2014届高三数学(文)第一轮15

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编19：函数的极值与导数一、填空题1 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数()2(1)ln f x f x x '=-,则()f x 的极大值为________.【答案】2ln 22-2 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______. 【答案】21(,]e e -∞+ 3 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++,定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数.若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数32()26322013sin(1)g x x x x x =-+++-, 则 (2011)(2010)(2012)g g g -+-+++…(2013)g 的值为_______________.【答案】4025二、解答题4 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知函数()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减,在区间[]2,1上单调递增. (1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解,求实数m 的取值范围;(3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,求实数p 的取值范围.【答案】解:(1)由 ()2101'=⇒=a f 经检验符合 ;(不写检验扣1分) (2)()()()()211'-+--=x x x x f 易知函数在()()()()↓+∞↑↓-↑-∞-,22,11,1,1,所以,函数有极大值()()382,1251-=-=-f f ,有极小值()12371-=f , 结合图像可知:⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈38,1237m ; (3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,则必须有()()⎩⎨⎧=+>+无解有解10p x f p x f ,即()[]()⎩⎨⎧+=>+的值域内不在p x f y p x f 10max而()[]p p x f +-=+125max ,函数()p x f y +=的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∞-p 125, 所以有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+->>+-p p 12510125,解之得:1217125<<p 5 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R .(1)当0a ＞时,求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值,其中()f x '为()f x 的导函数,求m 的取值范围;(3)若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互垂直,求a 的取值范围.【答案】解:(1)(1)()(0)a x f x x x-'=＞, 当0a ＞时,令()0f x '＞得01x ＜＜,令()0f x '＜得1x ＞,故函数()f x 的单调增区间为(01)，，单调减区间为(1)+∞，; (2)函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,则(2)1f '=,即2a =-; 所以212()(2)2g x x nx m x=++-，所以322222()m x nx m g x x n x x ++'=++=， 因为()g x 在1x =处有极值,故(1)0g '=,从而可得12n m =--, 则322222(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，又因为()g x 仅在1x =处有极值, 所以2220x mx m --≥在(0)+∞，上恒成立, 当0m ＞时,由20m -＜,即0(0)x ∃∈+∞，,使得200220x mx m --＜, 所以0m ＞不成立,故0m ≤,又0m ≤且(0)x ∈+∞，时,2220x mx m --≥恒成立, 所以0m ≤;(注:利用分离变量方法求出0m ≤同样给满分.)(3)由(1)()(0)a x f x x x-'=＞得(01)，与(1)+∞，分别为()f x 的两个不同的单调区间, 因为()f x 在两点处的切线相互垂直,所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内故可设存在的两点分别为1122(,())(,())x f x x f x ，，其中121133x x ＜＜＜＜, 由该两点处的切线相互垂直,得1212(1)(1)1a x a x x x --⋅=-,。

课时作业(十五) [第15讲 导数的应用(二)](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋12．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <123．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B.π4C ．1 D.π24．函数f (x )＝x 3－3x 2－a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是________________． 能力提升5．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，若对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)7．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a8．对于R 上可导的任意函数f (x )，满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)9．[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b10．[2012·荆州模拟] 设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为________．11．若函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．12．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰有________个实根．13．[2012·南京一模] 若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．14．(10分)已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )，若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值和最小值．15．(13分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？难点突破16．(12分) [2012·石家庄二模] 己知函数f(x)＝(x2－ax＋a)e x(a<2，e为自然对数的底数)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在x∈[－2，2]，使得f(x)≥3a2e2，求实数a的取值范围．课时作业(十五)【基础热身】1．C [解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以f (x )的最大值为f (π)＝π－sin π＝π，故选C.2．B [解析] f ′(x )＝3x 2－3a ，－3a <0得a >0，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2.又x ∈(0，1)，所以0<a <1.3．B [解析] f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x(－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.4．(－∞，－4)∪(0，＋∞) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0有x ＝0或x ＝2. 当x <0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．因为f (x )有且只有一个零点，所以f (0)<0或f (2)>0，得a >0或a <－4.【能力提升】5．D [解析] f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x .当x ∈[－1，1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．6．B [解析] 令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，所以由g (x )在R 上递增．又g (－1)＝f (－1)－2＝0.所以由g (x )＞0，得x ＞－1.故选B.7．C [解析] 如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R，所以y ′＝4πaR －2bV R 2.由题意，令y ′＝0，得2R h ＝ba.8．C [解析] 由(x －1)f ′(x )≥0，得x ≥1时，f ′(x )≥0；x ≤1时，f ′(x )≤0， ①函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减，f (0)＞f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)＞f (1)．所以f (0)＋f (2)＞2f (1)．②函数y ＝f (x )可为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．故选C.9．A [解析] 由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C ，D 错误．10.13(1＋ln3) [解析] 由题意知|MN |＝|x 3－ln x |，设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝131－ln 13>0，故|MN |min ＝131－ln 13＝13(1＋ln3)． 11．(0， 3) [解析] f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝x (－3x ＋2m )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2m 3.因为x ∈(0，2)，所以0<2m3<2，所以0<m <3.12．1 [解析] 设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，由于a >3，则在(0，2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数，而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰有1个实根．13．－∞，1e 2 [解析] 因x >0，所以分离参数可得k ＝ln x －1x ，因为方程kx ＋1＝ln x有解，所以k 的取值为函数f (x )＝ln x －1x 的值域．又f ′(x )＝1x ·x －（ln x －1）x 2＝2－ln xx2，令f ′(x )＝0，则x ＝e 2.当x ∈(0，e 2)时，f ′(x )>0；当x ∈(e 2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )max ＝f (e 2)＝1e 2，故实数k 的取值范围是－∞，1e2.14．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.因为f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)．由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥－13；由f ′(x )≤0，得－1≤x ≤－13.因此，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的单调递增区间为－32，－1和－13，1，单调递减区间为－1，－13.所以f (x )在x ＝－1取得极大值f (－1)＝2，f (x )在x ＝－13取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138，f (1)＝6，且5027>138，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138.15．解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ．要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5 L. 所以当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L. (2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶100xh ，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)．h ′(x )＝x640－800x ＝x 3－803640x(0＜x ≤120)，令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0，80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数； 当x ∈(80，120]时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数． 所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 因此h (x )在(0，120]上只有一个极值，也是它的最小值．所以，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 【难点突破】16．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)， 于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ， 所以切线方程为y ＝2e x －e. (2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x，令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )， 所以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2， 解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1.。