华师版七年级数学下册教案第9章 多边形
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第9章 多边形
9．1 三角形
9．1.1 认识三角形
第1课时 三角形的概念
1．了解三角形的基本元素与主要线段．
2．能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法．
3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．
重点
三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念．
难点
三角形的外角．
一、创设情境，问题引入
在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙．
这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？
为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．让我们从三角形开始，探究其中的道理．
二、探索问题，引入新知
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边．
如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C……等表示，整个三角形表示为△ABC.
如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角．
思考：(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角？多少个外角？
答：三个内角，表示为∠ABC，∠ACB，∠BAC六个外角(三对)．
(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？
答：两个，是一对对顶角．
试一试：如图，三个三角形的内角各有什么特点？
(1)中：三个内角均为锐角；
(2)中：有一个内角是直角； (3)中：有一个内角是钝角．
那么三角形按角来分，应如何分类？
结论：三角形按角可以分为：
所有内角都是锐角——锐角三角形；
有一个内角是直角——直角三角形；
有一个内角是钝角——钝角三角形．
试一试：如图，三个三角形的边各有什么特点？
(1)中：三角形的三边互不相等；
(2)中：三角形有两条边相等；
(3)中：三角形的三边都相等．
结论：我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)．
【例1】 如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
分析：分别找出图中的三角形即可．
解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.
【例2】 如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称； (2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
分析：(1)利用以AB为边画三角形，结合E，D，C的位置得出符合题意三角形；(2)利用网格中线段长得出等腰三角形和钝角三角形．
解：
(1)如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB；(2)△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．
三、巩固练习
1．下列说法正确的有( )
①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至 少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④
C．③④ D．①②④
2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．
3．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．
4．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？
5．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.
(1)写出图中所有的直角三角形；
(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第82页“习题9.1”中第1题．
2．完成练习册中本课时练习．
教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步．而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同．这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步．从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题．所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率．
第2课时 三角形的高、角平分线和中线
1．掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示．
2．掌握三角形的角平分线、中线和高的画法．
重点 认识三角形的中线、角平分线、高．
难点
三角形的中线、角平分线、高的应用．
一、创设情境，问题引入
如图，有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
(1)当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，则AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
二、探索问题，引入新知
分析上述问题并给出结论：
(1)AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
(2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．
(3)AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高．
(1)把锐角三角形换成直角三角形后，再试一试．
(2)把锐角三角形换成钝角三角形后，再试一试．
结论：
1．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；
2．锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点．
例1.画出△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )
分析：作哪一条边上的高，即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．
解：过点C作AB边的垂线，正确的是C.
【例2】 如图，已知△ABC的周长为24 cm，AD是BC边上的中线，AD＝58AB，AD＝5 cm，△ABD的周
长是18 cm，求AC的长．
分析：由AD＝58AB，AD＝5 cm，可求出AB的长度，结合△ABD的周长是18 cm，可求出BD的长度，进而可求出BC的长度，再根据△ABC的周长为24 cm，即可求出AC的长．
解：∵AD＝58AB，AD＝5 cm，∴AB＝8 cm.又∵△ABD的周长是18 cm，∴BD＝5 cm.又∵D是BC的中点，∴BC＝2BD＝10 cm.又∵△ABC的周长为24 cm，∴AC＝24－8－10＝6(cm)．
三、巩固练习
1．一定在三角形内部的线段是( )
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
2．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是( )
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△GBC中，CF是BG边上的高
C．△ABC中，GC是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BC边上的高
错误! ,第3题图)
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有________个．
4．如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，则AB＝________.
,第4题图) ,第5题图)
5．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，则AC＝________.
四、小结与作业
小结
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流在学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．
作业
1．教材第76页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
让学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的．
9．1.2 三角形的内角和与外角和
1．掌握三角形的内角和与外角和． 2．理解三角形的外角的两条性质．
3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．
重点
掌握三角形内角和及其外角和．
难点
三角形角的有关计算．
一、创设情境，问题引入
在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和为180°.那么，你能用几何知识进行证明吗？
二、探索问题，引入新知
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角，证明：∠1＋∠2＋∠3＝180°.
解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA.∵CD∥BA，∴∠1＝∠ACD，∵∠3＋∠ACD＋∠DCE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
由三角形的内角和等于180°，可以得出：
结论：直角三角形的两个锐角互余．
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角．
三角形的外角与内角有什么关系呢？
显然有：∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻内角)＝180°
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
∵∠CBD＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠CBD＝∠ACB＋∠BAC.
结论：三角形的外角有两条性质：
1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．
问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？
