华师大版七年级数学下册教案 第9章 多边形

第9章 多边形

祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。《老子·五十八章》

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教材简析

本章的主要内容包括：(1)三角形的概念及其边角性质；(2)多边形的有关概念以及多边形的内角和与外角和；(3)用多边形的内角和知识探究正多边形在铺设地面中的运用和隐含的数学道理．

三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础．本章将在学习与其有关的线段(三角形的高、中线和角平分线)和角(三角形的内角、外角)的基础上学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和．学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法．本章在中考中，主要考查运用三角形内角和定理、内外角的关系求角的度数，运用多边形内角和公式求角的度数或多边形的边数，以及选择一种或多种正多边形铺设地面．题型以选择题、填空题为主，难度较小．

教学指导

【本章重点】

1．三角形的有关概念及性质．

2．三角形的内角和定理、外角和定理的推导及应用．

3．三角形三边的关系．

【本章难点】

1．多边形的内角和定理及外角和定理的推导及应用．

2．如何运用正多边形铺设地面．

【本章思想方法】

1．体会和掌握分类讨论思想．如解决已知等腰三角形的周长和一边长的相关问题、不清楚三角形形状以及解决与三角形高相关的问题，需要分类讨论．

2．体会方程思想．如根据多边形内角和公式可以建立方程，从而运用方程思想解决．

课时计划 9．1 三角形4课时

9．2 多边形的内角和与外角和2课时

9．3 用正多边形铺设地面2课时

9．1 三角形

9．1.1 认识三角形

第1课时 三角形的相关概念及分类

教学目标

一、基本目标

1．理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念．

2．会将三角形分类．

3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念．

9.2多边形的内角与与外角和（一）

知识技能目标

1.理解多边形的概念和正多边形的概念；

2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.

过程性目标

1.联系三角形的概念，三角形的内角和外角的概念，经历探索多边形和多边形内角、外角的概念；

2.结合实践与应用，充分感受正多边形的意义，体会多边形与三角形之间的相互关系及转化.

一、创设情境

问题1 什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？

二、探索归纳

三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.

记作：△ABC．

四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD．

五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形ABCDE．

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n

边形，又称为多边形.

注意 (1)我们现在只研究多边形，如图(2) ，(3)；

(2)图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围.

与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角.

问题 (1)五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？

答 五边形有5个内角，10个（5对）外角；

六边形有6个内角，12个（6对）外角.

(2)n边形有多少个内角？多少个外角？

答 n边形有n个内角，2n个（n对）外角.

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.

如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

A B C

D

A B C D

E

A B C D E

F

(9) (10) (11)

如图(9)线段AC是四边形ABCD的一条对角线；

—————————— 唐玲制作仅供学习交流 ——————————

唐玲 华师大版七年级下册第９章三角形单元测试题

姓名：

，成绩：

；

一、选择题（９个题，共２７分）

１、（2015江苏南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）

A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）

２、（2015山东潍坊广文中学、文华国际学校一模）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组则此等腰三角形的周长为 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．5或4

３、（ 2014广西玉林市、防城港市）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）

A． 1cm＜AB＜4cm B． 5cm＜AB＜10cm C． 4cm＜AB＜8cm D． 4cm＜AB＜10cm

４、（2015山西,）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）

A．105° B．110° C．115° D． 120°

５、下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）

Ａ、正十边形 Ｂ、正五边形 Ｃ、正八边形 Ｄ、正六边形

６、如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是( )．

A．两点之间线段最短 B．垂线段最短

C．两定确定一条直线 D．三角形的稳定性

７、若三角形三个内角的比为１：２：３，则这个三角形是（ ）

Ａ、锐角三角形 Ｂ、直角三角形 Ｃ、等边三角形 Ｄ、钝角三角形

８、给出下面四个说法：①三角形三个内角的和为360；②三角形一个外角大于它的任何一个内角；③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；④三角形的外角和等于360. 其中正确说法的个数为 （ ）

1 华东师大版七年级数学下册第9章《多边形》教案设计 9.1 三角形 第1课时 教学目标 【知识与技能】 1.了解三角形的基本元素与主要线段. 2.能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法. 3.理解等腰三角形、等边三角形的概念. 【过程与方法】 联系小学已学过的三角形的知识，经历探索三角形基本知识的过程. 【情感态度】 结合实践与应用，充分感受三角形的有关概念，体会三角形按角、按边的分类方法. 教学重难点 【教学重点】 三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念. 【教学难点】 三角形的外角. 课前准备 课件 教学过程 一、情境导入，初步认识 在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题. 【教学说明】使学生明白三角形在生活中的作用，激发学生学习的动力. 二、思考探究，获取新知 1.三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边. 2.如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C或K、L、M等表示，整个三角形表示为△ABC或△KLM(参照顶点的字母). 2 3.如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角. 思考：(1)一个三角形（如△ABC）有多少个内角？多少个外角？ 答：三个内角，表示为∠ABC,∠ACB,∠BAC六个外角（三对）.(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？ 答：两个，是一对对顶角. 4.如图，三个三角形的内角各有什么特点？ (1)中：三个内角均为锐角； (2)中：有一个内角是直角； (3)中：有一个内角是钝角. 那么三角形按角来分，应如何分类？ 【归纳结论】三角形按角可以分为： 所有内角都是锐角——锐角三角形； 有一个内角是直角——直角三角形； 有一个内角是钝角——钝角三角形. 5.如图，三个三角形的边各有什么特点？ (1)中：三角形的三边互不相等； (2)中：三角形有两条边相等； (3)中：三角形的三边都相等. 【归纳结论】我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形). 【教学说明】通过探究、观察、总结得出三角形的相关元素及三角形的分类. 三、运用新知，深化理解 1.如图，三角形有 个，它们是 ，∠ACD是△ 的内角且是△ 的外角，△ 和△ 是钝角三角形. 2.10个点如图所示那样放着，把这些点作为三角形的顶点，可以作多少个正三角形？ 3 3.看图填空 (1)图中有△ABC、△ABE和 、 、； (2)点B是△ABC和 、 、 的公共顶点，∠A是△ABC和 的公共角，BC是△ABC和 、 的公共边. 4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内： 锐角三角形（ ）； 直角三角形（ ）； 钝角三角形（ ）. 【教学说明】对本章知识进行复习巩固. 【答案】1.6个，△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE，ACD和ACE，ABC，ABC,ADE. 2.13个 3.（1）△EBC、△ECD、△BCD， (2) △ABE、△EBC、△BCD，△ABE，△EBC，△BCD. 4.(3)、(5);（1）、（4）、（6）；（2）、（7） 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 课后作业 1.布置作业:教材第82页“习题9.1”中第1题. 2.完成练习册中本课时练习. 五、教学反思 教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同.这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步.从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率. 4 9.1 三角形 第2课时 教学目标 【知识与技能】 1.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示. 2.掌握三角形的角平分线、中线和高的画法. 【过程与方法】 通过画、折等实践活动操作过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力. 【情感态度】 通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心. 教学重难点 【教学重点】 认识三角形的中线、角平分线、高. 【教学难点】 三角形的中线、角平分线、高的应用. 课前准备 课件 教学过程 一、情境导入，初步认识 已知，在△ABC中，AD是BC边上的高， E是BC的中点. 则△ABE与△ACE的面积相等，你知道为什么吗？ 【教学说明】通过问题情境，激发学生好奇心和强烈的求知欲，让学生在生动具体的情境中学习数学. 二、思考探究，获取新知 1.如图所示，过顶点A作△ABC边BC的垂线，垂足为D，线段AD就是△ABC的一条高； 取△ABC边BC的中点E，连结AE，线段AE就是△ABC的一条中线； 作△ABC的内角∠ABC的平分线交AC于点F，线段BF就是△ABC的一条角平分线. 5 显然，△ABC有三条中线、三条角平分线、三条高. 2.（1）下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高. （2）把锐角三角形换成直角三角形后，试一试. （3）把锐角三角形换成钝角三角形后，试一试. 【归纳结论】 1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点； 2.锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点. 【教学说明】使学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的. 三、运用新知，深化理解 1.三角形的角平分线是（ ） A.直线 B.射线 C.线段 D.不确定 2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC是( ) A.边BB′上的中线 B.边BB′上的高 C.∠BAB′的角平分线 D.以上答案都正确 4.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，指出图中相等的线段和相等的角. 6 5.如图，∠ACE=∠BCE,BD=CD，指出图中三角形的特殊线段. 6.如图，把下列条件分别用式子表示出来 (1)AD是△ABC的高； (2)BE是△ABC的角平分线； (3)CF是△ABC的中线. 7.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长. 【教学说明】通过实际问题的解决，让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度. 【答案】1.C 2.B 3.D 4.解：相等的线段有：AE=CE相等的角有：∠BAD=∠DAC. 5.解：CE是△ABC的角平分线. AD是△ABC的中线. ED是△EBC的中线. CF是△ACD的角平分线 6.解：(1)AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°； (2)∠ABE=∠CBE=12∠ABC， 或∠ABC=2∠ABE=2∠CBE； (3)AF=BF=12AB，或AB=2AF=2BF. 7.解：如图，设AD＝x，则DC＝x，AB＝2x.设BC＝y. 7 由题意可以列方程： 解之得：x=3，y=2 所以△ABC的三边长分别为：AB＝AC＝2x=6cm，BC＝y=2cm. 四、师生互动，课堂小结 学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结. 课后作业 1.布置作业:教材第76页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 五、教学反思 课堂上通过同学们在画图等实践活动中充分调动学生自主学习的积极性，丰富学生对此内容的体验和理解，同时发展他们的空间观念，从而提高他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦.当学生在探究过程中遇到困难时，教师层层设问，启发诱导，设计适当的铺垫，让学生在通过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不是代替他们思考，并鼓励探究多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获. 9.1 三角形 第3课时 教学目标 【知识与技能】 1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和. 2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算. 【过程与方法】 联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和. 【情感态度】 结合实践与应用，充分感受三角形外角的性质，体会三角形的外角和它不相邻两个内角之间的关系转化. 教学重难点 【教学重点】 掌握三角形外角的性质以及其外角的和. 【教学难点】 三角形角的有关计算. 课前准备 课件 8 教学过程 一、情境导入，初步认识 1.什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？ 2.三角形的内角和等于多少? 【教学说明】对前面的知识进行复习，为本节课作准备. 二、思考探究，获取新知 1.我们都知道三角形的内角和为180°，那么，你能用几何知识进行证明吗？如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明：∠1+∠2+∠3=180°. 解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD∥BA∵CD∥BA∴∠1=∠ACD∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°∴∠1+∠2+∠3=180° 2.你能根据三角形的内角和计算出直角三角形的两个锐角的度数和吗？ 【归纳结论】三角形的内角和等于180°；直角三角形的两个锐角互余. 3.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角. 三角形的外角与内角有什么关系呢？ 很显然：∠CBD（外角）+∠ABC（相邻内角）=180° 那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ ∵∠CBD+∠ABC=180° ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180° ∴∠CBD=∠ACB+∠BAC 【归纳结论】三角形的外角有两条性质： (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 4.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和. 问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗？ ∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180° 9 ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3 又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180° ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360° 【归纳结论】三角形的外角和等于360°. 【教学说明】学生亲自动手进行几何证明，使学生三角形的内角和与外角和以及外角的性质掌握的更牢固. 三、运用新知，深化理解 1.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A.45° B.60° C.75° D.85° 2.如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列正确的是（） A.∠2=∠4+∠7 B.∠3=∠1+∠6 C.∠1+∠4+∠6=180° D.∠2+∠3+∠5=360° 3.若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列哪个不可能是∠B的度数？（ ） A.37° B.57° C.77° D.97° 4.如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数. 5. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.