10.2排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本.（2）一组一本，一组二本，一组三本.（3）一组四本，另外两组各一本.分析：（1）分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是c26c24c22=90（种），这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1，2）（3，4）（5，6）与（3，4）（1，2）（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数a33，所以分法是c26c24c22a33=15（种）。

（2）先分组，方法是c16c25c33，那么还要不要除以a33？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有c16c25c33=60（种）分法。

（3）分组方法是c46c12c11=30（种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是c46c12c11a22=15（种）。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。

这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。

在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。

2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。

3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。

4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。

5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。

6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。

7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。

这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。

在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。

还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。

动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。

具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。

2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。

3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。

4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。

5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。

这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。

排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题在数学和计算机科学中是一个重要的问题，它涉及到如何将一组对象分配到不同的集合中，使得每个集合包含的对象满足特定的条件。

在实际生活中，这种问题也经常出现，比如在制定班级或团队分组、分配资源等方面。

在这篇文章中，我们将讨论排列组合中的分组分配问题，并介绍一些有效的解法，希望能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 理解排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题，通常可以描述为以下几种形式：（1）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同；（2）将N个对象分成K个组，每个组的大小相同；（3）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同，但满足一定条件。

在实际应用中，这些问题可能会涉及到一些约束条件，比如每个组中的对象之间有特定的关系，或者每个组中的对象有特定的属性，这将在具体问题中得到体现。

2. 有效解法为了解决排列组合中的分组分配问题，我们介绍一些有效的解法，包括暴力穷举、动态规划和回溯法等。

（1）暴力穷举暴力穷举是一种简单直接的方法，它通过遍历所有可能的组合来寻找符合条件的分组分配。

这种方法的优点是容易理解和实现，但是当问题规模较大时，时间复杂度会非常高，需要花费大量的计算资源。

暴力穷举一般适用于问题规模较小的情况。

（2）动态规划动态规划是一种常用的解决排列组合问题的方法，它通过将原问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠的性质。

通过记录中间结果，可以避免重复计算，从而提高效率。

在分组分配问题中，动态规划可以用来求解不同组合的分配方案数量、找到最优的分组方案等。

通过定义状态转移方程和设计合适的算法，可以高效地解决大规模的分组分配问题。

（3）回溯法回溯法是一种递归地穷举所有可能的解决方案，通过不断地试探和回溯来寻找最优的解决方案。

在分组分配问题中，回溯法可以用来找到满足条件的分组方案，或者列举所有可能的分配方案。

回溯法的优点是能够找到所有可能的解，但是在问题规模较大时，时间复杂度会很高，需要耗费大量的计算资源。

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。

(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。

(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。

结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmm m m nn m n m m m k kC CCC A---⋯。

排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 研究背景在现代社会中，排列组合中的分组分配问题是一个经常出现的实际问题，如资源分配、任务分配、人员安排等。

这些问题具有复杂性和多样性，需要通过合理的解决方案来进行有效的分析和处理。

在实际应用中，我们经常需要考虑如何将一组对象分成若干组，并满足一定的条件和限制。

这涉及到不同对象的组合方式和分组方式，需要通过排列组合的方法来进行求解。

研究背景中，我们可以看到排列组合中的分组分配问题具有重要的理论意义和实际应用价值。

在实际生活中，我们可能需要根据不同的需求和条件，对一组对象进行合理的分组分配，以达到最优的效果和利益。

研究如何在排列组合中找到最佳的分组分配方案是非常重要的。

通过深入研究和分析排列组合中的分组分配问题，可以为实际生活和工作中的决策提供科学依据和有效方法。

这一领域的研究具有重要的意义和价值，也为我们提供了更多挑战和机遇。

的探讨，将有助于我们更深入地了解排列组合中的分组分配问题的复杂性和研究现状，为接下来的内容提供更好的铺垫。

1.2 研究意义排列组合中的分组分配问题是组合数学中一个重要且具有实际应用意义的问题。

研究这一问题的意义主要体现在以下几个方面：分组分配问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。

在资源分配、任务调度、排班安排等方面，都需要考虑如何将不同的元素或任务进行合理的分组分配。

通过有效解决分组分配问题，可以提高资源利用效率，降低成本，提高工作效率，实现资源的最优配置。

研究分组分配问题有助于深入理解排列组合的基本概念和性质。

分组分配问题涉及到元素的排列和组合，需要运用排列组合的知识来解决。

通过深入研究分组分配问题，可以增强对排列组合问题的理解，并为进一步研究组合数学相关问题打下基础。

研究分组分配问题还可以促进算法设计和优化的发展。

分组分配问题在计算机科学领域涉及的算法设计和优化问题，可以启发人们思考如何设计高效的算法来解决复杂的组合问题。

分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。

排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。

在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。

1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。

在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。

2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。

在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。

具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。

3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。

在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。

具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。

4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。

在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到的问题领域非常广泛，其中之一就是分组分配问题。

分组分配问题是指将一定数量的元素分配到若干个组中，并且每个组的元素数量可能不同。

在实际应用中，分组分配问题有着广泛的应用，比如分配任务、分配资源等。

在这篇文章中，我们将介绍一些有效的解决分组分配问题的方法。

让我们来定义一下分组分配问题的数学模型。

假设有n个元素和m个组，每个元素只能分配到一个组中，并且每个组的元素数量可能不同。

我们的目标是找到一种分配方案，使得每个元素都被分配到一个组中，且每个组的元素数量满足一定的条件。

在实际问题中，要解决分组分配问题，需要考虑以下几个因素：1. 元素的数量和组的数量：分组分配问题的规模取决于元素的数量和组的数量。

如果元素和组的数量都很大，那么问题的难度也会增加。

2. 分配条件：每个组的元素数量可能受到一些限制条件的约束，比如每个组的元素数量之和必须等于总的元素数量。

解决分组分配问题时，需要考虑这些条件，并找到满足条件的分配方案。

3. 目标函数：在分组分配问题中，我们通常会有一些额外的参考标准，比如使得每个组的元素数量尽可能均匀，或者使得某个组的元素数量最大等。

这些参考标准可以通过定义一个目标函数来实现，然后再根据目标函数来选择最优的分配方案。

在解决分组分配问题时，可以采用不同的方法，其中一些常用的方法包括：1. 暴力枚举法：暴力枚举法是一种常用的解决分组分配问题的方法。

它的基本思想是对所有可能的分配方案进行穷举，然后根据目标函数来选择最优的分配方案。

虽然暴力枚举法可以找到最优的分配方案，但是当元素和组的数量较大时，算法的时间复杂度会呈指数级增长，效率较低。

2. 贪心算法：贪心算法是一种常用的启发式算法，它的基本思想是每次选择当前最优的分配方案，并在后续的选择中继续按照最优的原则进行分配。

贪心算法可以在较短的时间内找到较好的解，但是不能保证一定能找到最优的解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是概率与统计中的基础知识点，其中包括排列、组合等概念。

在实际生活中，我们经常会遇到需要对一个集合内的元素进行分组和分配的问题，这些问题又被称为分组分配问题。

例如，在一个班级中，我们需要将学生分成若干组，或者在一个公司中，我们需要将员工分配到不同的部门，这些都属于分组分配问题，而排列组合则提供了有效的解决方法。

一、排列组合的基本概念1. 排列排列用于描述一组元素的各种排列方式。

例如，由 A、B、C 三个元素组成的集合，其所有排列包括 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA 共 6 种。

排列的数量为 n!，其中 n 为集合中元素的个数。

排列与顺序有关，即不同顺序的排列被视为不同的结果。

2. 组合二、分组分配问题的解决方法1. 确定组数解决分组分配问题的第一步是确定分成几组，或者分配到几个部门。

这个数目通常由具体问题所确定，如班级分组时可能要求分成 2、3 或 4 组等。

2. 确定元素第二步是确定需要分组或分配的元素，即确定学生、员工、球队等。

这个数目也由具体问题所确定。

接下来，我们需要确定分成的每一组的元素个数，或者每个部门中的员工个数。

这个分组方式的确定关系到具体问题的解决。

4. 应用排列组合最后，我们可以应用排列组合的知识来解决分组分配问题。

例如，在班级分组时，如果确定分成 2 组，每组各 10 人，则分组的总方法数为 45。

这个计算过程可以用排列组合的方法来解决：先从 20 个学生中选出 10 个，共 C(20, 10) 种方法，然后将这 10 个学生划分到两个组中，使用排列的方法可以得到 2(10!) 种方案。

因此，班级分组的总方案数为2(10!)C(20, 10) = 45。

在公司分配员工到部门时，如果要求每个部门中的员工数量相同，且每个部门至少要有一个员工，则可以使用组合数目和整数划分的知识来解决问题。

具体方法如下：设共有 n 个员工，要分成 k 个部门，每个部门包含 m 个员工。

排列组合中的分组分配问题仁荣中学 杨明关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C C A =15(种)。

(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。

(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。

本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。

一、基本定义：1、 排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

2、 组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

3、 排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。

所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。

另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。

综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、 均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、 均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、 不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、 不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。

其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，也是现实生活中经常遇到的问题之一。

在这个问题中，我们需要将一组物品或者对象分成若干个部分，并且满足一定的条件。

分组分配问题在很多领域都有应用，比如在工程设计中，人力资源分配中，商品生产中等。

解决这类问题需要用到排列组合的知识，以及一些有效的解法。

本文将介绍一些排列组合中的分组分配问题的有效解法。

一、排列组合的基本概念在开始介绍分组分配问题的有效解法之前，我们需要先了解一些排列组合的基本概念。

排列和组合是数学中的两个基本概念，它们都是用来描述从一个集合中选取若干元素的方式。

1. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列。

在排列和组合中，元素的重复情况也是一个需要考虑的问题。

比如在排列中，元素的重复次序是不同的排列，而在组合中，只考虑元素的选择而不考虑顺序。

二、分组分配问题的有效解法1. 贪心算法贪心算法是一种解决分组分配问题的有效方法。

贪心算法的基本思想是每一步都选择局部最优解，最终将得到全局最优解。

在分组分配问题中，我们可以根据一定的标准进行分组，比如按照物品的重量、价格、大小等进行分组。

在每一步中，选择当前最优的分组方案，经过若干步之后得到整体最优解。

贪心算法的优势在于可以快速得到一个较好的解，但是也有一定的局限性，可能不能得到全局最优解。

在实际应用中，可以根据具体情况选用贪心算法。

2. 动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种有效方法。

动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将问题分解成若干子问题进行求解，最终得到全局最优解。

3. 回溯算法回溯算法是解决分组分配问题的一种基本方法。

回溯算法的基本思想是逐步尝试每一种可能的分组方案，直到找到满足条件的分组方案为止。

在回溯算法中，需要考虑到可能的分支和剪枝，以及如何快速得到解。

在解决分组分配问题时，可以根据具体情况选择贪心算法、动态规划、回溯算法等不同的解法。

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1)每组两本.（2)一组一本,一组二本，一组三本。

(3)一组四本，另外两组各一本。

分析：(1)分组与顺序无关,是组合问题。

分组数是624222C C C=90（种），这90种分组实际上重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1，2)（3，4）（5，6）与(3,4）(1，2)（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15（种）。

(2）先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种）分法.（3）分组方法是642111C C C=30（种），那么其中有没有重复的分法呢?我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是41162122C C CA=15（种)。

结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2,…，mp ，其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.（2）一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本。

分析：（1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码,考察以下两种分法:(1，2)（3，4)（5,6）与（3，4）（1,2）（5,6）,由于书是均匀分组的,三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15（种）.(2)先分组,方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现,由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60（种) 分法。

(3）分组方法是642111C C C=30(种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。

结论1：一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m1,m2,…,mp，其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题,澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.（2）一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本。

分析：（1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码,考察以下两种分法:(1，2)（3，4)（5,6）与（3，4）（1,2）（5,6）,由于书是均匀分组的,三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15（种）.(2)先分组,方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现,由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60（种) 分法。

(3）分组方法是642111C C C=30(种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。

结论1：一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m1,m2,…,mp，其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。