高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 北师大版必修5-北师大版高二

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- 1 - / 7 第2课时 等比数列的性质

学 习 目 标 核 心 素 养

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．

2．理解等比数列的性质及应用．(重点)

3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点) 1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．

2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.

1．等比数列的单调性

阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．

对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝a1q·qn.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：

a1 a1＞0 a1＜0

q的X围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1

{an}的

单调性 递减

数列

常

数列 递增

数列 递增

数列 常数列 递减

数列

思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝2，q＝12，则数列{an}的单调性如何？

[提示] 递减数列．

(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？

[提示] 数列{an}不具有单调性，是摆动数列．

2．等比中项

阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．

(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．

(2)结论：G叫作a，b的等比中项．

(3)满足关系式：G2＝ab．

思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？

[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．

(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？

[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4. word

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1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于( )

A．－12

B．－2

C．2 D．12

D [由a5＝a2q3，得q3＝a5a2＝142＝18，所以q＝12，故选D．]

2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是( )

A．公比为q的等比数列

B．公比为q2的等比数列

C．公比为q3的等比数列

D．不一定是等比数列

B [由于anan＋1an－1an＝anan－1×an＋1an＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以

{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]

3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值X围是________．

(1，＋∞) [因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.]

4．4－23与4＋23的等比中项是________．

2或－2 [由题意知4－23与4＋23的等比中项为

±4－234＋23＝±16－12＝±2.]

等比中项及应用

【例1】 (1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝_____________.

(2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且1a，1b，1c成等差数列，则ca＋ac的值为________．

(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，

x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4， word

- 3 - / 7 当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，

所以x＝－4.

(2)由a，b，c成等比数列，1a，1b，1c成等差数列，得

 b2＝ac，2b＝1a＋1c，即4ac＝1a＋1c2，故(a－c)2＝0，

则a＝c，所以ca＋ac＝1＋1＝2.]

应用等比中项解题的两个注意点

(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．

(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与

an＋1的等比中项，即a2n＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．

1．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是1a与1b的等差中项，则a＋ba2＋b2的值是( )

A．1或12 B．1或－12

C．1或13 D．1或－13

(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.

(1)D (2)4×32n－1 [(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，1a＋1b＝2，

所以 ab＝1，a＋b＝2或 ab＝－1，a＋b＝－2.

因此a＋ba2＋b2的值为1或－13.

(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， word

- 4 - / 7 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，

所以q＝a2a1＝64＝32，

所以an＝4×32n－1.]

等比数列的设法与求解

【例2】 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．

1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组 2bq＝a＋b，ab2q＝－80求出，

即为 a＝10，b＝－2，q＝－2或 a＝－8，b＝－2，q＝52，

所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.]

灵活设项求解等比数列的技巧

(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.

(2)四个符号相同的数成等比数列设为aq3，aq，aq，aq3.

(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.

2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________． word

- 5 - / 7 －25，1，－52 [设这三个数分别为aq，a，aq，

则 a3＝1，a＋aq＝－32，解得a＝1，q＝－52，

所以这三个数依次为－25，1，－52.]

等比数列的性质及应用

[探究问题]

1．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？

[提示] an＝am·qn－m.

2．在等差数列{an}中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我们推广得到若2p＝m＋n，则2ap＝am＋an，若{an}是等比数列，我们能得到什么类似的结论．

[提示] 若2p＝m＋n，则a2p＝am·an.

3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，类比这个性质，若{an}是等比数列，有哪个结论成立？

[提示] 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.

【例3】 (1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.

(2)设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2 018和a2 019是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 030＋a2 031＝________.

(3)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________.

思路探究：利用等比数列的性质求解．

(1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n－1 [(1)a3a5＝a24＝4，又an＞0，所以a4＝2，

a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4

＝a24·a24·a24·a4＝a74＝27＝128.

(2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝12，x2＝32，因为q＞1，故a2 019＝32，a2 018＝12，故q＝3，

∴a2 030＋a2 031＝a2 018q12＋a2 019·q12＝(a2 018＋a2 019)q12

＝2·312.

(3)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，

又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，

因为公比q为整数，所以q＝5a8a3＝－51284＝－2， word

- 6 - / 7 故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.]

1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10.

[解] 因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，

又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，

当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－12，a1＋a10＝a4q3＋a7q3＝－7，

当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝a4q3＋a7q3＝－7.

故a1＋a10＝－7.

2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|.

[解] 因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3a8＝－512，

故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|

＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229

＝9.

等比数列的常用性质

性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)．

性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.特别的，若k＋φ＝2m(m，k，φ∈N＋)，则ak·aφ＝a2m.

性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λbn}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．

性质4：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．

性质5： a1＞0，q＞1或 a1＜0，0＜q＜1⇔{an}递增；

 a1＞0，0＜q＜1或 a1＜0，q＞1⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数列；q＜0⇔{an}为摆动数列．

1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．