n n A x ，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：2
n n
y x a x b =++（*
n N ∈），其中n a ＝1
1
242n n ----
，n x 由以下方法得到：11x =，点()22,2P x 在抛物线1C ：2
11y x a x b =++上，点()11,0A x 到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，…，点
11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：2n n y x a x b =++上，点(),0n n A x 到1n P +的距离是n A 到n C
上点的最短距离． ()1求2x 及1C 的方程；()2证明{}n x 是等差数列．
（三）课后作业：
1.观察下列式子： ,474
131211,3531211,23211222222<+++<++<+
，则可以猜想的结论为：
2.用数学归纳法证明“()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅- ”
，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为
.A 21k + .B ()221k + .
C 1
12++k k .D 13
2++k k
3.（07重庆市重点中学二联）如图，第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来（1n =，
2，3，…）
，则第2n -个图形中共有 个顶点.
4.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形有对角线条数(1)f n +为
.A ()1f n n ++ .B ()f n n + .C ()1f n n +- .D ()2f n n +-
5.平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面
分成()2
1()22
f n n n =++个区域.
（四）走向高考：
6.（07上海）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：
“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2
)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是 .A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 .B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立
.C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2
)(k k f <成立 .D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立
7. (06湖南）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:
101a <<，1()n n a f a +=，1,2,3,n = 求证:()1 101n n a a +<<<;()23116
n n a a +<
.
8.（06江西）已知数列{}n a 满足：132
a =
，且11321n n n na a a n --=+-（n ≥2，*
n N ∈）
()1求数列{}n a 的通项公式；()2求证：对于一切正整数n ，不等式122!n a a a n ⋅⋅⋅⋅<⋅
9.（07湖北）已知m n ，为正整数，
()1用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)m x +≥1mx +；
()2对于n ≥6，已知11132n
n ⎛⎫-< ⎪
+⎝⎭
，求证1132n
m
m n ⎛
⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n = ，，，； ()3求出满足等式34(2)(3)n n n n n n ++++=+ 的所有正整数n .。