高中数学 第一章 数列教案 北师大版必修5

1 §1数 列

1．1 数列的概念

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．

2．过程与方法

按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．

3．情感、态度与价值观

通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．

●重点难点

重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．

难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．

(教师用书独具)

●教学建议

问题/情境 设计意图师生活动

同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．

师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21……

生：观察图片，投入到教学活动中来．

如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找 2 到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．

●教学流程

创设问题情境，提出3个问题⇒引导学生解答问题，引出数列的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念⇒通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法⇒通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正

(对应学生用书第1页)

课标解读

1.了解数列、通项公式的概念．

2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难点)．

3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．

4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点、难点).

数列的有关概念及表示

【问题导思】

小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8

7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.

1．这三组数字有什么异同之处？

【提示】 都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．

2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？ 3 【提示】 数字的排列顺序．

1．数列的有关概念

数列 按一定次序排列的一列数叫作数列

项 数列中的每一个数叫作这个数列的项

首项 数列的第1项常称为首项

通项 数列中的第n项an，叫数列的通项

2.数列的表示

①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；

②字母表示：上面数列也记为{an}．

数列的分类

【问题导思】

当n分别取1，2，3，4，…时，sin nπ2的值排成一个数列：1，0，－1，0…；当n分别取1，2，3，4，5时，sin nπ2的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？

【提示】 不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．

按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列．

(1)项数有限的数列叫作有穷数列；

(2)项数无限的数列叫作无穷数列．

数列的通项公式

【问题导思】

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：

图1－1－1

上图表示的数可构成数列1，4，9，16，…，这个数列的第n项an与n之间能否用一个函数式表示？怎样表示？

【提示】 可以．函数式可表示为an＝n2.

1．如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那 4 么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

2．数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．

(对应学生用书第2页)

数列的有关概念

下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．

(1){0，1，2，3，4}是有穷数列；

(2)所有自然数能构成数列；

(3)同一个数在数列中可能重复出现；

(4)数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列．

【思路探究】 紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．

【自主解答】 (1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列．

(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．

(3)正确．数列中的数可以重复出现．

(4)错误．数列1，2，3，4，…，2n，共有2n项，是有穷数列．

1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．

2．从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．

下列说法正确的是( )

A．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列

B．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}

C．数列1，12，13，…，1n，…可以记为1n 5 D．数列{2n＋1}的第5项是10

【解析】 数列是有序的，选项A错；数列与数集是两个不同的概念，选项B错；对于D，当n＝5时，a5＝2×5＋1＝11，选项D错，故选C.

【答案】 C

由数列的前n项写出数列的一个

通项公式

写出下列数列的一个通项公式．

(1)1，－3，5，－7，9，…；

(2)3，3，15，21，33，…；

(3)22－12，32－13，42－14，52－15，…；

(4)0.9，0.99，0.999，0.9999，…；

(5)32，1，710，917，….

【思路探究】 分析各项an与对应序号n之间的关系，从中发现规律，得到一个合适的函数解析式，再验证是否正确即可．

【自主解答】 (1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．

(2)数列可化为3，9，15，21，27，…，

即3×1， 3×3，3×5，3×7，3×9，…，

每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝3（2n－1）＝6n－3.

(3)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：an＝（n＋1）2－1n＋1.

(4)原数列可变形为：1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故所给数列的一个通项为an＝1－110n.

(5)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，… 6 即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，

∴可得原数列的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.

1．本题通过观察各项与项数的关系，再进行比较，归纳出结论，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)将数列的各项分解成若干个基本数列后再进行分析归纳．

2．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可以用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．

根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．

(1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；

(3)2，22，222，2 222，….

【解】 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9是相邻两个奇数的乘积，

故an＝2n（2n－1）（2n＋1）.

(2)将分母统一成2，在数列12，42，92，162，252，…中分母为2，分子为n2，故an＝n22.

(3)由9，99，999，9 999，…的通项公式an＝10n－1可知，2，22，222，2 222，…的通项公式为an＝29(10n－1)．

利用通项公式确定数列的项

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

【思路探究】 (1)将n＝4，6代入an即可．

(2)若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项．

【自主解答】 (1)∵an＝3n2－28n，

∴a4＝3×42－28×4＝－64，

a6＝3×62－28×6＝－60. 7 (2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，

解得n＝7，或n＝73(舍)．

∴－49是该数列的第7项，

即a7＝－49.

令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，

解得n＝－2，或n＝343.

∵－2∉N＋，343∉N＋，∴68不是该数列的项．

1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

若本例的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项，若是，应是第几项？

【解】 (1)∵an＝3n2－28n，

∴a3＝3×32－28×3＝－57，

a8＝3×82－28×8＝－32.

(2)设3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－23(舍去)．

∵n∈N＋，∴20是该数列的第10项．

(对应学生用书第3页)

归纳推理在求数列通项公式中的应用

(12分)根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和点数，并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式．