第3章线性系统的时域分析

稳定
临界稳定
不稳定
• 若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减 并趋于零，则称系统渐近稳定，简称稳定； • 反之，若在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移而发散，则 称系统不稳定。 12
线性定常系统的稳定性分析
c t c0 t cn t
r(t)作用下的响应分量与系 统的初始条件产生的响应分 量之和
其拉氏变换后的像函数为：
L[ x(t )]
x(t ) x(t ) Bt
B s2
t
⒋ 抛物线函数（加速度阶跃函数）： 0, t 0 C=1时称为单位抛 x(t ) 1 2 物线函数。 2 Ct , t 0 其拉氏变换后的像函数为：L[ x(t )] C 3
s
x(t ) 1 2 x(t ) Ct 2
判定系统稳定的方法：
a0 a • 一阶系统：1s a0 0, s , a0 0, a1 0 a1
• 二阶系统：a2 s a1s a0 0, s1,2
2
稳 临 定 界 区 稳 定
不 R e 稳 定 区
a1 a12 4a2 a0 2a2
a0 0, a1 0, a2 0
t
6
典型输入作用
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
d d2 d3 1 2 A (t ) [ A 1(t )] 2 [ At ] 3 [ At ] dt dt dt 2
⒌ 正弦函数：x(t ) ASint ，式中，A为振幅， 为频率。 其拉氏变换后的像函数为：
L[ A sin t ]
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暂态性能指标
⒋ 最大超调量（超调量）： %
ymax y() % 100% y ( )
y
ymax
y () y () 2
0
0.05 y () 0.02 y ()
或
ymax --输出响应的最大值；
y () lim y (t ) --稳态值
1(t )
1
0, t 0 x(t ) A, t 0
0
t
A阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1（t）。
其拉氏变换后的像函数为：
L[ x(t )]
A s
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典型输入作用
⒊ 斜坡函数（速度阶跃函数）： 0, t 0 B=1时称为单位斜 x(t ) Bt , t 0 坡函数。
y(t ) yh (t ) y p (t )
yh (t )
为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身的特性或 系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时间趋于无 穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根可以分析 系统的稳定性。 为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间趋于无穷 大时特解趋于一个稳态的函数。
• 控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，
还是不稳定的。
系统稳定
控制系统处于平衡状态，如果控制系统受到扰动量的作用后， 输出量最终又返回到它的平衡状态。
系统不稳定
如果控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过 程或输出量无限制的偏离其平衡状态。
系统不稳定产生的后果
物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动 装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数 9 值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。
• 高阶系统： 应用劳斯-胡尔维茨稳定判据。
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本章的主要内容
3.1 稳定性分析
3.2 暂态性能分析
3.3 稳态性能分析
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线性微分方程的解
时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性能指标。
an y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) ... a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1x ( m1) (t ) ... b0 x(t )
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y p (t )
线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当 时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数， 使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态（暂态）过程。 瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论 上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在 工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一 段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性 y 能指标。 如某系统的单位阶跃响 应曲线如图所示：
输出响应第一次达到稳态值 的50%所需的时间。
ymax
y
0.05 y () 0.02 y ()
或
y () y () 2
0
⒉ 上升时间
tr ：
t td tr tp ts
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所 需的时间。或指由稳态值的10%上 升到稳态值的90%所需的时间。
⒊ 峰值时间 t p ：
输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。
c(t ) cn (t ) Ci eit e it ( Ai cos it Bi sin it )
i 1 i 1 k r
Ai、Bi和Ci由系统结构参数决定。 (1) 若i<0，i0，系统最终能恢复至原平衡状态，是稳定的。 但由于存在复数根( i≠0)，系统响应为衰减振荡； (2) 若i<0，i0，且 i=0，则系统仍是稳定的，系统响应按 指数规律衰减； (3) 若i或i只要有一个是正数,t→∞时,系统响应发散,不稳定； (4) 只要i中有一个为零（即虚根），当t→∞时，系统不能恢 复到原平衡状态，其输出为等幅振荡，这时称系统处于临界稳 定状态（不稳定）。
• 如果脉冲响应函数是收敛的，即有
limc(t ) 0
t
系统仍能回到原有的平衡状态
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线性系统稳定的数学条件
设系统原平衡点为c0(t)=0。现加入扰动输入n(t)=δ(t)， 即N(s)=1。 扰动引起的输出c(t)=cn(t)=g(t),C(s)=Cn(s)=L-1[g(t)]。 设扰动输入引起系统输出的闭环传递函数为
动态过程：因为物理控制系统包含有一些贮能元件， 所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟 随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬 态响应过程。
•
对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响 应，常常表现为阻尼振荡过程。
• 稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不
能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示 系统的准确度。
c(0 ) c(0 ) c (0 ) 0
表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的， 被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
3
典型输入作用
⒈ 脉冲函数：
理想单位脉冲函数： [定义]： (t ) 0
t0 t0
(t )
0
(t )
本章主要讲什么内容?
• 线性定常系统的时域分析方法。 • 系统稳定的充要条件、劳思稳定判据等代数稳定判据。 • 暂态性能分析方法，主要介绍典型二阶系统的暂态性能指 标，以及高阶系统的主导极点分析方法。 • 稳态误差分析与计算方法。
2
典型输入作用
一、典型初始状态 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0时
t>t2时,系统可能经过一定的时间回到原来的平衡工作点, 也可能随着时间的增加而无限偏离原来的平衡工作点。 若n(t)=0后，有 若n(t)=0后，有
lim c t =c0 t 或 lim cn t 0
t t
lim c t 或 lim cn t
t t
称系统是稳定的。
称系统是不稳定的。
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线性定常系统的稳定性分析
• 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参 数），与系统的输入信号无关。
• 稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况， 它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征， 因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
k
k
(s z )
j
m
(s ) (s
i i 1 i 1
j 1 r
2
2 ii s i2 )
c(t ) cn (t ) Ci e e it ( Ai cos it Bi sin it )
i t
i 1 i 1
r
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线性系统稳定的数学条件
• 稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的
一种度量。
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本章的主要内容
3.1 稳定性分析
3.2 暂态性能分析
3.3 稳态性能分析
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线性定常系统的稳定性分析
稳定的概念
如果系统受到扰动时，偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统 仍能逐渐恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，如果系统不能恢复或 越偏越远，则系统是不稳定的。
瞬态过程 稳态过程
0
t
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暂态性能指标
利用系统的单位阶跃 响应曲线的特征来定义控 制系统的动态性能指标,直 观，含义清楚。 稳定的随动系统（不 计扰动）的单位阶跃响应 函数有衰减振荡和单调变 化两种。 1
初始条件为零
0
控制系统
单位阶跃输入 单位阶跃响应
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暂态性能指标
衰减振荡： ⒈ 延迟时间 t d ：
扰动输入n(t)作用下的 响应分量
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线性定常系统的稳定性分析
r t
n t
平衡点
c t
偏离平衡点
0
t1
t2
t
0
t1 t 2