【苏教版】2021年数学高中必修五(全集)课时同步练习汇总(vip专享)

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（苏教版）高中数学必修五（全册）课时同步练习汇总[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是________．解析：由正弦定理得sin A＝a2R，sin C＝c2R，∴sin A∶sin C＝a2R∶c2R＝a∶c＝7∶5.答案：7∶52．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，A＝30°，则B＝________．解析：由正弦定理，可得sin B＝2 2.∵b＞a，∴B＞A＝30°，∴B＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7，且三角形的周长为36，则其三边长分别为________．解析：由正弦定理，可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶7.从而a ＝10，b ＝12，c ＝14. 答案：10，12，144．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为________．解析：设最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin 30°×sin 135°＝2 2.即△ABC 中最长边的长为2 2. 答案：2 2 5．(2014·南京调研)△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则角C ＝________.解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ，且sin A ≠0，所以tan C ＝1，C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π46．在△ABC 中，如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7，那么a ∶b ＝________． 解析：由已知A ＝30°，B ＝45°， 则a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2. 答案：1∶ 27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝1.又0＜B ＜π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6.答案：π6二、解答题8．在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos B sin （A ＋C ）－sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin Bsin A ＝右边，所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A.9．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .解：由正弦定理知，a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°×sin 45°＝102，B ＝180°－A －C ＝105°，∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105°＝56＋5 2. [高考水平训练] 一、填空题1．下列判断三角形解的情况，正确的是________． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解． 解析：①中a ＝b sin A ，有一解； ②中c sin B <b <c ，有两解； ③中A ＝90°且a >b ，有一解； ④中a >b 且A ＝120°有一解． 综上，④正确． 答案：④2．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab的取值范围为________．解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°. 由正弦定理知，a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．答案：(2，3) 二、解答题3．在△ABC 中，设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos Aa ，求cos A 的值．解：由正弦定理，得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos Asin A⇒⎩⎨⎧tan B ＝13tan A ，tan C ＝12tan A .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设，负值应舍去，故cos A ＝36.4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cos B ＝13，f (C 2)＝－14，求b .解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝－32sin 2x ＋12.∵ω＝2，∴T ＝2πω＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)得，f (x )＝－32sin 2x ＋12，∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12.又f (C 2)＝－14，∴－32sin C ＋12＝－14，∴sin C ＝32.∵在△ABC 中，cos B ＝13，∴sin B ＝ 1－（13）2＝223，∴由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83.∴b ＝83.[学业水平训练]一、填空题1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求． 答案：120°2．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝63，A ＝30°，则c ＝________．解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－18c ＋72＝0，从而c ＝6或12. 答案：6或12 3．(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________．解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π34．已知三角形三边的比为2∶3∶4，则三角形的形状为________三角形．解析：由题设，记a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－312＝－14<0.答案：钝角5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为________． 解析：由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝3x ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋4x 2－9x 22×3x ×2x ＝13.答案：136．(2014·铜陵高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c，则△ABC 是________三角形．解析：在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c，∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝b c，∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.则△ABC 是直角三角形． 答案：直角7．已知向量a 和b 的模分别为2和3，且|a －b |＝19，则a ，b 的夹角为________．解析：a ，b ，a －b 可构成三角形，由余弦定理，得cos 〈a ，b 〉＝4＋9－192×2×3＝－12.∴〈a ，b 〉＝23π.答案：23π二、解答题8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，且a ＋b ＝9，求c .解：(1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab ·cos C ＝52.∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81.∴a 2＋b 2＝41.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36.∴c ＝6.9．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解：(1)在△ABD 中，AB ＝126，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(海里)，所以A 处与D 处的距离为24海里．(2)在△ACD 中，AC ＝83，AD ＝24，∠CAD ＝30°， 由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2·AD ·AC cos 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192，所以CD ＝83(海里)．所以灯塔C 与D 处的距离为83海里．[高考水平训练]一、填空题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，当a 2＋c 2≥b 2＋ac 时，角B 的取值范围为________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥12，又B ∈(0，π)，故B ∈(0，π3]．答案：(0，π3]2．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a ，b ，c 的关系是________．解析：cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知等式得：a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，∴a ＋c ＋a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理得a ＋c ＝2b . 答案：a ＋c ＝2b 二、解答题3．在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．解：由正弦定理a sin A ＝c sin C 及A ＝2C ，得cos C ＝a 2c ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－c 2＋168a.从而有a 2－c 2＋168a ＝a 2c，∴4a 2＝a 2c －c 3＋16c ，整理得a 2(c －4)＝c (c 2－16)．∵B >C ，∴b >c .∴c ≠4，∴a 2＝c (c ＋4)．又a ＋c ＝8，∴a ＝245，c ＝165.4．在△ABC 中，若已知三边的长为连续正整数，最大的角为钝角． (1)求最大的角的余弦值；(2)求以此最大的角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积． 解：(1)设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大的角为θ，则cos θ＝n 2＋（n ＋1）2－（n ＋2）22·n ·（n ＋1）<0，化简得n 2－2n －3<0⇒－1<n <3. ∵n ∈N *且n ＋(n ＋1)>n ＋2， ∴n ＝2.∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－14.(2)设此平行四边形的一边长为a ，则夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为S＝a (4－a )·sin θ＝154(4a －a 2)＝154[－(a －2)2＋4]≤15.当且仅当a ＝2时，S max ＝15.[学业水平训练]一、填空题1．已知△ABC 的面积为14(a 2＋b 2－c 2)，其中边a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，则C＝________．解析：S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab cos C ，又S ＝12ab sin C ，所以sin C ＝cos C ，而C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π42．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝（b －c ）2＋bc2bc>0.答案：锐角3．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c ＝________．解析：a ＝4，b ＝43，cos A ＝48＋c 2－162×43c＝32，解得c ＝4或c ＝8. 答案：4或84．在△ABC 中，已知c ＝2a cos B ，则△ABC 是________三角形．解析：由余弦定理及已知条件知a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝c2a，∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2＝b 2，亦即a ＝b . 答案：等腰5．在△ABC 中，若A ＝2B ，且2a ＝3b ，则sin B ＝________．解析：由正弦定理得2sin A ＝3sin B ，又∵A ＝2B ，∴2sin 2B ＝3sin B ，∴cos B ＝34，∴sin B ＝74.答案：746．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为________．解析：由余弦定理，求得c ＝7，再由正弦定理sin A ＝a sin C c ，可得sin A ＝5314.答案：53147．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围为________．解析：若x 为最大的边，则4＋9－x 2>0，解得x 2<13；若3为最大的边，则4＋x 2－9>0，解得x 2>5，故5<x <13，即x 的取值范围是(5，13)．答案：(5，13) 二、解答题8．在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状． 解：法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ， 整理，得(a 2－b 2)(a 2＋b 2＋c 2)＝0. ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为 (sin A －sin C cos B )·sin B ＝(sin B －sin C ·cos A )·sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．9．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值． 解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B ，由正弦定理得12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin （120°－B ）sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B＝32tan B ＋12，∴tan B ＝12. [高考水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，A ＝30°，则满足条件的三角形有________个． 解析：如图，b sin A ＝4×12＝2<a ，且a <b .再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c 有两个值．答案：22．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A的值为________．解析：S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，解出c ＝4.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13， a sin A ＝1332＝2393. 答案：2393二、解答题3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2sin A ＝3cos A . (1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值． (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得： 2sin 2 A ＝3cos A ，即2cos 2 A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或－2(舍)，∵a 2－c 2＝b 2－mbc ， ∴m 2＝b 2＋c 2－a 22bc，由余弦定理的推论得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴m 2＝12，∴m ＝1， (2)∵cos A ＝12，∴sin A ＝32，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc .又∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴3＝b 2＋c 2－bc ＝(b －c )2＋bc ≥bc ，∴S △ABC ＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan C －3(tan B ＋tan C )＝1.(1)求角A 的大小； (2)现给出三个条件： ①a ＝1；②b ＝2sin B ；③2c －(3＋1)b ＝0.试从中选择两个条件求△ABC 的面积．解：(1)由tan B tan C －3(tan B ＋tan C )＝1， 得tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－33.所以tan(B＋C)＝－3 3.则tan A＝－tan(B＋C)＝33，所以A＝π6.(2)方案一：选择①③.∵A＝30°，a＝1，2c－(3＋1)b＝0，所以c＝3＋12b，则根据余弦定理，得12＝b2＋(3＋12b)2－2b·3＋12b·32，解得b＝2，则c＝6＋2 2.∴S△ABC＝12bc sin A＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择②③.可转化为选择①③解决，类似也可．(注：选择①②不能确定三角形)[学业水平训练]一、填空题1．有一山坡，倾斜角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为________米．解析：如图，h＝BC sin 30°＝(AB sin 30°)·sin 30°＝100，∴AB＝400.答案：4002．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船速度为2m/s，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________方向行驶．解析：如图小船从A处过河，则设小船行驶的方向与岸成α，则因为水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，则α＝45°，小船的方向与水速成180°－45°＝135°.答案：135°3．在某塔塔底所在水平面上一点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔基沿直线行走30 3 m后，测得塔顶的仰角为2θ，再沿直线向塔基行进30 m后，又测得塔顶仰角为4θ，则塔高________m.解析：如图，BC ＝CP ＝30，BP ＝AB ＝303， 由余弦定理可得∠BCP ＝120°. ∴∠PCD ＝60°. ∴PD ＝15 3. 答案：15 34．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，由已知AC ＝60 km ， B ＝45°，∠BAC ＝30°， ∴由正弦定理得： BC sin 30°＝60sin 45°，∴BC ＝30 2 km. 答案：30 25．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120 m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝180°－30°－75°＝75°.∴AC ＝AB ＝120 m.∴河宽CD ＝12AC ＝60 m.答案：60 6．(2014·徐州调研)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．解析：在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米)．由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．答案：0.67. CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB ＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________米．解析：在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3.∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3.∴在△CAD 中，由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos ∠CAD＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500.∴CD ＝350米． 答案：350 二、解答题8. 如图，海中有一小岛B ，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 在北偏东75°，航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？解：过点B 作BD ⊥AE 交AE 于D ，由已知，AC ＝8，∠ABD ＝75°，∠CBD ＝60°， 在Rt △ABD 中， AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝BD ·tan 75°， 在Rt △CBD 中， CD ＝BD ·tan ∠CBD ＝BD ·tan 60°，AD －CD ＝BD (tan 75°－tan 60°)＝AC ＝8，BD ＝8tan 75°－tan 60°＝4＞3.8.因此该军舰没有触礁的危险．9. 一艘海轮从A 处出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行从A 出发直接到达C ，那么此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile ，cos 137°≈0.731 4，sin 19°≈0.325 5)解：在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°. AC ＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋542－2×67.5×54×cos 137°≈113.15.sin ∠CAB ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝54sin 137°113.15≈0.325 5.∴∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.∴此船应沿北偏东56.0°方向航行，需航行113.15 n mile.[高考水平训练]一、填空题1．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析：由b a ＋ab＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案：42．一梯形的两腰长分别为4和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为________．解析：如图，在梯形ABCD 中，(其中AD ∥BC )，设AB ＝4，DC ＝6.若∠ABC ＝60°，作AE ∥DC ，则∠DCB ＝∠AEB <60°.在△ABE 中，由正弦定理可得sin ∠AEB 4＝sin 60°6，则sin ∠AEB ＝33，因为∠AEB ＝∠DCB <60°，所以cos ∠AEB ＝63. 若∠AEB ＝60°，则∠ABC >60°，作AE ∥DC ，在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＋AE 2－AB 22·BE ·AE＝12，即BE 2＋20＝6·BE ，方程无解． 综上，另一底角的余弦值为63. 答案：63二、解答题3．如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P 的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.在Rt △AOP 中，OA ＝OPtan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，OB ＝OPtan 45°＝h .在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.∴h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13.3(m)．∴旗杆的高度约为13.3 m .4. 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10 min ，从D 沿DA 走到A 用了6 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，求该扇形的半径OA 的长．(精确到1 m)解：法一：设扇形的半径为r m.由题意，得CD ＝500(m)，DA ＝300(m)，∠CDO ＝60°. 在△CDO 中，应用余弦定理有 CD 2＋OD 2－2CD ·OD cos 60°＝OC 2，即5002＋(r －300)2－2×500(r －300)×12＝r 2，解得r ＝4 90011≈445(m)．法二：连结AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于点H .由题意，得CD ＝500(m)， AD ＝300(m)，∠CDA ＝120°. 在△ACD 中，应用余弦定理有 AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ·AD cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC ＝700(m)．∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝1114.在Rt △AOH 中，AH ＝350(m)，cos ∠HAO ＝1114.∴OA ＝AH cos ∠HAO ＝4 90011≈445(m)．[学业水平训练]一、填空题1．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd . 答案：cd 2．(2014·镇江质检)下列数列： ①0，0，0，0； ②0，1，2，3，4； ③1，3，5，7，9； ④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列． 答案：33．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于______． 解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴3B ＝180°，∴B ＝60°. 答案：60°4．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝－2，则它的公差为________． 解析：a 4－a 2＝2d ＝(－2)－2＝－4， ∴d ＝－2. 答案：－25．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a 5＝11，则a 3＝________．解析：由等差中项可知a 3＝a 1＋a 52＝142＝7.答案：76．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝________．解析：设两个等差数列的公差分别为d 1，d 2，∴a 2－a 1＝d 1，y －x ＝4d 1，∴a 2－a 1＝14(y －x )，同理b 3－b 2＝15(y －x )，∴a 2－a 1b 3－b 2＝14（y －x ）15（y －x ）＝54.答案：547．设x 是a 与b 的等差中项，且x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 之间的关系是__________________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2xa 2－b 2＝2x 2，消去x 即可得：a ＝－b 或a ＝3b . 答案：a ＝－b 或a ＝3b 二、解答题8．已知数列{a n }满足：a n ＝2a n －12＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{1a n }是不是等差数列？说明理由．解：由题意可得，1a n ＝2＋a n －12a n －1＝1a n －1＋12(n ≥2)，即1a n －1a n －1＝12(n ≥2)． 根据等差数列的定义可知数列{1a n}是等差数列．9．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，则x 的值为多少？ 解：由log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列， 得2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)． ∴(2x －1)2＝2·(2x ＋11)， 化简，得(2x )2－4·2x －21＝0.解得2x ＝7或2x ＝－3(舍去)，故x ＝log 27.[高考水平训练]一、填空题1．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2ba 2＋c 2＝2b 2，消去b ，知(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而2a ＝2b ， ∴a ＝b ，即a ＝b ＝c . 答案：a ＝b ＝c 2．(2014·盐城高二检测)已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有________个．解析：由已知2b ＝a ＋c ，而ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式为 Δ＝(2b )2－4ac ＝4(b 2－ac )＝4[（a ＋c ）24－ac ]＝(a －c )2≥0，∴y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有1个或2个． 答案：1或2二、解答题3．若三个数a －4，a ＋2，26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解：显然a －4＜a ＋2，①若a －4，a ＋2，26－2a 成等差数列， 则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)∴a ＝6，相应的等差数列为：2，8，14. ②若a －4，26－2a ，a ＋2成等差数列， 则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )∴a ＝9，相应的等差数列为：5，8，11. ③若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列， 则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2，8，14.4．已知数列{a n }成等差数列(a k 与公差d 均不为零)． (1)求证：方程a k x 2＋2a k ＋1x ＋a k ＋2＝0有一公共根；(2)若上述方程的另一根为x k ，求证：{11＋x k}为等差数列．证明：(1)∵{a n }是等差数列，故2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2. 即a k (－1)2＋2a k ＋1(－1)＋a k ＋2＝0.∴x ＝－1是方程a k x 2＋2a k ＋1x ＋a k ＋2＝0的一个公共根．(2)由根与系数的关系，得(－1)x k ＝a k ＋2a k ＝a k ＋2da k.∴x k ＝－1－2d a k .∴1＋x k ＝－2da k .又d ≠0，∴11＋x k＝－a k2d .∴11＋x k ＋1－11＋x k＝－a k ＋12d －(－a k2d )＝－a k ＋1－a k 2d＝－d 2d ＝－12.∴{11＋x k}是等差数列．[学业水平训练]一、填空题1．已知数列{a n }为等差数列，a 3，a 9是方程x 2－4x ＋2＝0的两个根，则a 6＝________． 解析：∵2a 6＝a 3＋a 9＝4，∴a 6＝2. 答案：22．已知等差数列的前三项为a －1，a ＋1，2a ＋3，则这个数列的通项公式是________． 解析：由题意得a ＋1－(a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，得a ＝0， ∴数列是首项为－1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3. 答案：a n ＝2n －33．数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，n ∈N *，则a 101＝________. 解析：根据题意，得2a n ＋1－2a n ＝1，2a 1＝4. ∴{2a n }是首项为4，公差为1的等差数列，∴2a 101＝4＋(101－1)＝104，∴a 101＝52.答案：52 4．(2014·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．解析：法一：因为a 1，a 4，a 7成等差数列， 所以a 1＋a 7＝2a 4，得a 4＝13.同理a 2＋a 8＝2a 5，得a 5＝11，从而a 6＝a 5＋(a 5－a 4)＝9，故a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27. 法二：由{a n }为等差数列可知，三个数a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a 3＋a 6＋a 9＝33＋(－6)＝27.答案：275．数列{a n }中，首项a 1＝3，且有2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，则数列{a n }的通项公式是________．解析：递推关系式2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，两边同时除以a n ＋1·a n ，可得2（a n ＋1－a n ）a n ＋1·a n＝1，即1a n ＋1－1a n ＝－12.若令b n ＝1a n ，显然数列{b n }是以－12为公差的等差数列且首项b 1＝1a 1＝13.所以b n ＝13＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12＝－12n ＋56＝5－3n 6. 所以a n ＝1b n ＝65－3n.答案：a n ＝65－3n6．设首项为－20的数列{a n }为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋（7－1）d ＝－20＋6d ≤0，a 8＝a 1＋（8－1）d ＝－20＋7d >0，解得⎩⎨⎧d ≤103，d >207.从而d 的取值范围是(207，103]．答案：(207，103]7．如果f (n ＋1)＝2f （n ）＋12(n ＝1，2，3，…)且f (1)＝2，则f (2 014)等于________．解析：∵f (n ＋1)＝2f （n ）＋12＝f (n )＋12，∴f (n ＋1)－f (n )＝12，即数列{f (n )}是首项为2，公差为12的等差数列．所以通项公式为：f (n )＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32，∴f (2 014)＝12×2 014＋32＝1 008.5.答案：1 008.5 二、解答题8．设等差数列{a n }中，a n >0，a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，求通项a n . 解：法一：∵{a n }为等差数列，∴a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)，则a n －1－（a n －1＋a n ＋1）24＋a n ＋1＝0⇒4(a n －1＋a n ＋1)＝(a n －1＋a n ＋1)2，又a n －1＋a n ＋1>0，所以a n －1＋a n ＋1＝4. 又a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2. 法二：∵{a n }为等差数列， ∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1. 根据题意，得2a n －a 2n ＝0. ∵a n >0，∴a n ＝2.法三：设a n ＝pn ＋q (p ，q 均为常数)． 代入a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0化简， 得p 2n 2＋(2pq －2p )n ＋q 2－2q ＝0， 因为此式对一切n 均成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝0，2pq －2p ＝0，q 2－2q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝2. 所以a n ＝0或a n ＝2，因为a n >0，所以a n ＝2.9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元， 则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N *.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[高考水平训练]一、填空题1．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，则a 2 014＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0， 由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，①由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②由①②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220. ∴d 2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a 2 014＝4 027. 答案：4 0272．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________．解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 答案：19 二、解答题3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 3＝10.若b n ＝12a n －30，求：(1)数列{b n }的通项公式； (2)|b n |的最小值．解：(1)由题意，知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，故数列{a n }为等差数列．又a 1＝2，a 3＝10，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝4，所以a n ＝4n －2，从而b n ＝12a n －30＝2n －31.(2)由2n －31≥0，解得n ≥312.又n ∈N *，所以当1≤n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0.又数列{b n }为递增数列，从而b 15是前15项中绝对值最小的，b 16是15项之后绝对值最小的．而|b 15|＝1，|b 16|＝1，所以|b n |的最小值为1.4．已知{a n }是等差数列且a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列．求：(1)原数列中的第12项是新数列中的第几项？(2)新数列中的第29项是不是原数列中的项？为什么？ 解：(1)记新的等差数列为{b n }，设其公差为d .则d ＝3－24＝14，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2＋14(n －1)，又原数列第12项为13.令2＋(n －1)·14＝13，解得n ＝45.∴原数列的第12项为新数列的第45项．(2)是．理由：∵b 29＝2＋28×14＝9，令2＋(n －1)＝9，∴n ＝8.∴新数列的第29项是原数列的第8项．[学业水平训练]一、填空题1．下列说法中正确的有________(填序号)．①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列； ③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列； ④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．解析：由等比数列的定义知④正确． 答案：④2．4＋3与4－3的等比中项是________． 解析：设它们的等比中项为A ， 则A 2＝(4＋3)·(4－3)＝13，∴A ＝±13. 答案：±133．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________． 答案：非零的常数数列 4．(2014·南京调研)下列数列中，一定是等比数列的个数是________．①－1，－2，－4，－8；②1，－3，3，－33；③3，3，3，3；④b ，b ，b ，b .解析：①②③为等比数列，④只有b ≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．答案：3 5．已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，则a ，b ，c __________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)解析：a ＝log 23，b ＝log 26，c ＝log 212， ∵2log 26＝log 236＝log 23＋log 212， ∴2b ＝a ＋c ，∴a ，b ，c 成等差数列． 但(log 26)2≠log 23·log 212， ∴a ，b ，c 不成等比数列． 答案：成 不成6．如果a ，b ，c 成等比数列，那么函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是________．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴没有交点． 答案：07．若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝________，ac ＝________． 解析：由等比中项得b 2＝9，且b 与奇数项的符号相同， 故b ＝－3.又－1，a ，b 成等比数列， ∴a 2＝－1×b ＝3，同理c 2＝27， ∴a 2c 2＝3×27＝81，又a ，c 符号相同，∴ac ＝9. 答案：－3 9 二、解答题8．判断下列数列是否为等比数列．(1)1，3，32，33，…，3n －1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a ，a 2，a 3，…，a n ，….解：(1)记数列为{a n }，∵a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n －1，∴a n a n －1＝3n －13n －2＝3(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列为公比q ＝3的等比数列．(2)记数列为{a n }，且a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…. ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列； 当a ≠0时，数列为a ，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…， 显然此数列为等比数列且公比为a .9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1 092，求这三个数．解：设这三个数为aq，a ，aq ，由已知可得⎩⎨⎧aq＋a ＋aq ＝26，（a q）2＋a 2＋（aq ）2＝1 092，所以⎩⎨⎧a （1q＋1＋q ）＝26，a 2（1q2＋1＋q 2）＝1 092.由(q ＋1q )2＝q 2＋1q 2＋2，得(26a －1)2＝1 092a2＋1，解得a ＝－8，q ＝－4或－14.所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.[高考水平训练]一、填空题 1．(2014·宿州调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2 046＋a 1 978－a 22 012＝0，{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 010·b 2 014＝________．解析：∵a 2 046＋a 1 978＝a 22 012， ∴2a 2 012－a 22 012＝0， ∴a 2 012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2 012＝a 2 012，∴b 2 012＝2， ∴b 2 010·b 2 014＝b 22 012＝4. 答案：42．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )． ∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100.答案：100 二、解答题3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由a －d ＋a ＋a ＋d ＝6得a ＝2， 故这三个数为2－d ，2，2＋d .若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4，2，8； 若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4； 若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，∴d ＝0(舍去)． 综上可知，这三个数为－4，2，8.4．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d >0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25）x ＋d ＋25＝3x2－10， 解得x ＝90，d ＝10.故有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25) ＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产微机305台．[学业水平训练]一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________． 解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2， ∴a n ＝2n . 答案：a n ＝2n2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 6＝6，则a 9＝________． 解析：易知a 3，a 6，a 9也成等比数列，所以a 26＝a 3a 9， 解得a 9＝18. 答案：183．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________． 解析：∵a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)， ∴a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，∴q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3·2n －3.答案：3·2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 9＝log 3a 45＝log 3343＝43. 答案：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案：－76．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60 ①a 1q 3－a 1q ＝24 ②，①②得a 1（q 4－1）a 1q （q 2－1）＝52，即q 2＋1q ＝52，解得q ＝12或2，当q ＝2时代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列．答案：2或127．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.综上可知，q 为2或12.答案：8 二、解答题8．数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式． 解：∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1，∴b 1＝0，C 1＝－2，∴{C n }为等比数列，∴C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n －2.∴b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－(12)n －2.9．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解：法一：按等比数列设三个数为：a ，aq ，aq 2， 则a ，aq ＋4，aq 2成等差数列， 即2(aq ＋4)＝a ＋aq 2.①又a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列， 即(aq ＋4)2＝a (aq 2＋32)⇒aq ＋2＝4a .②①②两式联立解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝29q ＝－5，∴这三个数为：2，6，18或29，－109，509.法二：按等差数列设三个数为b －d ，b ，b ＋d ， 则原数列为b －d ，b －4，b ＋d . 由已知：三个数成等比数列，即(b －4)2＝(b －d )(b ＋d )⇒8b －d 2＝16，① 又b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列，即b 2＝(b －d )(b ＋d ＋32)⇒32b －d 2－32d ＝0.②①②两式联立，解得⎩⎨⎧b ＝269d ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10d ＝8，∴这三个数为29，－109，509或2，6，18.[高考水平训练]一、填空题1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．(其中97＝4.7×106，98＝4.3×107)。

课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a ，b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是________．2．从盛满10 L 纯酒精的容器里倒出1 L ，然后用水填满，再倒出1 L 混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.3．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是________．4．已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 为正实数，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，若a 3>0，则a 的取值范围是________．能力提升5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________.6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．7．[2011·上海长宁二模] 设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，则该数列前6项和为________．8．[2011·无锡联考] 已知数列{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 8，则一定有________(填序号)．①a 3＋a 9≤b 9＋b 7； ②a 3＋a 9≥b 9＋b 7； ③a 3＋a 9>b 9＋b 7； ④a 3＋a 9<b 9＋b 7.9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于________．10．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ＝________.11．通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{a n }，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．12．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．13．(8分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a n a n .(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：15．(12分)[2011·扬州调研] 数列{a n}的首项为1，前n项和是S n，存在常数A，B 使a n＋S n＝An＋B对任意正整数n都成立．(1)若A＝0，求证：数列{a n}是等比数列；(2)设数列{a n}是等差数列，若p<q，且1S p＋1S q＝1S11，求p，q的值．16．(12分)[2011·苏北四市一调] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝pa n－2n，n∈N*，其中常数p>2.(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列；(2)若a2＝3，求数列{a n}的通项公式；(3)对于(2)中数列{a n}，若数列{b n}满足b n＝log2(a n＋1)(n∈N*)，在b k与b k＋1之间插入2k－1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{c n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c n}的前m 项的和T m＝2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．课时作业(三十一)【基础热身】1．a n <a n ＋1 [解析] 因为a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋1－anbn ＋1＝(an ＋a )(bn ＋1)－an (bn ＋b ＋1)(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)＝a(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)>0，所以a n <a n ＋1. 2．9×0.94 [解析] 第一次倒出后还有纯酒精：10－1＝9 (L)；第二次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9 )L ；第三次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)－0.1×(9－1×0.9)＝(9－1×0.9)×0.9＝9×0.92(L)，所以第五次倒出后还有纯酒精9×0.94 L.3．(－∞，0]∪[4，＋∞) [解析] 在等差数列中，a 1＋a 2＝x ＋y ，在等比数列中，xy＝b 1·b 2，∴(a 1＋a 2)2b 1·b 2＝(x ＋y )2x ·y ＝x 2＋2xy ＋y 2x ·y ＝x y ＋y x ＋2，当x ·y >0时，x y ＋yx ≥2，故(a 1＋a 2)2b 1·b 2≥4；当x ·y ＜0时，x y ＋yx ≤－2，故(a 1＋a 2)2b 1·b 2≤0.4.－1＋52，1∪1＋52，＋∞ [解析] a 3＝a 2－1a 2＝a 1－1a 1－1a 1－1a1＝(a 2－1)2－a 2a (a 2－1)>0，∴a －1＋52a －1－52a －－1－52a －－1＋52a (a ＋1)(a －1)>0，∵a >0，∴a －1＋52a －－1＋52a －1>0.故a ∈－1＋52，1∪1＋52，＋∞. 【能力提升】5．15 [解析] ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 1＋a 3＝4a 2，即4a 1＋a 1q 2＝4a 1q ，∴q 2－4q ＋4＝0， ∴q ＝2，S 4＝15.6.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，∴x ＝104－1.7．0 [解析] a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，∴S 6＝0.8．② [解析] a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 26＝2a 6＝2b 8＝b 9＋b 7. 在等差数列{a n }中a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q .9．60 [解析] 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.10．1 [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．11．－19<a <－117 [解析] 由a n ＝an 2＋n 是二次函数型，且a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n＋1对n ≥8恒成立，得92<－12a <172，可知－19<a <－117. 12．4或5或32 [解析] (1)若a 1＝m 为偶数，则a 12为偶数，故a 2＝m 2，a 3＝a 22＝m4，①当m 4仍为偶数时，a 4＝m 8，…，a 6＝m 32，故m32＝1⇒m ＝32.②当m 4为奇数时，a 4＝3a 3＋1＝34m ＋1，…，a 6＝34m ＋14，故34m ＋14＝1得m ＝4.(2)若a 1＝m 为奇数，则a 2＝3a 1＋1＝3m ＋1为偶数，故a 3＝3m ＋12必为偶数，a 6＝3m ＋116，所以3m ＋116＝1可得m ＝5.13．[解答] (1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数，∴b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. 14．[解答] (1)10年后学生人数为b (1＋4.9‰)10＝1.05b . 又设今年起学校的合格实验设备为数列{}a n ， 则a 1＝1.1a －x ，a n ＋1＝1.1a n －x ，(*)令a n ＋1＋λ＝1.1(a n ＋λ)，则a n ＋1＝1.1a n ＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x ，故数列{}a n －10x 是首项为1.1a －11x ，公比为1.1的等比数列，所以a n －10x ＝(1.1a －11x )·1.1n －1， a n ＝10x ＋(1.1a －11x )·1.1n －1. a 10＝10x ＋(1.1a －11x )·1.19≈2.6a －16x .由题设得2.6a －16x 1.05b ＝2×a b ，解得x ＝132a .即每年更换旧设备为132a 套．(2)全部更换旧设备需12a ÷a32＝16年． 即按此速度全部更换旧设备需16年．15．[解答] (1)证明：A ＝0时，a n ＋S n ＝B ，当n ≥2时，由⎩⎨⎧a n ＋S n ＝B ，a n －1＋S n －1＝B ，得a n －a n －1＋(S n －S n －1)＝0，即a n a n －1＝12，所以，数列{a n }是等比数列． (2)设数列的公差为d ，分别令n ＝1,2,3得：⎩⎨⎧a 1＋S 1＝A ＋B ，a 2＋S 2＝2A ＋B ，a 3＋S 3＝3A ＋B ，即⎩⎨⎧2＝A ＋B ，2d ＋3＝2A ＋B ，5d ＋4＝3A ＋B ，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝1，d ＝0，即等差数列{a n }是常数列，所以S n ＝n ；又1S p ＋1S q ＝1S 11，则1p ＋1q ＝111，pq －11p －11q ＝0，(p －11)(q －11)＝112，因p <q ，所以⎩⎨⎧ p －11＝1，q －11＝112，解得⎩⎨⎧p ＝12，q ＝132.16．[解答] (1)证明：因为2S n ＝pa n －2n ，所以2S n ＋1＝pa n ＋1－2(n ＋1)，所以2a n ＋1＝pa n ＋1－pa n －2，所以a n ＋1＝p p －2a n ＋2p －2，所以a n ＋1＋1＝pp －2(a n＋1)，因为2a 1＝pa 1－2，所以a 1＝2p －2>0，所以a 1＋1>0，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝p p －2≠0，所以数列{a n ＋1}为等比数列．(2)由(1)知a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n ，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n －1，又因为a 2＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －22－1＝3，所以p ＝4或p ＝43(舍去)，所以a n ＝2n －1.(3)由(2)得b n ＝log 22n ，即b n ＝n (n ∈N *)，数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是：(1＋2＋3＋…＋k )＋(20＋21＋22＋…＋2k －2)×2＝k (k ＋1)2＋2k －2，当k ＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2 011， 当k ＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2 011， 又因为2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数，所以当m ＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，T m ＝2011，所以存在m ＝988使得T m ＝2 011.。

第2章数列§2.1 数列 ( 一)课时目标 1.理解数列及其相关观点； 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项； 3.关于比较简单的数列，会依据其前 n 项写出它的通项公式．1．依照必定序次摆列的一列数称为______，数列中的每个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号相关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 ( 往常也叫做____项)，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，，排在第n 位的数称为这个数列的第 ____项．2．数列的一般形式能够写成a1， a2，， a n，，简记为______．3．假如数列 {a n} 的第 n 项与序号 n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的 ______公式．一、填空题1．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝1(n∈ N * )，那么1是这个数列的第 ______n n＋ 2120项．3n＋ 1n为正奇数，则它的前 4 项挨次为 _____．2．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝n为正偶数4n－ 13．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝n2－n－ 50，则－ 8 是该数列的第 ________项．31，53，7，一个通项公式是 ________．4.，，52117175．数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3 ，的一个通项公式是a n＝ __________.6．设 a n＝1＋ 1 ＋1＋＋1(n∈ N *) ，那么 a n＋1－ a n＝ ________.n＋ 1n＋2n＋32n7．用火柴棒按以下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n 之间的关系式能够是______________．8．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570 年—公元前 500 年)学派的数学家常常在沙岸上研究数学识题，他们在沙岸上画点或用小石子来表示数．比方，他们将石子摆成如下图的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第数是 ______．10 个三角形9．由 1,3,5， ，2n － 1， 组成数列 {a n } ，数列 {b n } 知足 b 1＝ 2，当 n ≥2时， b n ＝ ab n － 1，则 b 6＝ ________.10．已知数列 {a n } 知足： a 4n － 3＝ 1，a 4n － 1＝ 0，a 2n ＝ a n ，n ∈ N * ，则 a 2 009＝ ________，a 2 014＝ ________.二、解答题11．依据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式：(1)－ 1,7，－ 13,19， (2)0.8,0.88,0.888 ，(3)1， 1，－ 5， 13，－ 29， 61， 2 48 16 32 64 (4)3， 1， 7 ， 9，(5)0,1,0,1 ，2 10 179n 2－ 9n ＋212．已知数列9n2－1；(1)求这个数列的第 10 项；(2)10198是否是该数列中的项，为何？(3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内；(4)在区间1， 2内有、无数列中的项？如有，有几项？若没有，说明原因．3 3能力提高13．依据以下 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．14．在数列 {a n} 中，a1＝ 1，a2n－ a n＋1－ 1＝ 0，则此数列的前 2 010 项之和为 ______________．1．与会合中元素的性质对比较，数列中的项也有三个性质：(1)确立性：一个数在不在数列中，即一个数是否是数列中的项是确立的．(2)可重复性：数列中的数能够重复．(3)有序性：一个数列不单与组成数列的“数”相关，并且与这些数的摆列序次也相关．2．并不是全部的数列都能写出它的通项公式．比如，π的不一样近似值，依照精准的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，，它没有通项公式．3．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式能够有多种形式．比如：数列－1,1，－1,1，－ 1,1，的通项公式可写成a n＝ (－ 1)n，也能够写成a n＝ (－ 1)n＋2，还能够写成－1n＝2k－ 1 ，a n＝n＝ 2k 此中 k∈ N* .1，第 2 章 数 列§2.1 数列 ( 一)答案知识梳理1．数列 项 首n2.{a n }3.通项作业设计 1． 10分析 ∵1＝ 1，∴ n(n ＋2) ＝10×12，∴ n ＝ 10. nn ＋2 1202． 4,7,10,153． 7分析n 2－ n － 50＝－ 8，得 n ＝ 7 或 n ＝－ 6(舍去 )．4． a n ＝n ＋23n ＋ 2 115．3(1－ 10n )1－ 16．2n ＋ 1 2n ＋ 2分析 ∵ a n ＝ 1＋ 1＋ 1＋ ＋ 1，n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋3 2n∴ a ＋ ＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋1＋ 1 ＋ 1 ，n 1n ＋ 2 n ＋3 2n 2n ＋1 2n ＋ 2∴ a n ＋1－ a n ＝ 1 ＋ 1 － 1＝ 1 － 1 .2n ＋ 1 2n ＋ 2 n ＋ 1 2n ＋ 1 2n ＋ 2 7． a n ＝ 2n ＋ 1分析a 1＝ 3， a 2＝ 3＋ 2＝ 5， a 3＝ 3＋2＋ 2＝ 7， a 4 ＝3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9， ，∴ a n ＝ 2n ＋ 1.8． 55分析三角形数挨次为： 1,3,6,10,15， ，第 10 个三角形数为： 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋ 10＝ 55.9． 33分析∵ b n ＝ ab n －1，∴ b 2＝ ab 1＝ a 2＝ 3，b 3＝ ab 2＝ a 3＝ 5， b 4＝ ab 3＝ a 5＝ 9，b 5＝ ab 4＝ a 9＝ 17， b 6＝ ab 5＝ a 17＝ 33.10．1分析a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0.11．解 (1) 符号问题可经过 (－ 1)n或 (－ 1)n ＋1 表示，其各项的绝对值的摆列规律为：后面的数的绝对值总比前方数的绝对值大n *6，故通项公式为 a n ＝ (－ 1) (6n － 5)(n ∈ N )． (2)数列变形为 8 8－0.01)8 0.001)， ，∴ a n ＝ 8 1－ 1 *(1－ 0.1)， (1 ， (1－ 910n (n ∈ N )．9 99(3)各项的分母分别为1, 2, 3,42,3,4 项的分子分别比分母少3.所以把第 12 2 2 2 ， 易看出第 2－ 312342 － 32 －32－3 2 － 3项变成－2 ，所以原数列可化为－21 ， 22 ，－23 ，24 ， ，∴ a n ＝ (－ 1) n 2n － 3 *)．· n (n ∈ N2(4)将数列一致为 3，5， 7 ， 9， 关于分子3,5,7,9， ，是序号的 2倍加 1，可得分子25 1017的通项公式为 b n ＝ 2n ＋ 1，关于分母2，可2,5,10,17， 联想到数列 1,4,9,16 即数列 {n } 得分母的通项公式为c n ＝ n 2＋ 1，∴可得它的一个通项公式为a ＝ 2n 2＋ 1*)．nn ＋ 1 (n ∈ N0 n 为奇数n－ 1 (n ∈N *)或 a n ＝ 1＋cos n(5)a n ＝n 为偶数或 a n ＝1＋12 29n 2－ 9n ＋ 23n － 1 3n － 2 3n －2 12． (1)解 设 f(n) ＝＝3n －13n ＋1＝9n 2－ 13n ＋1.令 n ＝10，得第 10 项 a 10＝ f(10) ＝ 2831.π * (n ∈N )．3n － 298(2)解令＝ ，得 9n ＝300.此方程无正整数解，所以98不是该数列中的项．101(3)证明∵a n ＝3n － 2 3n ＋ 1－ 33，＝＝ 1－3n ＋ 13n ＋ 13n ＋ 1又 n ∈N *，∴ 0< 3<1 ，3n＋ 1∴ 0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．7(4)解13n － 2 2 ，则 3n ＋1<9n － 6n>67 8.令 <a n ＝ 3n ＋ 1 < ，即8.∴ <n<3 3 9n － 6<6n ＋26 3n<3又∵ n ∈ N * ，∴当且仅当 n ＝ 2 时，上式建立，故区间 1 2 3，3 上有数列中的项，且只有一4项为 a 2＝7.13．解 图 (1) 只有 1 个点，无分支；图 (2)除中间 1个点外，有两个分支，每个分支有 1个点；图 (3)除中间 1 个点外，有三个分支，每个分支有 2 个点；图 (4)除中间有四个分支，每个分支有 3 个点；；猜想第 n 个图中除中间一个点外，有1 个点外，n 个分支，每个分支有 (n－ 1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋ n(n－ 1)＝ n2－n＋ 1. 14．－ 1 0032分析∵ a n＋1＝a n－ 1， a1＝ 1，∴ a2＝ 0， a3＝－ 1， a4＝ 0， a5＝－ 1，，n 为奇数时，除a1＝ 1 外， a n＝－ 1.∴ S2 010＝ a1＋ [(a2＋a3)＋＋ (a2 008＋ a2 009)] ＋ a2 010＝ 1＋ (－ 1) ×1 004＋ 0＝－ 1 003.。

§ 1.2 余弦定理 (二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、 余弦定理； 2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形abc(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ ______.(2)a ＝ __________， b ＝__________ ， c ＝ __________.(3)sin A ＝ __________ ， sin B ＝ __________ ， sin C ＝ __________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ ________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ________________.(2)cos A ＝ ________________.(3)在△ ABC 中， c 2＝ a 2＋ b 2? C 为 ______； c 2>a 2＋ b 2? C 为 ______； c 2<a 2＋ b 2? C 为 ______．3．在△ ABC 中，边 a 、b 、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C ，则有：(1)A ＋B ＋ C ＝ ______， A ＋B＝____________.2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A ＋ B ＝ __________， cos A ＋B ＝ __________.2 2一、填空题1．已知 a 、b 、 c 为△ ABC 的三边长，若知足 (a ＋ b － c)(a ＋ b ＋ c)＝ ab ，则∠ C 的大小为________．2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C ，则△ ABC 的形状必定是________．3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为 ________．4．在△ ABC 中，边 a ，b 的长是方程 x 2－ 5x ＋2＝ 0 的两个根， C ＝ 60°，则边 c ＝________.5．△ABC 的三边分别为 a ，b ，c 且知足 b 2＝ ac,2b ＝ a ＋c ，则此三角形的形状是 ________．6．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若 C ＝ 120 °， c ＝ 2a ，则 a与 b 的大小关系是 ______．7．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是________．8．设2a ＋ 1， a,2a － 1 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．9．已知△ ABC 的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△ ABC 的周长是 ________．10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是________．二、解答题11．在△ ABC 中，求证：a2－ b2－.2＝sin Cc3→ →12.在△ ABC 中， a，b，c 分别是角 A ，B ，C 的对边的长， cos B=，且·AB ·BC ＝－ 21.5(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ________．14．△ ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .41 ＋1 的值；(1)求tan A tan C→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：应用已知条件一般解法定理一边和两角( 如 a， B ，C)两边和夹角( 如 a， b， C)三边(a，b， c)正弦由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在有解定理时只有一解 .余弦由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再定理由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理余弦由余弦定理求出角 A 、B ；再利用 A ＋ B＋ C＝180°，求出角定理 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角 B ；由 A ＋ B ＋C＝ 180°，求出角 C；两边和此中一边的对c.可有两解、一解或无解 .余弦再利用正弦定理或余弦定理求角如 (a， b， A)定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．§ 1.2 余弦定理 (二)答案知识梳理a b c1． (1)2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3) 2R2R2R(4)a ∶ b ∶ c2.(1)b 2＋ c 2－2bccos A b 2＋ c 2－ a 2(3) 直角 钝角锐角π (2)2bc 3.(1) π －2C (2)sin C－ cos C － tan C(3)cosC sin C22 2作业设计1． 120 °分析∵ (a ＋ b － c)(a ＋ b ＋ c)＝ ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a 2＋ b 2－ c 2＝－ 1，2ab 2∴ cos C ＝－ 1，∴∠ C ＝120°. 22．等腰三角形分析∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝ sin(A ＋B) ，∴ sin Acos B － cos Asin B ＝ 0，即 sin(A － B) ＝0，∴ A ＝ B.3.60 °分析∵ a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，不如设 a ＝ 3， b ＝ 5， c ＝ 7， C 为最大内角，2 2 － 72 1则 cos C ＝ 3 ＋ 5 ＝－ .2×3×5 2∴ C ＝ 120°.∴最小外角为 60°.4. 19分析由题意： a ＋ b ＝ 5， ab ＝ 2.由余弦定理得： c 2＝ a 2 ＋b 2－ 2abcos C ＝ a 2＋ b 2－ ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝ 52－ 3×2＝19，∴ c ＝ 19.5．等边三角形分析∵ 2b ＝ a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，又 b 2 ＝ac ，即 (a －c)2＝ 0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋ c ＝ 2a.∴ b＝ a ，即 a ＝ b ＝ c. 6． a>b分析在 △ ABC 中，由余弦定理得，222 2 2＋ ab.c ＝ a ＋ b － 2abcos 120 °＝ a ＋ b∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab. ∴ a 2－ b 2＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴ a>b.7．锐角三角形 分析设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且 a 2＋ b 2＝c 2，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝ a 2＋ b 2＋ 2x 2＋ 2(a ＋ b)x － c 2－2cx － x 2＝ 2(a ＋ b － c)x ＋x 2>0，∴ c ＋x 所对的最大角变成锐角．8． 2<a<8分析∵ 2a － 1>0，∴ a>12，最大边为2a ＋ 1.222∵三角形为钝角三角形，∴a ＋ (2a － 1) <(2a ＋ 1)∴ a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析 S △ABC ＝ 1AB·AC ·sin A ＝ 1 A B ·AC ·sin 60 ＝°2 3，∴ AB ·AC ＝ 8，BC 2＝ AB 2＋ AC 2 2 2－ 2AB ·AC ·cos A ＝ AB 2＋ AC 2－ AB ·AC ＝ (AB ＋AC) 2－ 3AB ·AC ，∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋3AB ·AC ＝ 49，∴ AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S △ABC ＝ 1 b csin A ＝ 3 c ＝ 3，∴ c ＝ 4， 2 4由余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2 －2bccos A ＝12＋ 42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a ＝ 13.∴ 2R ＝ a ＝13＝2 39，sin A 3 32∴R ＝39.∴ S 外接圆2＝ 13π3＝ πR3 .11．证明右侧＝ sin Acos B － cos Asin Bsin C＝ sin A sin Bsin C ·cos B －sin C ·cos A ＝ a a 2＋ c 2－ b 2 b b 2＋ c 2－ a 2·－ ·2bcc2acc222222a ＋ c －b b ＋c － aa 2－b 2＝2＝左侧．c因此a 2 －b 2 － .2 ＝sin C c→ → → →12．∵ AB ·BC ＝－ 21， ·BA ·BC ＝ 21. → → → →·BA ·BC ＝ |BA | ·|BC| cos · B ＝ accos B ＝ 21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝35，∴ sin B ＝ 45.1 14＝ 14.∴ S △ABC ＝ acsin B ＝ ×35× 2 2 5(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 54 ＝ 2∴ sin C ＝ 4 × 2 .b 2 5 ∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角．∴ C ＝ 45°.π 13． 0<C ≤6分析 方法一(应用正弦定理 )∵AB ＝BC ，∴ 1 ＝ 2sin C sin Asin C sin A∴ sin C ＝ 1 sin A ，∵ 0<sin A ≤1，21∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴ 0<C ≤6.方法二 (应用数形联合 )如下图，以B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为A 点．从点 C 向圆B 作切线，设切点为 A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴ Cππ＝ ，∴ 0<C ≤ .6631－3 2 ＝ 7 14．解，得 sin B ＝4 4.(1)由 cos B ＝4由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C. 于是1 ＋ 1 ＝cos A ＋ cos Ctan A tan C sin A sin Csin Ccos A ＋ cos Csin A ＋ ＝sin Asin C ＝sin 2 Bsin B 1 4 7 ＝ sin 2B ＝ sin B ＝ 7 .→ → 3 3(2)由 BA ·BC ＝ 得 ca ·cos B ＝ ，22由 cos B ＝ 3，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2. 4 由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝ 9，∴ a ＋ c ＝ 3.。

3.3.3 简单的线性规划问题(一)课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．问题一、填空题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为________．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为________．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．4．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为____________． 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________和________．7．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则AB 的最小值为________．二、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.3 简单的线性规划问题(一)答案知识梳理 线性约束 作业设计 1．9解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2. 10解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 3．7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 4．(3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 5．2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.6．3 －11解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.7．f (t )＝－t 2＋t ＋12解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC ＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.8．4解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求(AB )min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求． 经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴(AB )min ＝4.9．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时， －z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. ∴z max ＝17，z min ＝－7. 10．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25， z min ＝|OC |2＝5.11．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即OP 2，最大值为OA 2，其中A (4,10)，OP ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，OA ＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.。

§2.1 数列(二)课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，k })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．3．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．一、填空题1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是________． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于________．4．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．5．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N ＋)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 009等于________．6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20等于________． 7．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为________． 9．若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，则当n ≥2时，a n ＝________. 10．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是第________项和第________项．二、解答题 11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ；(2)求a 2 010.12．已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________. 14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．§2.1 数列(二)答案知识梳理2．正整数集N * 函数值作业设计1.122．3·21－n3.6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116. 4．125．－3 011 解析 S 2 009＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 2 009)＝a 1＋1 004×H ＝1＋1 004×(－3)＝－3 011.6．－3解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1 (n ∈N ＋)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，….由此可知这是一个周期数列，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.7．－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3. 8.37解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37. 9.n (n ＋1)2解析 ∵a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)． ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n －1a n －2·a n a n －1＝31·42·53·…n n －2·n ＋1n －1，即a n ＝n (n ＋1)2. 10．10 9解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1， ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象，由图象易知 当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1 ＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. 又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2.12．解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0， 当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)， ∴a 2－a 1＝11×2； a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1(n －1)n； 以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n. ∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n. 14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一 a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a na 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n .。

2.3.3 等比数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1) (q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝__________.3．推导等比数列前n 项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、填空题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.3．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5＝________.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝____________.9．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.10．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的值为________．二、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．能力提升13．已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．2．3.3 等比数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 1 2.a 1q －13.错位相减作业设计 1．－11解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.2．3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 3．33解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 4.152解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.5．1解析 方法一 ∵S n －S n －1＝a n ，a n 为定值，∴q ＝a n ＋1a n＝1.方法二 ∵a n 是等比数列，∴a n ＝a 1q n －1， ∵{S n }是等差数列．∴2S 2＝S 1＋S 3. 即2a 1q ＋2a 1＝a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2， 化简得q 2－q ＝0，q ≠0，∴q ＝1. 6．10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1，∴n ＝10. 7．510解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.8.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.9．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.10．－13解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1＋k )－(3n －2＋k )＝3n －1－3n －2＝2·3n －2.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝1＋k ＝23，∴k ＝－13.11．解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．解 分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n)1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x .综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).13．证明 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，则S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝⎛⎭⎫a 11－q2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n)． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.。