排列组合中的分组分配问题ppt课件

太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。

分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。

现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。

以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。

（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。

分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。

排列组合中的分组分配问题一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m 表示组数。

例如 把abcd 分成平均两组有_____多少种分法？例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？C 4 2 C 22 A 2 2 3ab cd ac bd ad bccdbd bc ad ac ab这两个在分组时只能算一个①每组两本.22264233C C CA②一组一本，一组二本，一组三本.615233CCC③一组四本，另外两组各一本.41162122C C CA=15(种)定向分配④乙两本、丙两本.222642C C C=90(种⑤甲一本、乙两本、丙三本.615233CCC=60(种)⑥甲四本、乙一本、丙一本.411621C C C=30(种不定项分配⑦每人两本.22264233C C CA33A=90(种)⑧一人一本、一人两本、一人三本. 615233CCC33A=360⑨一人四本、一人一本、一人一本.41162122C C CA33A=90⑩6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本。

540本不定向分配题的一般原则：先分组后排列11结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非平均分组 （分步组合法）“非平均分组”是指将全部元素分成元素个数互相不相等的组。

例 1、 7 人参加义务劳动，按以下方法分组有多少种不相同的分法？①分成 3组，分别为 1人、 2 人、 4 人；②选出 5个人分成 2 组，一组 2 人，另一组 3人。

解：①先选出 1人，有 C 17 种，再由剩下的 6 人选出 2 人，有 C 62 种，最后由剩下的 4 人为一组，有 C 44 种。

由分步计数原理得分组方法共有C 71C 62 C 44 105 （种）。

②可 选分同步 。

先从 7 人中选出 2 人，有 C 72 种，再由剩下的 5 人中选出 3 人，有 C 53种，分组方法共有 C 72C 53210 （种）。

也可 先选后分 。

先选出 5 人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有C 75C 52 C 33 210 （种）。

二、平均分组 （去除重复法）“平均分组”是指将全部元素分成全部组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部平均分组 （去除重复法）23例 2、 7人参加义务劳动，选出6人，有多少种不相同的分法？个人，分成 组，每组都是 解： 可选分同步 。

先选 3 人为一组，有 C 73 种；再选 3 人为另一组，有 C 43 种。

又有 2 组都 是 3人，每 A 22 种分法只能算一种，因此不相同的分法共有 C 73C 43 70 （种）。

A 22也可 先选后分 。

不相同的分法共有 C 76 C 63C 3370 （种）。

A 22㈡部分平均分组 （去除重复法）例 3、 10个不相同零件分成 4 堆，每堆分别有 2 、 2 、 2 、 4 个，有多少种不相同的分法？解：分成 2 、 2 、 2 、 4 个元素的 4 堆，分别有 C 102 、 C 82 、 C 62 、 C 44 种，又有 3 堆都是 2个元素，每 A 33 种分法只能算一种，因此不相同的分组方法共有C 102C 82 C 62 C 44 3150 （种）。

排列组合中的分组分配问题在排列组合教学中，分组分配问题是一个重要且难以理解的概念。

有些排列组合问题看起来不是分配问题，但实际上可以用分配问题的方法来解决。

一、区分分组与分配问题将n个不同的元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分为定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同就不区分；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例如，六本不同的书分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？1.每组两本。

分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是C6^2C4^2=90种，但这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A3^3，所以分法是C6^2C4^2/A3^3=15种。

2.一组一本，一组二本，一组三本。

先分组，方法是C6^1C5^3，不需要除以A3，因为每组的书的本数不一样，不会出现相同的分法，即共有60种分法。

3.一组四本，另外两组各一本。

分组方法是C6^4C2^1C1^1=30种，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，C6^2C1^1不可能重复。

所以实际分法是15种。

通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是m1n/m2(n-m1)Cm3(n-m1-m2)…Cmp(m-k+1)。