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双曲函数

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双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。

也类似于三角函数的推导。

反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录定义介绍双曲函数实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开定义介绍实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开编辑本段定义双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为arsh z、arch z、arth z 等。

编辑本段介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。

也类似于三角函数的推导。

反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。

双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。

在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

射线出原点交双曲线x^2 y^2 = 1 于点(cosha,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。

定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x表示e的x次幂,展开成无穷幂级数是：e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点(cost,sint) 定义一个圆，点(cosht,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2 y^2 = 1。

这基于了很容易验证的恒等式cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1和性质t > 0 对于所有的t。

参数t 不是圆角而是双曲角，它表示在x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosht,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。

函数cosh x 是关于y 轴对称的偶函数。

函数sinh x 是奇函数，就是说-sinh x = sinh (-x) 且sinh 0 = 0。

[1]编辑本段双曲函数实变双曲函数y=sh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称。

y=ch(x).定义域：R.值域：*1,+∞）.偶函数.函数图像是悬链线，最低点是（0,1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称。

y=th(x).定义域：R.值域：（-1,1）.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。

y=cth(x).定义域：,x|x≠0-.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞，coth(x)=1],lim[x->-∞，coth(x)=-1]。

y=sch(x).定义域：R.值域：（0,1].偶函数.最高点是（0,1），函数在（0,+∞）严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->；∞，sech(x)]=0.y=xh(x).定义域：,x|x≠0-.值域：,x|x≠0-.奇函数.函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->；∞，csch(x)]=0.双曲函数名称的变更：sh也叫sinh,ch也叫cosh,th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。

复变双曲函数1、定义双曲正弦：sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 22、性质解析性：shz,chz是全平面的解析函数周期性：shz,chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为：arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]arcth(x) = ln[sqrt（1 - x^2）/ （1 - x)] = ln[（1 + x) / （1 - x)] / 2arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1）/ (x - 1）] = ln[(x + 1）/ (x - 1）] / 2arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt（1 - x^2）/ x]arcxh(x) = ln[1 - sqrt（1 + x^2）/ x]，如果x < 0ln[1 + sqrt（1 + x^2）/ x]，如果x > 0其中，sqrt为square root 的缩写，即平方根编辑本段三角函数双曲函数与三角函数有如下的关系：* sinh x = -i * sin(i * x)* cosh x = cos(i * x)* tanh x = -i * tan(i * x)* coth x = i * cot(i * x)* sech x = sec(i * x)* csch x = i * csc(i * x)i为虚数单位，即i * i = -1编辑本段恒等式与双曲函数有关的恒等式如下：ch^2(x) - sh^2(x) =1cth^2(x) - xh^2(x)=1th^2(x) + sch^2(x)=1加法公式sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))减法公式sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))二倍角公式sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)cosh（2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh^2(x))coth（2x) = （1+coth^2(x))/2coth(x)三倍角公式sinh（3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x)cosh（3x)=4cosh^3(x)-3cosh(x)半角公式cosh^2(x / 2）= (cosh(x) + 1）/ 2sinh^2(x / 2）= (cosh(x) - 1）/ 2tanh(x / 2）= (cosh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1）coth(x / 2）= sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)德莫佛公式（cosh(x）±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。

Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。

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双曲函数

双曲函数

双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。

定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。

也类似于三角函数的推导。

反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。

因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。

在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。

定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。

双曲函数

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▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
浏览次数：295104次 编辑次数：79次 历史版本 最近更新：2015­06­17
中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
双曲函数的积分与导数

双曲函数的积分与导数

双曲函数的积分与导数在数学中，双曲函数是一类重要的函数，由指数函数和对数函数组成。

双曲函数具有丰富的性质，其中包括积分和导数。

本文将探讨双曲函数的积分和导数性质，帮助读者更好地理解和运用这些函数。

一、双曲函数简介双曲函数包括双曲正弦函数（sinh(x)）、双曲余弦函数（cosh(x)）、双曲正切函数（tanh(x)）以及双曲余切函数（coth(x)）。

这些函数与常见的三角函数有着类似的性质，但有一些明显的区别。

双曲正弦函数定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数定义为：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))双曲余切函数定义为：coth(x) = 1/tanh(x) = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x))这些函数在数学和应用领域中有广泛的应用，特别是在微积分、概率统计、电工电子等方面。

二、双曲函数的积分双曲正弦函数的积分与普通正弦函数的积分类似，即：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C其中，C为常数。

2. 双曲余弦函数的积分双曲余弦函数的积分与普通余弦函数的积分类似，即：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C其中，C为常数。

3. 双曲正切函数的积分双曲正切函数的积分与普通正切函数的积分类似，即：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C其中，C为常数。

4. 双曲余切函数的积分双曲余切函数的积分与普通余切函数的积分类似，即：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C其中，C为常数。

三、双曲函数的导数1. 双曲正弦函数的导数d/dx sinh(x) = cosh(x)2. 双曲余弦函数的导数双曲余弦函数的导数为：d/dx cosh(x) = sinh(x)3. 双曲正切函数的导数双曲正切函数的导数为：d/dx tanh(x) = sech^2(x)其中，sech(x)为双曲余切函数的倒数。

双曲函数(Hyperbolic functions)

双曲函数(Hyperbolic functions)

我们所熟知的三角函数也被叫做circular function，因为sin、cos满足 \sin^2x+\cos^2 x=1 可以看出是从一个单位圆的方程 x^2+y^2=1 中演化过来的。

而圆锥曲线我们知道还有双曲线、抛物线、椭圆等，那么其他圆锥曲线是否也可以演化出类似的函数出来？是有的，比如今天介绍的双曲函数，是从单位双曲线方程 x^2-y^2=1 中演化出来的。

先回忆一下三角函数有哪些：sin 正弦，cos 余弦，tan 正切， sec 正割，csc(cosec) 余割，cot 余切详细关系见下图：那么我们的双曲函数也有这些函数，这不过就是在上面六个三角函数后加一个“h”，表示“hyperbolica”，双曲的...一、函数定义sinh 双曲正弦，cosh 双曲余弦，tanh 双曲正切， sech 双曲正割，csch(cosech) 双曲余割，coth 双曲余切接下去是各个双曲函数的表达式：二、函数图像下面是各个双曲函数的图像以及对应定义域、值域等：y=\sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}2. y=\cosh x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}3. y=\tanhx=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}4. y=\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh}x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}5. y=\operatorname{cosech} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}6. y=\operatorname{coth} x=\frac{1}{\tanhx}=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}三、几何意义从上面这张图中能看出来双曲函数自变量的几何意义，是红色所围成面积的两倍，或者看下图也是一样的：那么与三角函数之间的关系呢？四、双曲恒等式我们知道三角函数有非常多的恒等式，这也是三角函数成为高中生噩梦的很大一部分原因，如果不清楚有哪些恒等式可以点击下文：那么类似的，双曲函数也有很多恒等式，并且可以这么说在三角函数中有的恒等式，在双曲函数中都有类似的，下面给出了一些当然这些恒等式我们都是可以证明的，比如高数书上就给了两个例子：所以给出恒等出我们都可以通过sinh、cosh定义带入进行计算，可能计算上会有一点复杂。