高中数学212 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式课件 北师大版必修2

y kx b
y y1 y 2 y1
x a yห้องสมุดไป่ตู้b

x x1 x 2 x1
( y 2 y1 ) x ( x1 x 2 ) y x1 ( y1 y 2 ) y1 ( x 2 x1 ) 0
1
bx ay ( ab ) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率 为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x – 6） 化成一般式，得 截距式是： 4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是___________
⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是 y y k ( x x ) 1 1 斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y kx b

解：由已知得k =5， b= 4，代入 斜截式方程 y= 5x + 4
练习
3、写出下列直线的斜截式方程：
3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是 2 2 (2)斜率是 2, 在y轴上的截距是 4
练习
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
.(0,b)
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简 称斜截式。
斜截式方程的应用：
斜截式方程:y = k x + b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线 在y轴上的截距 例2：斜率是5，在y轴上的截距是4的 直线方程。
复习回顾
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2.
条件：不重合、都有斜率
垂直：如果两条直线l1、l2都有斜率，且 分别为k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
条件：都有斜率
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
1、直线的点斜式方程：
(1)、当直线l的倾斜角是00时， tan00=0,即k=0，这时直线l与 x轴平行或重合 l的方程：y-y0=0 或 y=y0
y y0 O l
x
y
(2)、当直线l的倾斜角是900时， 直线l没有斜率，这时直线l与y 轴平行或重合 l的方程：x-x0=0 或 x=x0
O x0
1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率 是k，求直线l的方程。

图1
x1
y1
Ⅱ当过 P ( x1 , y1 ) 点直线 1 的倾斜角为0°时, 直 线的方程是 y y1 上一页
图2
例2 已知直线 l 的斜率为 k ，与y轴的 交点是 P(0, b)，求直线 l 的方程。
解： 由直线的点斜式方程知
y
.
. Q
k2
1
y b k ( x 0)
即
斜率
3– P
例1 一条直线过点 P (2,3) ，斜率为2， 1 求这条直线的方程。
解： 由直线的点斜式方程知
y 3 2( x 2)
即
2 x y 7 0.
0 变式： 一条直线过点 P (2,3)，倾斜角为 45， 1 求这条直线的方程。
x y 5 0
上一页
练习2：根据下列条件，分别写出方程；
（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1；y=3x-1 （4）过点（3，1），垂直于x轴； x-3=0
垂直于y轴； y-1=0 上一页
思考：
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐
标轴在第一象限围成的三角形面积 为8，求直线 l 的方程。
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b) 由题意知
|
整理得
3b 4
||b|
9b 2 16
b2 9
| b | 3
b 3
所以直线得方程为y=-3x/4+3或y=-3x/4－3
直线与方程有什么联系？

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2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
(k 4) 2 0
例1 一条直线过点 P (2,3) ，斜率为2， 1 求这条直线的方程。
解： 由直线的点斜式方程知
y 3 2( x 2)
即
2 x y 7 0.
0 变式： 一条直线过点 P (2,3)，倾斜角为 45， 1 求这条直线的方程。
x y 5 0
上一页
练习2：根据下列条件，分别写出方程；
直线与方程有什么联系？
－1
y .
Hale Waihona Puke . Qk21
3– P
–
o
x
上一页
y
（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 l 称为直线 l 的点斜式方程。
.
. Q
k2
1
3– P –
－1
o
x
一般的，设直线l经过点 P ( x1 , y1 )，斜 1 率为 k 则方程 y y1 k ( x x1 )叫做直线 的点斜式方程。 局限性：只适用于斜率存在的情形。 上一页
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b) 由题意知
|
整理得
3b 4
||b|
9b 2 16

直线的点斜式方程
复习
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
2. 已知直线上两点 ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),如果x2 x1 , P 那么直线PQ的斜率.
当x2 x1 , 那么直线 的斜率不存在。 PQ
练习
问题：确定一条直线需要知道哪些条件？
例如：一个点 P(0,3) 和斜率为k＝2就能确定 一条直线 l . 思考：取这条直线上不同于点P的任意 一点 Q( x, y) ，它的横坐标x与纵坐标y满 足什么关系？ l y 3 2 y 3 2(x 0) x0
作业：
1.作业：课课练 P43
2.练习: 课本P75练习
上一页
（1）经过点（4，-2），斜率为3；
3x-y-14=0
（2）经过点（3，1），斜率为1/2； x/2-y-1/2=0 （3）经过点（2，3），倾斜角为0 ；
0
y-3=0
（4）经过点（2，5），倾斜角为900； X-2=0
2x-y+14=0 （5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
上一页
Ⅰ 当过 P ( x1 , y1 ) 点直线的倾 1 斜角为90°时, 斜率不存在， 它的方程不能用点斜式表示。 它的方程是 x x1
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b) 由题意知
|
整理得
3b 4
||b|
9b 2 16
b2 9
| b | 3
b 3
所以直线得方程为y=-3x/4+3或y=-3x/4－3
k 4

作业：
1.作业：课课练 P43
2.练习: 课本P75练习
上一页
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b) 由题意知
|
整理得
3b 4
||b|
9b 2 16
b2 方程为y=-3x/4+3或y=-3x/4－3
k 4
所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即y=-4x+8
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小
点斜式：
斜截式：
结
y y1 k ( x x1 )
(1)介绍了直线的方程涵义及直线方程的 两种形式：
y kx b.
(2)要注意两种形式的使用范围．
已知直线上的两点坐标是A(-5，0)、 B(3，-3)，求这两点所在直线的方程． 上一页
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2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
(k 4) 2 0
直线的点斜式方程
复习
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
2. 已知直线上两点 ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),如果x2 x1 , P 那么直线PQ的斜率.
当x2 x1 , 那么直线 的斜率不存在。 PQ
练习
问题：确定一条直线需要知道哪些条件？
例如：一个点 P(0,3) 和斜率为k＝2就能确定 一条直线 l . 思考：取这条直线上不同于点P的任意 一点 Q( x, y) ，它的横坐标x与纵坐标y满 足什么关系？ l y 3 2 y 3 2(x 0) x0

l
–
y轴上的截距 －1
y kx b.
o
x
此方程由直线 l 的斜率和它在 y轴上的截距确定， 所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率 存在的情形。
上一页
例3．写出下列直线的方程：
(1)斜率为
3 2
，在y轴上的截距是-2． y
3 2
x2
(2)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3．y x 3
（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1；y=3x-1 （4）过点（3，1），垂直于x轴； x-3=0
垂直于y轴； y-1=0 上一页
思考：
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐
标轴在第一象限围成的三角形面积 为8，求直线 l 的方程。
例1 一条直线过点 P (2,3) ，斜率为2， 1 求这条直线的方程。
解： 由直线的点斜式方程知
y 3 2( x 2)
即
2 x y 7 0.
0 变式： 一条直线过点 P (2,3)，倾斜角为 45， 1 求这条直线的方程。
x y 5 0
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练习2：根据下列条件，分别写出方程；
k 4
所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即y=-4x+8
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小
点斜式：
斜截式：
结
y y1 k ( x x1 )
(1)介绍了直线的方程涵义及直线方程的 两种形式：
y kx b.
(2)要注意两种形式的使用范围．
已知直线上的两点坐标是A(-5，0)、 B(3，-3)，求这两点所在直线的方程． 上一页

⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式： ①斜率是 – 1/2，经过点A（8，-2）； ②经过点B（4，2），平行于X轴； ③在X轴和Y轴上的截距分别是3/2，- 3； ④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）； 2.已知直线Ax+By+C=0 (1)当B≠0时，斜率是多少?当B＝0时呢? (2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?
两点式
x x , 1 2 y y
1 2
截距式
a及b
x y 1 a0且b0 a b
什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
3、直线方程的一般形式
探究1：方程Ax+By+C=0 (A、B不全为0) 总表示直线吗？ 探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程 都可以表示成Ax+By+C=0 (A、B不全 为0)的形式吗？ Ax+By+C=0(其中A、B、C是常数，A、B不全为0) 的形式，叫做直线方程的一般式
小结
通过上面的学习和应用，请同学们总结一 下，确定一条直线需要几个独立的条件？
方程名称 已知条件 直线方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 适应范 围 k存在 k存在
点斜式
斜截式
点(x0,y0) 斜率k 截距b 斜率k
课前练习
1 直线y=ax+b(a+b=0)的图象是
(
)
-1
-1
1
A
2
B
2、直线方程的两点式和截距式
1 过点P(2,1)作直线L交x,y正半轴于A,B两点，当 |PA|.|PB|取到最小值时，求直线L的方程。
2 已知直线的斜率为1/6，且和坐标轴围成面积为 3的三角形，求该直线的方程。 3 一条直线经过A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所 围成的三角形面积是4，求这条直线的方程。

（1）经过点（4，-2），斜率为3；
3x-y-14=0
（2）经过点（3，1），斜率为1/2； x/2-y-1/2=0 （3）经过点（2，3），倾斜角为0 ；
0
y-3=0
（4）经过点（2，5），倾斜角为900； X-2=0
2x-y+14=0 （5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
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Ⅰ 当过 P ( x1 , y1 ) 点直线的倾 1 斜角为90°时, 斜率不存在， 它的方程不能用点斜式表示。 它的方程是 x x1
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2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
(k 4) 2 0
l
–
y轴上的截距 －1
y kx b.
o
x
此方程由直线 l 的斜率和它在 y轴上的截距确定， 所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率 存在的情形。
上一页
例3．写出下列直线的方程：
(1)斜率为
3 2
，在y轴上的截距是-2． y
3 2
x2
(2)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3．y x 3
直线与方程有什么联系？
－1
y .
. Q
k2
1
3– P
–
o
x
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y
（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 l 称为直线 l 的点斜式方程。

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2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
(k 4) 2 0
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b) 由题意知
|
整理得
3b 4
||b|
9b 2 16
b2 9
| b | 3
b 3
所以直线得方程为y=-3x/4+3或y=-3x/4－3
k 4
所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即y=-4x+8
返回
小
点斜式：
斜截式：
结
y y1 k ( x x1 )
(1)介绍了直线的方程涵义及直线方程的 两种形式：
y kx b.
(2)要注意两种形式的使用范围．
已知直线上的两点坐标是A(-5，0)、 B(3，-3)，求这两点所在直线的方程． 上一页
（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1；y=3x-1 （4）过点（3，1），垂直于x轴； x-3=0
垂直于y轴； y-1=0 上一页
思考：
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐
标轴在第一象限围成的三角形面积 为8，求直线 l 的方程。
l
–
y轴上的截距 －1