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截面特性(New2)

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材料力学 截面几何特性

材料力学 截面几何特性
= 144 ×10 4 mm 4 + 1200mm 2 × (20mm) 2 + 0.58 ×10 mm + 700mm × (35mm)
4 4 2 2
= 278.33mm
4
I xC yC = A1 xc1 yc1 + A2 xc 2 yc 2
= 1200mm × (15mm) × (20mm)
2
A
ρ
= ∫ ( yC + b) 2 dA
A 2 = ∫ ( yC + 2byC + b 2 )dA A
= I xC + 2bS xC + b 2 A
I x = I xC + 2bS xC + b 2 A
因为C为形心 因为 为形心
S xC = AyC = 0
Ix = IxC + b2 A
同理: 同理:
+ 700mm × (25mm) × (35mm)
2
= 97.25 ×10 4 mm 4
(2)计算主轴位置
tan 2α 0 =
2 I xy Ix Iy
2 × 97.25 ×10 4 mm 4 = 100.33 ×10 4 mm 4 278.33 ×10 4 mm 4 = 1.093
α 0 = 113.80
I x1 = ∫ y12 dA
α
= ∫ ( x sin α + y cos α ) dA
2
= I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = Ix + Iy 2 + Ix Iy 2 cos 2α I xy sin 2α

材料力学截面特性汇总

材料力学截面特性汇总

材料力学截面特性汇总一、引言材料力学截面特性是材料在应力作用下的力学性能表现。

在工程设计和结构分析中，了解材料力学截面特性对于确保结构的稳定性和安全性至关重要。

本文将对常见材料的力学截面特性进行汇总和总结，以供工程师和设计师参考和应用。

二、材料力学截面特性的概念材料力学截面特性是指材料在截面上的力学性能。

根据截面特性的研究对象的不同，可以分为以下几个方面：1. 截面形状特性截面形状特性是指截面的几何形状对其力学性能的影响。

截面形状特性包括截面面积、截面惯性矩、截面备战半径等。

例如，在梁的设计中，截面形状特性可以用来计算梁的承载能力和抗弯刚度。

2. 材料特性材料特性是指材料的物理和力学性质对其截面性能的影响。

材料特性包括杨氏模量、泊松比、屈服强度等。

在结构设计过程中，需要结合材料特性来计算结构的应变和应力分布。

3. 比例限制特性比例限制特性是指截面受应力作用时，截面形变受限的程度。

比例限制特性包括平面内应变、截面扭转等。

在设计中，比例限制特性能够预测结构在加载过程中的变形情况，从而优化结构设计。

三、常见材料的力学截面特性1. 钢材钢材是一种广泛应用于工程和建筑领域的材料，具有良好的力学性能和强度。

常见的钢材力学截面特性包括：•弹性模量：钢材的弹性模量通常较高，能够承受较大的应力而不发生塑性变形。

•屈服强度：钢材的屈服强度表示了钢材能够承受的最大应力，超过屈服强度后，钢材会发生塑性变形。

•剪切模量：剪切模量描述了钢材在剪切应力作用下的变形程度。

•截面惯性矩：截面惯性矩用于计算梁的扭转刚度和截面的抗扭能力。

2. 混凝土混凝土是一种常用于建筑结构的材料，具有较高的抗压强度和耐久性。

混凝土的力学截面特性包括：•压力区形状特性：混凝土在受压作用下会出现压力区，该区域的形状对混凝土的抗压承载能力有影响。

•弯曲形变特性：混凝土在受弯曲作用下会产生变形，在设计过程中需要考虑混凝土的弯曲刚度和变形限制。

•截面抗剪特性：混凝土的截面抗剪特性影响着结构的抗剪能力，在设计中需要选择适当的截面形状和钢筋布置来增强抗剪能力。

截面特性02

截面特性02

Am 48926 50734 54350 59774 67006
Im 278690149.3 344957688.2 504360890.9 816052046.8 1381344736
各截面特性（把对应的H和h代入黄色的单元格）用替换功能 分块号 1 2 3 4 5 合计 分块面积Ai 7000 10500 8600 20859.99931 12813.99579 Am= 59773.9951 Yi(cm) 5 20 10 148.9999951 283.0999951 Ys= 118.2 Si 35000 210000 86000 3108139.796 3627642.144 Si求和= 7066781.94 Ys-Yi(cm) 113.2 98.2 108.2 -30.8 -164.9 Ix 89739340.68 101305628.8 100728838 19756482.69 348332540.7 659862830.9 Ii 58333.33333 525000 286666.6667 154370938.1 948277.7778 156189215.9
Am
Im
48926 278690151.1 50734 254649794.4 54350 504360952.3 59774 816052205.1 67006 1381345089
各截面特性（把对应的H和h代入黄色的单元格）用替换功能 分块号 1 2 3 4 5 Am= 合计 59774 分块面积Ai 7000 10500 8600 20860 12814 Yi(cm) 5 20 10 149 283.1 Ys= 118.2 Si 35000 210000 86000 3108140 3627643.4 Si求和= 7066783.4 Ys-Yi(cm) 113.2 98.2 108.2 -30.8 -164.9 Ix 89739364.04 101305659.2 100728865.4 19756470.71 348332613.7 659862973.1 Ii 58333.33333 525000 286666.6667 154370953.3 948278.7133 156189232

截面特性计算表

截面特性计算表

第一阶段L/4截面几何特性计算表第一阶段支点截面几何特性计算表浅析规则式植物造景和自然式植物造景苏旺指导老师：汪小飞（黄山学院生命与环境科学学院，安徽黄山245041）摘要：本文分析了规则式植物造景和自然式植物造景，和他们各自的造景特色和主要适用在什么场合。

探讨了规则式植物造景和自然式植物造景二者包括的造景形式以及他们在造园体系、表现手法上的不同点。

介绍了它们在各个国家、地域的各有特色。

最后我们应该适宜运用各种造景形式。

关键字：规则式植物造景，自然式植物造景Analysis of rule-plant landscaping andnature plant landscapeSu WangDirector：Wang Xiaofei(College of Life & Environmental Sciences, Huangshan University,Huangshan245041, China)Abstract：This article analyses the rules scene building with plants and nature plant landscape, and their landscape and mainly used on occasion.Discusses rules for scene building with plants and nature plant landscape landscape including the two forms as well as their gardening system, on the presentation of different points.Describes them in the various countries, geographical features.Finally we should be appropriate to use various landscape forms.Keyword：Rules-plant landscaping, nature plant landscape1.树木配置的形式按照树木的生态习性，运用美学原理，依其姿态、色彩、干形进行平面和立面的构图，使其具有不同形态的有机组合，构成千姿百态的美景，创造出各种引人入胜的树木景观。

截面特性

截面特性

在工程应用中，塑性材料梁多采用以中性轴为对称轴的
截面 。脆性材料，因其抗拉性能明显弱于抗压性能，多采用 不对称于中性轴的截面，并且要求梁在工作中满x。
例4-3一槽形截面梁如图所示，已知Iz=5.493×10-5m4，y1=0.086m， y2=0.134m，a=2m，F=30kN。试求梁的σtmax和σcmax。
b h 2 A h 2 h 2
I zC y C d A
b3h yC h d yC 12
2 b 2 b 2
I yC z C y C z C d A
A
yC d yC
h 2 h 2
zC d zC 0
三、平行移轴公式
平行移轴公式给出图形对
两平行轴的惯性矩或对两平行
iy
Iy A
iz
Iz A
例4-2 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩和惯性积。 解：根据定义来求
bh3 Iy z d A z bd z A 0 3 b b3h 2 2 Iz y d A y hd y A 0 3
2 h 2
I yz I yC
b2h2 yz d A y d y z d z A 0 0 4 h bh3 2 2 z 2b d z zC d A h C C A 12 2
3. 公式的应用条件：
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图： F a
b
c
F
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
F
F
F
二、轴力在斜截面引起的应力
设有一等直杆受拉力F作用。 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Fa=F 则： pa

截面特性计算范文

截面特性计算范文

截面特性计算范文截面特性是用来描述截面形状参数的物理特性。

在工程设计和分析中，截面特性的计算对于确定结构的强度和刚度非常重要。

本文将介绍截面特性的计算方法，包括截面面积、几何中心、惯性矩、极距、截面模量等。

1.截面面积：截面面积是指截面内的总面积。

对于矩形和圆形截面，截面面积的计算非常简单。

例如，矩形截面的面积等于宽度乘以高度。

而对于复杂形状的截面，可以通过将截面分解为一系列简单几何形状的组合来计算。

2.几何中心：几何中心是截面的重心所在的位置。

它是在进行弯曲时所需施加的力在截面上产生的弯矩为零的点。

对于简单几何形状的截面，几何中心可以通过几何方法或代数方法来计算。

例如，矩形截面的几何中心就是其面积所在的中心点。

3.惯性矩：惯性矩是表征截面抵抗转动的能力。

惯性矩的计算需要考虑截面形状和轴线的位置。

惯性矩主要包括二阶矩和三阶矩。

二阶矩（I）也称为截面面积惯性矩，它是通过对截面上的每一小块区域的质量矩进行叠加求和得到的。

三阶矩（J）也称为极惯性矩，它主要用于计算截面的抗扭刚度。

惯性矩的计算通常需要数值方法，例如使用数值积分或采用专业软件进行计算。

4.极距：极距是指截面边缘到截面几何中心的距离。

极距是用来确定截面的延性和抗扭刚度的重要参数。

在计算极距时，通常使用原点到截面边缘的最短距离。

5.截面模量：截面模量是用来描述截面的弯曲刚度。

它是截面惯性矩与截面的最大纵向距离之比。

截面模量通常用于计算截面在受弯矩作用下的变形。

总的来说，截面特性的计算是工程设计和分析中非常重要的环节。

它们不仅可以用于计算结构的强度和刚度，还可以用于优化结构设计，减少结构重量和成本。

对于复杂形状的截面，可以使用数值方法或专业软件进行计算。

此外，在截面特性计算中，还需考虑材料的弹性和塑性特性、结构的边界条件等因素，以得到更准确和可靠的结果。

截面几何特性

截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dA ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ∫∫==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为 则 0 C C z y ,A S y x= ， AS x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ……321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为……332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为。

3m (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为∫=Ap dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为∫=Ay dA x I 2 ， （I-6）dA y I Ax ∫=2惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。

《工字钢截面特性》word版

按照截面积大体相近，并且饶X轴的抗弯强度不低于相应工字钢的原则，计算出了标准中H型钢有关型号与GB/T706-88〈热轧工字钢尺寸、外形、重量及允许偏差〉〉中的工字钢的有关型号以及他们的性能参数比较表（见表Ｂ１），以供有关人员在使用Ｈ型钢替代工字钢时参考。

表Ｂ１Ｈ型钢与工字钢型号及性能参数比较表热轧普通工字钢型号H B d t A Iy(mm4) Ix(mm4)普工10 100 68 4.5 7.6 1433 328000 2450000 普工12.6 126 74 5 8.4 1810 469000 48普工14 140 80 5.5 9.1 2150 643000 7120000 普工16 160 88 6 9.9 2611 93100011270000普工18 180 94 6.5 10.7 3074 122900016690000普工20a 200 100 7 11.4 3555 157900023690000普工20b 200 102 9 11.4 3955 1690000 25020000普工22a 220 110 7.5 12.3 4210 2259000 34060000普工22b 220 112 9.5 12.3 4650 2402000 35830000普工25a 250 116 8 13 4851 2804000 50170000普工25b 250 118 10 13 5351 2973000 52780000普工28a 280 122 8.5 13.7 5537 3441000 71150000普工28b 280 124 10.5 13.7 6097 3638000 74810000普工32a 320 130 9.5 15 6712 4590000 110800000普工32b 320 132 11.5 15 7352 4838000 116260000普工32c 320 134 13.5 15 7992 5101000 121730000普工36a 360 136 10 15.8 7644 5549000 157960000普工36b 360 138 12 15.8 8364 5836000 165740000普工36c 360 140 14 15.8 9084 6140000173510000普工40a 400 142 10.5 16.5 8607 6599000217140000普工40b 400 144 12.5 16.5 9407 6928000227810000普工40c 400 146 14.5 16.5 10207 7275000238470000普工45a 450 150 11.5 18 10240 8550000322410000普工45b 450 152 13.5 18 11140 8954000337590000普工45c 450 154 15.5 18 12040 9380000352780000普工50a 500 158 12 20 11925 11215000 46普工50b 500 160 14 20 12925 11714000 48普工50c 500 162 16 20 13925 12239000 50普工56a 560 166 12.5 21 13538 13658000 65普工56b 560 168 14.5 21 14658 14238000 68普工56c 560 170 16.5 21 15778 14848000 71普工63a 630 176 13 22 15459 17024000 94普工63b 630 178 15 22 16719 17707000 98普工63c 630 180 17 22 17979 18424000 10其中: H--高度(mm) B--翼缘宽(mm)d--腹板厚(mm) t--翼缘平均厚(mm) A--截面面积(mm2)热轧轻型工字钢型号H B d t A Iy(mm4) Ix(mm4)轻工10 100 55 4.5 7.2 1200 179000 1980000 轻工12 120 64 4.8 7.3 1470 279000 3500000 轻工14 140 73 4.9 7.5 1740 419000 5720000 轻工16 160 81 5 7.8 2020 586000 8730000 轻工18 180 90 5.1 8.1 2340 82600012900000轻工18a 180 100 5.1 8.3 2540 114000014300000轻工20 200 100 5.2 8.4 2680 115000018400000轻工20a 200 110 5.2 8.6 2890 155000020300000轻工22 220 110 5.4 8.7 3060 157000025500000轻工22a 220 120 5.4 8.9 3280 206000027900000轻工24 240 115 5.6 9.5 3480 198000034600000轻工24a 240 125 5.6 9.8 3750 260000038000000轻工27 270 125 6 9.8 4020 260000050100000轻工27a 270 135 6 10.2 4320 337000055000000轻工30 300 135 6.5 10.2 4650 337000070800000轻工30a 300 145 6.5 10.7 4990 436000077800000轻工33 330 140 7 11.2 5380 419000098400000轻工36 360 145 7.5 12.3 6190 5160000133800000轻工40 400 155 8 13 7140 6660000189300000轻工45 450 160 8.6 14.2 8300 8070000274500000轻工50 500 170 9.5 15.2 9780 10400000 39轻工55 550 180 10.3 16.5 11400 13500000 55轻工60 600 190 11.1 17.8 13200 17200000 75轻工65 650 200 12 19.2 15300 21700000 10轻工70 700 210 13 20.8 17600 27300000 13轻工70a 700 210 15 24 20200 32400000 15轻工70b 700 210 17.5 28.2 23400 39100000 17其中: H--高度(mm) B--翼缘宽(mm)d--腹板厚(mm) t--翼缘平均厚(mm) A--截面面积(mm2)大通高频焊接工字钢型号A(cm2) Iy(cm4) Ix(cm4) 100x50x2.3x3.2 535 6.68 90.71 100x50x3.2x4.5 741 9.4 122.77 100x100x6x8 2104 133.48 369.05 120x120x3.2x4.5 1435 129.63 396.84 120x120x4.5x6 1926 172.88 515.53 150x75x3.2x4.5 1126 31.68 432.11 150x100x3.2x4.5 1351 75.04 551.24 150x100x4.5x6 1821 100.1 720.99 150x150x4.5x6 2421 75.51 1032.21 150x150x6x8 3204 98.67 1331.43 200x100x3.2x4.5 1511 58.58 1045.92 200x100x4.5x6 2046 78.08 1378.62 200x100x6x8 2704 133.66 1786.89 200x150x3.2x4.5 1961 253.18 1475.97 200x150x4.5x6 2646 337.64 1943.34 200x150x6x8 3504 450.33 2524.6 200x200x6x8 4304 1067 3262.3 250x125x3.2x4.5 1896 146.55 2068.56 250x125x4.5x6 2571 123.36 2738.6 250x125x4.5x8 3052 260.59 3409.75 250x125x6x8 3404 260.84 3569.91 250x150x3.2x4.5 2121 253.19 2407.62 250x150x4.5x6 2871 337.68 31.8521250x150x4.5x8 3453 450.18 3995.6250x150x6x8 3804 450.42 4155.77250x200x6x8 4604 10.6709 5327.47300x150x3.2x4.5 2281 253.2 36.0441300x150x4.5x6 3096 337.72 4785.96300x150x4.5x8 3678 450.22 5976.11300x150x6x8 4104 450.51 6262.44300x200x6x8 4904 1067.18 7968.14350x150x4.5x8 3903 450.25 8416.36350x150x6x8 4404 450.6 8882.11350x175x3.2x4.5 2666 402.05 5757.85350x175x4.5x6 3621 536.19 7661.31350x175x4.5x8 4303 714.84 9586.21350x175x6x8 4804 715.18 10051.96350x200x6x8 5204 1067.27 11221.81其中: 型号--高度(mm)x翼缘宽(mm)x腹板厚(mm)x翼缘平均厚(mm)热轧H型钢型号 d t g A(cm2) Iy(cm4) Ix(cm4) HW100x100 6 8 10 2190 383 13 HW125x125 6.5 9 10 3031 847 29 HW150x150 7 10 13 4055 1660 54 HW175x175 7.5 11 13 5143 2900 98 HW200x200 8 12 16 6428 4770 16 HW250x250 9 14 16 9218 10800 36 HW300x300 10 15 20 12040 20500 67HW350x350 12 19 20 17390 40300 13 HW400x400 13 21 24 21950 66900 22 HM200x150 6 9 16 3976 2740 50 HM250x175 7 11 16 5624 6120 98 HM300x200 8 12 20 7303 11400 16 HM350x250 9 14 20 10150 21700 36 HM400x300 10 16 24 13670 38900 72 HM450x300 11 18 24 15740 56100 81 HM500x300 11 18 28 16440 71400 81 HM600x300 12 20 28 19250 118000 90 HN200x100 5.5 8 13 2757 1880 13 HN250x125 6 9 13 3787 4080 29 HN300x150 6.5 9 16 4753 7350 50 HN350x175 7 11 16 6366 13700 98 HN400x200 8 13 16 8412 23700 17 HN450x200 9 14 20 9741 33700 18 HN500x200 10 16 20 11420 47800 21 HN600x200 11 17 24 13520 78200 22 HN700x300 13 24 28 23550 201000 10 HN800x300 14 26 28 26740 292000 11 HN900x300 16 28 28 30980 411000 12HW100×100 6 8 10 2190 383 134HW175×175 7.5 11 13 5143 2900 984HW200×200 8 12 16 6428 4770 1600HW200×200 12 12 16 7228 5030 1700HW250×250 9 14 16 9218 10800 3650 HW250×250 14 14 16 10470 11500 3880 HW300×300 12 12 20 10830 17000 5520 HW300×300 10 15 20 12040 20500 6760 HW300×300 15 15 20 13540 21600 7100 HW350×350 10 16 20 14600 33300 11200 HW350×350 12 19 20 17390 40300 13600 HW400×400 15 15 24 17920 49200 16300 HW400×400 11 18 24 18760 56400 18900 HW400×400 13 21 24 21950 66900 22400 HW400×400 18 28 24 29620 93000 31000 HW400×400 21 21 24 25150 71100 23800 HW400×400 20 35 24 36140 119000 39400HW#200×150 6 9 16 3976 2740 508 HW250×175 7 11 16 5624 6120 985 HW300×200 8 12 20 7303 11400 1600 HW350×250 9 14 20 10150 21700 3650 HW400×300 10 16 24 13670 38900 7210 HW450×300 11 18 24 15740 56100 8110 HW500×300 11 15 28 14640 60800 6770 HW500×300 11 18 28 16440 71400 8120 HW600×300 12 17 28 17450 103000 7670 HW600×300 12 20 28 19250 118000 9020 HW600×300 14 23 28 22240 137000 10600HN175×90 5 8 10 2321 1220 97 HN#200×100 4.5 7 13 2359 1610 114HN#200×100 5.5 8 13 2757 1880 134HN250×125 5 8 13 3289 3560 255HN250×125 6 9 13 3787 4080 294HN300×150 5.5 8 16 4155 6460 443HN300×150 6.5 9 16 4753 7350 508HN350×175 6 9 16 5319 11200 792HN350×175 7 11 16 6366 13700 985HN400×150 8 13 16 7112 18800 734HN400×200 7 11 16 7216 20000 1450HN400×200 8 13 16 8412 23700 1740HN450×150 9 14 20 8341 27100 793HN450×200 8 12 20 8495 290000 1580HN450×200 9 14 20 9741 33700 1870HN500×150 10 16 20 9823 38500 907HN500×200 9 14 20 10130 41900 1840HN500×200 10 16 20 11420 47800 2140HN500×200 11 19 20 13130 56500 2580HN600×200 10 15 24 12120 69300 1980HN600×200 11 17 24 13520 78200 2280HN600×200 12 20 24 15330 91000 2720HN700×300 13 20 28 21150 172000 9020HN700×300 13 24 28 23550 201000 10800HP200×200 12 12 16 7228 5030 1700HP250×250 11 11 16 8205 8790 2940HP250×250 14 14 16 10470 11500 3880HP300×300 12 12 20 10830 17000 5520HP300×300 10 15 20 12040 20500 6760HP300×300 15 15 20 13540 21600 7110HP350×350 13 13 20 13530 28200 9380HP350×350 16 16 20 16660 35300 11800HP350×350 12 19 20 17390 40300 13600HP350×350 19 19 20 19840 42800 14400HP400×400 15 15 24 17920 49200 16300HP400×400 18 18 24 21520 59900 20000HP400×400 13 21 24 21950 66900 22400HP400×400 18 28 24 29620 93000 31000HP400×400 21 21 24 25150 71100 23800HP400×400 20 35 24 36140 119000 39400其中: 型号--高度(mm)x翼缘宽(mm)d--腹板厚(mm) t--翼缘平均厚(mm) g--重量(kg/m)表1-6 热轧普通工字钢规格及截面特性（GB 706-88）注：普通工字钢的通常长度：110～118，为5m～19m；120～163，为6m～19m。

截面特性(New2)


I yc
=
∫A
z 2 dA. c
∫ I = y 2 dA
zc
A
c
∫ I = y z dA
yc zc
A
cc
∫ ∫ I y =
z 2dA =
A
( zc + a)2 dA
A
∫ ∫ ∫ = zc 2dA + 2a zcdA + a2 dA
A
A
A
{ = I yc + a2 A
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
I y = I yc + a2 A I z = I zc + b2 A
I yz = I yc zc + abA
例题
平行移轴公式
计算图形对其形心轴的惯性矩
解：
z = A1 z1 + A 2 z2 A1 + A 2
= 0.14× 0.02× 0.08 + 0.1× 0.02× 0 0.14× 0.02 + 0.1× 0.02
I
I
=
yc
0.0467m
= 1 × 0.02
Iy = × 0.143
I
I yz
=
0 + (−0.035) × 0.0745× 0.011× 0.059
= −1.69 ×10−6 m4
转轴公式 主惯性轴
I
II y
=
1 12
× 0.011× 0.163
=
3.76×10−6 m4
I
II z
=
1 12
× 0.16× 0.0113
=
0.0178×10−6 m4
I II yz
(z cosα − y sinα)2 dA

材料力学附录(截面特性)


设
、
为形心坐标，则根据合力之矩定理
(A-2) 或
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(A-3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述定义可以看出： 1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为 正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的
,
(A-12) (A-13)
式中，D为圆环外径；d为内径。 4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩形对于平 行其边界的轴的惯性矩：
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(A-18)
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此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明： 1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平 行轴间距离平方的乘积。
之间的关系。
根据转轴时的坐标变换：
于是有
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将积分记号内各项展开，得
改写后，得
(A-19)
上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。
（A-20）
若将上述
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sin 2α + I yz cos 2α
转轴公式 主惯性轴
dI y1 I y − Iz = −2[ sin 2α + I yz cos 2α ] dα 2 dI y1 = 0 dα
2 sin 2α 0 + I yz cos 2α 0 = 0
2 I yz Iy − Iz
I y − Iz
tg 2α 0 = −
相差90°的两个角度α0
Imax，Imin
主惯性轴(主轴) ( y0 , z0 ) 图形对这一对坐标式 主惯性轴
主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴 通过图形形心C的主惯性轴 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩 形心主惯性平面 如果平面图形是杆件的横截面， 则截面的形心主惯性轴与杆件轴线确定纵向对称面。 主惯性矩的计算公式： Iy + Iz 1 2 + (I y − I z )2 + 4I y I y0 = z 2 2 Iy + Iz 1 2 − (I y − I z )2 + 4I y I z0 = z 2 2
I zIII =
III I yz = 0 + 0.035 × (−0.0745) × 0.011× 0.059
转轴公式 主惯性轴
I II III Iy = Iy + Iy + Iy = (3.607 + 3.76 + 3.607) × 10 −6
整个图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为
= 10.97 × 10 −6 m 4
y1 z1dA
y1=ycosα+zsinα z1=zcosα-ysinα
I y1 = ∫ z12 dA = ∫ ( z cos α − y sin α ) 2 dA
A A
= cos 2 α ∫ z 2 dA + sin 2 α ∫ y 2 dA − 2 sin α cos α ∫ yzdA
A A A
− 2(−3.38 × 10 −6 ) = = 0.752 tg 2α 0 = −6 −6 I y − I z 10.97 × 10 − 1.98 × 10
− 2 I yz
2α0≈37°或217° α0≈18°30′或108°30′
转轴公式 主惯性轴
I y1 =
I y0
Iy + Iz 2
+
Iy − Iz 2
1 I yc = × 0.02 × 0.143 + (0.08 − 0.0467) 2 × 0.02 × 0.14 12 = 7.69 ×10 −6 m 4 1 II I yc = × 0.1× 0.023 + 0.0467 2 × 0.1× 0.02 12 = 4.43 ×10 −6 m 4
I
I y = I yc + a A
∫ ydA
A
Sz y= , A
A
,
z=
∫ zdA
A
z=
Sy A
A
S z = A y,
S y = Az
若图形对某轴的静矩为零，则该轴必 为形心轴
例题
解：取平行于z 轴的狭长条作为微面积dA
y2 dA = zdy = h 1 − b 2 dy b y2 2bh A = ∫ dA = ∫ h 1 dy = − A 0 b2 3
i =1
n
S y = ∑ Ai zi
i =1
n
组合图形形心坐标公式
y=
∑
i =1 n i =1
n
Ai yi ,
i
∑A
z=
∑
i =1 n i =1
n
Ai zi
i
∑A
二、惯性矩和惯性半径
图形对 y 轴的惯性矩 图形对 z轴的惯性矩 图形对 O 点的极惯性矩
I y = ∫ z 2 dA
A
I z = ∫ y 2 dA
I z = I zI + I zII + I zIII = (0.982 + 0.0178 + 0.982) × 10 −6 = 1.98 × 10 −6 m 4
I II III I yz = I yz + I yz + I yZ = ( −1.69 + 0 − 1.69) × 10 −6
= −3.38 × 10 −6 m 4
1 × 0.011× 0.0593 + ( −0.035) 2 × 0.011× 0.059 12 = 0.982 × 10 −6 m 4
I I yz = 0 + ( −0.035) × 0.0745 × 0.011× 0.059
= −1.69 × 10 −6 m 4
转轴公式 主惯性轴
1 I = × 0.011× 0.163 = 3.76 ×10 −6 m 4 12 1 II I z = × 0.16 × 0.0113 = 0.0178 ×10 −6 m 4 12 II I yz =0
转轴公式 主惯性轴
例题
试确定图所示图形的形心主惯性轴的位置 ，并计算形心主惯性矩。 解： C为图形的形心. 各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积：
I Iy =
1 × 0.059 × 0.0113 + 0.07452 × 0.011× 0.059 12 = 3.607 × 10 −6 m 4
I zI =
cos 2α − I yz sin 2α
10.97 × 10 −6 + 1.98 × 10 −6 = 2 10.97 × 10 − 6 − 1.98 × 10 − 6 + cos 37 2 − ( −3.38 × 10 − 6 ) sin 37 = 12.1× 10 − 6 m 4 10.97 × 10 − 6 + 1.98 × 10 − 6 = 2 10.97 × 10 − 6 − 1.98 × 10 − 6 + cos 217 2 − ( −3.38 × 10 − 6 ) sin 217 = 0.85 × 10 − 6 m 4
例I.7和I.8
I yc = I
I yc
II −6 4 + Iy = 12 . 12 × 10 m c
五、转轴公式 主惯性轴
I y = ∫ z 2 dA,
A
I y1 =
∫
I z = ∫ y 2 dA,
A
A
z1 dA,
2
I z1 =
∫
I yz = ∫ yzdA
A
A
y1 dA,
2
I y1 z1 =
∫
A
II y
I yIII =
1 × 0.059 × 0.0113 + (−0.0745) 2 × 0.011× 0.059 12 = 3.607 ×10 −6 m 4 1 × 0.011× 0.0593 + 0.0352 × 0.011× 0.059 12 = 0.982 ×10 −6 m 4 = −1.69 ×10 −6 m 4
= I y cos 2 α + I z sin 2 α − I yz sin 2α
I y1 = Iy + Iz 2 Iy + Iz + Iy − Iz 2 Iy − Iz cos 2α − I yz sin 2α
α+
I z1 =
2 2
−
2
cos 2α + I yz sin 2α
I y1 z 1 =
Iy − Iz
A
I P = ∫ ρ 2 dA
A
I y = A ⋅ i y2 ,
iy =
I z = A ⋅ iz2
Iz A
Iy , iz = A
iy 和 iz 分别称为图形对y轴和对z轴的惯性半径。
I P = ∫ ρ 2 dA = ∫ y 2 dA + ∫ z 2 dA = I z + I y
A A A
图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该 两轴交点的极惯性矩。 惯性矩和极惯矩永远为正
2
=
2 R 2 − z 2 dz
R −R
I y = ∫ z dA = 2 ∫ z 2 R 2 − z 2 dz
A
=
πR 4
4
=
πD 4
Iz = Iy =
πD 4
64
64
I p = Iz + Iy =
πD
4
32
惯性矩和惯性半径
组合图形
I y = ∑ I yi
i =1
n
I z = ∑ I zi
i =1
n
外径为 Ｄ ，内径为d
空心圆截面
Iz = Iy = IP =
πD 4
64 −
−
πd 4
64 =
=
π (D4 − d 4 )
64 32
πD 4
32
πd 4
32
π (D4 − d 4 )
三、惯性积
图形对 y z 轴的惯性积
I yz = ∫ yzdA
A
若坐标轴y或z中有一 个是图形的对称轴则
I yz =
b
图形的面积
图形对z轴的静矩分别为 S z = ∫A ydA = ∫0
b2h Sz = 4
S 3 y= z = b A 8
y2 b2h yh 1 − b 2 dy = 4
4bh 2 2h Sy = ,z = 15 5
静矩和形心 组合图形对于某一轴的静矩
S z = ∑ Ai yi ,
截面几何特性
李建平
截面的几何性质
• • • • • 静矩和形心 惯性矩和惯性半径 惯性积 平行移轴公式 转轴公式 主惯性轴