北师大版高中数学必修5第一章数列第1课时等比数列学案含解析

北师大版高中数学必修5：

§3 等比数列

3.1 等比数列

第1课时 等比数列

内 容 标 准 学 科 素 养

1.掌握等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.

3.能够应用定义判断一个数列是否为等比数列. 增强数学抽象

形成逻辑推理

提升数学运算

授课提示：对应学生用书第17页

[基础认识]

知识点一 等比数列的定义

预习教材P21－23，思考并完成以下问题

观察下面几个数列

①1，2，4，8，16，…

②1，12，14，18，116，…

③1，－1，1，－1，1，…

④12，－1，2，－4，8，…

(1)上面几组数列是等差数列吗？为什么？

提示：都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．

(2)如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？

提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．

知识梳理 等比数列的定义

(1)文字语言

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．

(2)符号语言

an＋1an＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．

知识点二 等比数列的通项公式

思考并完成以下问题

1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？

提示：能.an＋1an＝q或anan－1＝q(n≥2)或an＋1＝qan或an＝q·an－1(n≥2)．

2．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？

提示：能．由a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，…可猜测an＝a1qn－1.

知识梳理 等比数列的递推公式与通项公式：

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则

(1)递推公式：anan－1＝q(n≥2)；

(2)通项公式：an＝a1qn－1．

[自我检测]

1．下列各组数成等比数列的是( )

①1，－2，4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

解析：由等比数列的定义知，①、②、④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列，故选C.

答案：C

2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－12，则a6等于( ) A．1 B．－1

C．2 D.12

解析：a6＝a1q5＝32×－125＝－1.故选B.

答案：B

3．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2，若an＝128，则n＝________．

解析：an＝2×2n－1＝2n，由2n＝128，解得n＝7.

答案：7

授课提示：对应学生用书第18页

探究一 等比数列的判定

[阅读教材P22例1及解答]以下数列中，哪些是等比数列？

(1)1，－12，14，－18，116；

(2)1，1，1，1，…，1；

(3)1，2，4，8，12，16，20；

(4)a，a2，a3，…，an.

题型：等比数列的判定．

方法步骤：①明确定义．

②验证得结论．

[例1] 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a2n＋6an＋6(n∈N＋)，设cn＝log5(an＋3)．求证：{cn}是等比数列．

[解题指南]

利用定义得出an＋1an＝q.q是一个与n无关的常数即可．

[证明] 由an＋1＝a2n＋6an＋6，

得an＋1＋3＝(an＋3)2.

∴log5(an＋1＋3)＝log5(an＋3)2＝2log5(an＋3)，

即cn＋1＝2cn，又c1＝log55＝1≠0，

∴cn＋1cn＝2，∴{cn}是等比数列．

方法技巧 判断一个数列{an}是等比数列的方法

(1)定义法：若数列{an}满足an＋1an＝q(q为常数且不为零)或anan－1＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．

(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．

(3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．

拓展：若{an}是等比数列，则{kan}成等比数列，(其中k为不为零的常数)；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、anbn成等比数列．

跟踪探究 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2.

(2)求证：数列{an}是等比数列．

解析：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，

所以a1＝－12，又S2＝13(a2－1)，

即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.

(2)证明：当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)

得anan－1＝－12，

故{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．

探究二 等比数列中基本量的计算

[阅读教材P23例2及解答]一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值．

题型：等比数列基本量的计算．

方法步骤：①根据已知条件确定首项a1和公比q.

②结合通项公式求出a8.

[例2]

在等比数列{an}中，

(1)若a2＝4，a5＝－12，求an；

(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

[解题指南] (1)由a2＝4，a5＝－12能否建立a1，q的方程组求出a1，q？怎样写出通项公式an?

(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?

[解析] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

(1)由题意得a2＝a1q＝4，a5＝a1q4＝－12∴q＝－12，a1＝－8.

∴an＝a1qn－1＝－8×－12n－1＝(－2)4－n.

(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝12.

由a1q＋a1q4＝18得a1＝32.

由an＝a1qn－1＝1知n＝6.

方法技巧 1.求等比数列某项的方法

先建立关于a1和q的两个方程，从而求出a1和q，再求其他项．

2．等比数列通项公式的求法

(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．

(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．

跟踪探究 2.(2019·昌吉市模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，则a3＝( )

A．2 B．－2

C．±2 D.2

解析：在等比数列中，由a5＝4得a5＝q4＝4，得q2＝2，则a3＝a1q2＝2.故选A.

答案：A

3．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q＝________．

解析：∵a1a9＝a21q8，a4a6＝a1q3·a1q5＝a21q8， ∴a1a9＝a4a6，列方程组a4＋a6＝40，a4·a6＝256.

解得a4＝32，a6＝8或a4＝8，a6＝32.

∴q2＝a6a4＝832＝14或q2＝328＝4.

∴q＝±12或q＝±2.

答案：－2或2或－12或12

探究三 等比数列项的设法

[例3] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

[解题指南] 可设这四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0，q≠0)然后依据条件建立方程组求解．

[解析] 设这四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0，q≠0)，

由条件得2aq－a＋aq＝16.aq＋a＝12.解得q＝2，a＝8或q＝13，a＝3.

当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16；

当q＝13，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1.

延伸探究 若将本例中的“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？

解析：设所求四个数依次为2aq－aq，aq，aq，aq3.

则由已知aq·（aq）＝16， ①2aq－aq·（aq3）＝－128. ②

由①得a2＝16，所以a＝4或a＝－4.

由②得2a2q2－a2q4＝－128.

将a2＝16代入整理，

得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4，

所以q＝2或q＝－2.

所以所求的四个数分别为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.

方法技巧 几个数成等比数列的设法

(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.

推广到一般：奇数个数成等比数列设为：

…，aq2，aq，a，aq，aq2，…

(2)四个符号相同的数成等比数列设为：

aq3，aq，aq，aq3.

推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5，….

跟踪探究 4.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解析：设这三个数依次为aq，a，aq，

∵aq·a·aq＝512，∴a＝8，

∵aq－2＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝12.∴这三个数为4，8，16或16，8，4.

授课提示：对应学生用书第19页

[课后小结]

(1)等比数列的判断或证明

①利用定义：an＋1an＝q(与n无关的常数)．

②利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋)．

(2)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．

(3)巧设等差数列、等比数列的方法：

①若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成aq，a，aq或a，aq，aq2.

②若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3.

[素养培优]

忽略数列首项致误

已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn＋1)＝n(n＝1，2，…)，试说明数列{an}是等比数列．

易错分析 判断数列为等比数列时，根据定义，是从第2项起，后一项与前一项的比是同一非零常数．故需讨论an与an(n≥2)的关系，即要验证n＝1是否成立，否则就会使论证不够严密，甚至出现错误的结果．本题考查逻辑推理的学科素养．

自我纠正 由已知可知：Sn＝10n－1，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)＝9×10n－1.

又当n＝1时，a1＝S1＝9也满足上述通项公式．

∴数列{an}的通项公式an＝9×10n－1.

而当n≥2时，anan－1＝9×10n－19×10n－2＝10为一常数．

∴数列{an}是等比数列.