排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。

这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。

在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。

2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。

3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。

4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。

5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。

6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。

7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。

这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。

在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。

还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。

动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。

具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。

2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。

3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。

4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。

5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。

这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。

排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。

在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。

研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。

排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。

在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。

我们来讨论固定分组数量的分配问题。

在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。

通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。

假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。

我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。

然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。

根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。

举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。

这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。

一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。

对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。

排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。

高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
数学好教师 2020-02-06
不同种元素
分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。

1. 平均分组
1
2. 不平均分组
2
3. 部分平均分组
3
分配问题：
如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配
同种元素
分组问题：
1
分配问题：
对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法
常规法：
隔板法：
常规法：
隔板法：
经典练习题
1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。

(答案：150种)
2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)
3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)
4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)
5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中
(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)
(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)
6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)。

排列组合中的分组问题分组问题有两大类：一类是相同元素的分组问题，另一类是不同元素的分组问题。

在不同元素的分组问题中包含平均分组和非平均分组及其部分平均分组，以及有序和无序之分。

一、相同元素的分组问题方法：隔板法例1、（1）6人带10瓶矿泉水参加春游，每人至少带1瓶，共有种不同的方法（2）分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有种不同的方法解：（1）解法（一）隔板法：只需把10瓶矿泉水分成6份，每份至少有一瓶，共有59C方法（二）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。

分别有1,1,1,1,0,0、2,1,1,0,0,0、3,1,0,0,0,0、4,0,0,0,0,0、2,2,0,0,0,0.共有43121126636266126C C C C C C C++++=方法（三）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。

需要5块隔板，把5块隔板与4瓶放在一起，每一种放法就是一种分配方案，共有59C（2）方法（一）：实质是把6个人分成4份，有2,2，1，1、3,1,1,1。

共有214410C C+=种方法方法（二）：设置有3块隔板，有3510C=方法。

二、不同元素的分组问题方法：使用分步计数原理例1、 将6本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人得2本（2） 分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本（3） 甲、乙、丙三人3人，其中一人得1本，一人得2本，1人得3本。

（4） 若平均分成三堆，有几种分法？解：（1）按照分类计数原理222642C C C （属于有序平均分组）（2）按照分类计数原理123653C C C （属于无序非平均分组）（3）按照分类计数原理12336533C C C A （属于有序非平均分组）（4）22264233C C C A 注意：分类计数原理是有序的，（1）、（4）的区别在于一个有序，另一个无序。

排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 研究背景在现代社会中，排列组合中的分组分配问题是一个经常出现的实际问题，如资源分配、任务分配、人员安排等。

这些问题具有复杂性和多样性，需要通过合理的解决方案来进行有效的分析和处理。

在实际应用中，我们经常需要考虑如何将一组对象分成若干组，并满足一定的条件和限制。

这涉及到不同对象的组合方式和分组方式，需要通过排列组合的方法来进行求解。

研究背景中，我们可以看到排列组合中的分组分配问题具有重要的理论意义和实际应用价值。

在实际生活中，我们可能需要根据不同的需求和条件，对一组对象进行合理的分组分配，以达到最优的效果和利益。

研究如何在排列组合中找到最佳的分组分配方案是非常重要的。

通过深入研究和分析排列组合中的分组分配问题，可以为实际生活和工作中的决策提供科学依据和有效方法。

这一领域的研究具有重要的意义和价值，也为我们提供了更多挑战和机遇。

的探讨，将有助于我们更深入地了解排列组合中的分组分配问题的复杂性和研究现状，为接下来的内容提供更好的铺垫。

1.2 研究意义排列组合中的分组分配问题是组合数学中一个重要且具有实际应用意义的问题。

研究这一问题的意义主要体现在以下几个方面：分组分配问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。

在资源分配、任务调度、排班安排等方面，都需要考虑如何将不同的元素或任务进行合理的分组分配。

通过有效解决分组分配问题，可以提高资源利用效率，降低成本，提高工作效率，实现资源的最优配置。

研究分组分配问题有助于深入理解排列组合的基本概念和性质。

分组分配问题涉及到元素的排列和组合，需要运用排列组合的知识来解决。

通过深入研究分组分配问题，可以增强对排列组合问题的理解，并为进一步研究组合数学相关问题打下基础。

研究分组分配问题还可以促进算法设计和优化的发展。

分组分配问题在计算机科学领域涉及的算法设计和优化问题，可以启发人们思考如何设计高效的算法来解决复杂的组合问题。

分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。

该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。

解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。

下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。

一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。

这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。

具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。

2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。

设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。

其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。

3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。

二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。

在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。

多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。

具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。

通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。

2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。

利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。

3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。

在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。

1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。

在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。

2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。

在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。

具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。

3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。

在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。

具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。

4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。

在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。

浅析排列组合中分组分配问题的解题策略ʏ成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋排列组合问题是高考数学中的必考题型,题型多变,解题方法也多种多样㊂其中分组分配问题是排列组合中的一类综合性问题,也是排列组合中的难点,两者之间既有区别又有联系,稍不留意就会引发混淆㊂为了解决这一棘手问题,下面将结合几个例题谈一谈解答分组分配问题的策略㊂一、分组问题1.完全均匀分组例1 6本不同的书,按下列要求分配,求各有多少种不同的分法:(1)分给甲㊁乙㊁丙三人,每人2本;(2)分为三份,每份2本㊂解析:(1)将6本不同的书分给甲㊁乙㊁丙三人,每人2本,可以分为三步完成:第一步,先从6本书中选2本给甲,有C 26种选法;第二步,从剩余的4本中选2本给乙,有C 24种选法;第三步,最后剩余的2本给丙,有C 22种选法㊂由分步乘法计数原理知,共有C 26C 24C 22=15ˑ6ˑ1=90(种)不同的分法㊂(2)本题属于无序均匀分组问题㊂按有序分组,则有C 26C 24C 22种方法,但出现了重复㊂不妨记6本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,第一步取A B ,第二步取C D ,第三步取E F ,记该种分法为(A B ,C D ,E F )㊂但还有(A B ,E F ,C D ),(C D ,A B ,E F ),(C D ,E F ,A B ),(E F ,A B ,C D ),(E F ,C D ,A B ),这A 33种情况只能记为一种方法㊂故分配方法有C 26C 24C 22A 33=15(种)㊂2.部分均匀分组例2 2023年亚运会在杭州举办期间,将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,分赴亚运会的4个不同场馆服务,不同的分配方案的种数为( )㊂A.4320 B .1080C .180D .90解析:将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,有C 26C 24C 12C 11A 22A 22=45(种)方法,进而将其分配到4个不同场馆,有A 44=24(种)方法㊂由分步计数原理可得,不同的分配方案有45ˑ24=1080(种)㊂选B ㊂点评:该问题属于先平均分组(堆)再分配的问题,先将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,再将其分配到4个不同场馆即可㊂在分组过程中,要注意分组重复的情况,理解C 26C 24C 12C 11A 22A 22中分母的意义㊂3.完全非均匀分组例3 要把9本不同的课外书分给甲㊁乙㊁丙3名同学,如果要求一人得4本,一人得3本,一人得2本,则不同的分法共有多少种解析:要完成分配任务,可以分为两步:第一步,将9本书按照4本㊁3本㊁2本分为三组,有C 49C 35C 22种方法;第二步,将分好的3组书分别给3个人,有A 33种方法㊂因此,不同的分法数为C 49C 35C 22A 33=9ˑ8ˑ7ˑ64ˑ3ˑ2ˑ1ˑ5ˑ42ˑ1ˑ1ˑ3ˑ2ˑ1=7560㊂点评:完全均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象,注意计算公式的应用㊂重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m !㊂关于分组问题,有完全均匀分组㊁完全非均匀分组和部分均匀分组三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复情况㊂无论分成几组,应注意只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象,解决这类问题必须按照均匀分组的公式来解决㊂例4 将6本不同的书分给甲㊁乙㊁丙㊁丁4个人,每人至少一本的不同分法共有2 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月种㊂解析:先把6本不同的书分成4组,再分给4个人,但该题易出错的地方有两个:一是分组考虑不全造成漏解,分组方式有2种,即3,1,1,1与2,2,1,1;二是2,2,1,1分组时,忽视均匀分组问题造成增解㊂把6本不同的书分成4组,每组至少一本的分法有2种㊂①1组有3本,其余3组每组1本,不同的分法共有C 36㊃C 13C 12C 11A 33=20(种);②有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有C 26C 24A 22㊃C 12C11A 22=45(种)㊂不同的分组方法共有20+45=65(种)㊂然后把分好的4组分给4个人,所以不同的分法共有65ˑA 44=1560(种)㊂二、分配问题1.相同元素的分配问题相同元素的分配问题,常用 隔板法 ,即将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排形成的n -1个空隙中,共有C m -1n -1种方法㊂例5 方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解共有( )组㊂A.165 B .120 C .38 D .35图1解析:如图1,将12个完全相同的球排成一排,在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板,把球分成四组,每一种分法所得球的数目依次是x 1㊁x 2㊁x 3㊁x 4,显然满足x 1+x 2+x 3+x 4=12,故(x 1,x 2,x 3,x 4)是方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的一组解㊂反之,方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式,故方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解的数为C 311=11ˑ10ˑ93ˑ2ˑ1=165,选A ㊂点评:相同元素分配问题的常见处理策略如下㊂①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一排放置,便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个 盒㊂每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法㊂隔板法专门解决相同元素的分配问题㊂②将n 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),每个对象至少分得一个元素,有C m -1n -1种方法㊂可描述为在n -1个空中插入m -1块隔板㊂③将n 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),有C m -1n +m -1种方法㊂可转化为将n +m 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),每个对象至少分得一个元素,有C m -1n +m -1种方法㊂即在n +m -1个空中插入m -1块隔板㊂2.不同元素的分配问题不同元素的分配问题,一般利用分步乘法计数原理,先分组,后分配㊂例6 将4名大学生分配到3个乡村去支教,每个乡村至少1名大学生,则不同的分配方案有种㊂解析:(方法一)分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有C 24C 12C 11A 22种;第二步,将分好的三组大学生分配到3个乡村,其分法有A 33种㊂所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A22A 33=36(种)㊂(方法二)根据题意知必有2名大学生去同一个村,从4名大学生中任选2名捆绑在一起,故有C 24A 33=36(种)方案㊂总之,解答排列组合问题的关键在于判断问题属于不均分问题㊁整体均分问题,还是部分均分问题㊂有关 分组与分配 的问题还有很多内容,上述的研究仅仅是冰山一角,希望能为同学们的数学学习提供帮助㊂(责任编辑 徐利杰)12解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月。