第8课时 幂函数与方程

教学过程： 一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：① 当0α>时:ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。

ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。

21x1-=x② 当0α<时：ⅰ)图象都过()1,1点。

ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。

思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：例1 写出下列函数的定义域和奇偶性(1)4y x = (2）14y x = （3）3y x -= （4）2y x -=例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）11662,3 ；（2)4314.3-与43-π;（3）35)88.0(-与53(0.89)-．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1； (2) 3338420.16,0.5,6.25.--例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4 已知函数画出23y x -=的大致图象。

⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23y x -=的大致图象。

二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f（x)，我们把使f(x）=0的实数x叫做函数y=f(x）的零点(zero point）。

方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a）·f(b)〈0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b)内有零点.即存在c∈（a,b)，使得f（c ）=0，这个c也就是方程f(x）=0的根。

第8课时：幂函数编者：郭红霞 审核：曹金凤 班级_________第一部分 预习案 学号_________一、知识回顾 姓名_________1． 幂函数的概念一般地，我们把形如______ ___的函数称为幂函数，其中是 __ __ 是自变量， ___ _ 是常数． 2． 幂函数的图象与性质由幂函数y ＝x 、y ＝21x 、y ＝x 2、y ＝x －1、y ＝x 3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在______ ___上都有定义；(2)幂函数的图象都过点______ ___；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调______ ；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调______ ___。

3． 五种幂函数的比较 (1)图象比较：说明：幂函数的图象一定会出现在______ 象限内，一定不会出现在______ 象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的______ ；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是______ ．(2)性质比较：二、基础训练1．下列函数是幂函数的序号是________．①y ＝2x ②y ＝2x－1③y ＝(x ＋2)2 ④y ＝3x 2 ⑤y ＝1x2． 当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．3． 若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫3，19，则其定义域为____________．4． 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎫12，22，则k ＋α＝________.5. 若幂函数222(33)m m y m m x--=-+的图象不经过原点，则实数m 的值等于________．三、我的疑惑第二部分 探究案问题1． 已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x+-，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．问题2. 1 . 比较大小（1）11225.23,5.24 ； （2）221333111(),(),()252 ； （3）2123033352132,(),(),(),()3352--2 . 点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上， 问当x 为何值时，有f (x )>g (x )，f (x )＝g (x )，f (x )<g (x )?问题3. 1.已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．2.已知幂函数f (x )＝21()m m x-+ (m ∈N *)，(1)试确定该函数的定义域，并指明其在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．我的收获第三部分 训练案 （见附页）。

幂函数、函数与方程、函数模型及应用一、 知识综述 幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= ax (a ∈R)的函数称为幂函数，其中a 为常数。

（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m ax ,y=()amx ,y=a x +m,y=()ax m +等均不是幂函数； ②不要把指数函数和幂函数混淆起来； （三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数； 几 种 重 要 的 幂 函 数 的 图 象：函特 数 征 性质y=xy=2xy=3xy=12xy=1x -图 像定义域 x ∈R x ∈R x ∈R x ∈[0, +∞) x ∈R(R ≠0)值域 y ∈R y ∈[0, +∞) y ∈Ry ∈[0, +∞) y ∈R 且y ≠0奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶奇函数单 调 性增函 数 在x ∈（-∞，0）y 为减函数 在x ∈（0，+∞） y 为增函数增 函数增 函数在x ∈（-∞，0）y 为减函数 在x ∈（0，+∞）y 为减函数定 点（1，1）、（0，0） （0，0）、（1，1） （0，0）、（1，1） （0，0）、（1，1） （1，1）（四）幂函数与凹、凸函数：1．凹、凸函数的定义：①几何描述：我们把函数图形向上凸的函数，称为凸函数；我们把函数图形向下凸的函数，称为凹函数； ②代数描述：设点1M 、2M 在函数图象上，线段1M 2M 所对应的函数为y=g(x),x ∈[1x ,2x ],当0x ∈[ 1x , 2x ]时，关于y=f(x),若总有f(0x )≤g(0x ),则称函数y=f(x)为凸函数 当0x ∈[1x ,2x ]时，关于y=f(x),若总有f(0x )≥g(x ),则称函数y=f(x)为凹函数函数与方程 1.二次函数(1)定义：形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫二次函数.(2)图像：二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是抛物线，对称轴方程为___________，顶点坐标为_______________.①当a <0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增； ②当a >0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增. (3)二次函数的解析式的三种形式：一般式：_________________；顶点式：_________________；两根式：_________________. (4)二次函数的零点：①△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图像与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． ②△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图像与x 轴有一个交点，二次函数有一个零点． ③△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图像与x 轴无交点，二次函数无零点． 2.函数与方程(1)函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数．．x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高中数学幂函数知识点形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

下面小编给大家分享一些高中数学幂函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学幂函数知识点定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。