【K12教育学习资料】2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.3.2 等比数列的前n项和(一

数列数列检测：一、选择题：（5*10=50）1．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2．等比数列{}n a 中，11a =，528a a =-，52a a ＞，则n a = A ．1(2)n -- B ．1(2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n--3. 设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = （A ） -11 (B) -8 (C) 5(D) 114．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）645．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （A ）3（B ）4（C ）5（D ）66．已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a ３１＝2a ，且4a 与72a 的等差中项为54，则S 5= A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 7 在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5 （B ）6（C ）8 （D ）10 8已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A.1+B.1.3+D 3-9已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)10如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a = （A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35二、填空题：(5*8=40)1． 等差数列{a n }中，a 6 + a 35 = 10，则S 40 =_________。

《等比数列》BCA 案考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B 案（基础回归）1、如果—1，a ，b ，c ，—9成等比数列，那么A 、b=3，ac=9B 、b=—3，ac=9C 、b=3，ac=—9D 、b=—3，ac=—92、在等比数列{a n }中，a 2=8，a 5=64，则公比q 为A 、2B 、3C 、4D 、83、在数列{a n }中，a n+1=ca n （c 为非零常数）且前n 项和S n =3n+k ，则k 等于A 、—1B 、1C 、0D 、2 4、在等比数列{a n }中，a 8=10，则a 3·a 13=。

5、已知a n =2a n —1（n ≥2），a 1=1，c n =21na ，则{c n }的前n 项和S n =。

6、已知等比数列{a n }中，前10项的和S 10=10，前20项的和S 20=30，则S 30= 。

C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S 3+ S 6=2S 9，求q 的值。

二、等比数列的证明例2：设数列{a n }中，a 1=1，S n+1=4a n +2，b n =a n+1—2a n （1）求证：数列{b n }为等比数列。

（2）求数列{b n }的前n 项和T n 。

引申2：已知数列{a n }中a 1=1且满足a n+1=2a n +1求{a n }的通项公式。

三．等比数列的综合应用例3：已知a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=x 2+2x 的图象上。

其中n=1，2，3…… （1）证明数列{lg （1+a n ）}是等比数列。

（2）设T n =（1+a 1）（1+a 2）……（1+a n ）求T n 。

当堂检测：1、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=3a 1，则数列{a n }的公比q 的值为。

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一 梳理本章的知识网络知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法；2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了________________和________________．3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了________思想．5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比．类型一 方程思想求解数列问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式．反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．类型三 函数思想求解数列问题命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值．反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N ＋)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是____________．2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．答案精析知识梳理 知识点三 1．叠加 叠乘2．倒序相加法 错位相减法 3．三 两 4．函数 题型探究 类型一例1 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2， 可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2(n ∈N ＋)．跟踪训练1 S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N ＋.类型二例2 (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2，n ∈N ＋时，有S n ＝4a n －1＋2.②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1， 即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n 2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列． 由S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5， ∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵c n ＝a n2n ，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n 2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34，c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14， a n ＝(3n －1)·2n－2是数列{a n }的通项公式．设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴ 数列{a n }的前n 项和公式为 S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N ＋.跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0， 即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 类型三命题角度1例3 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2. ∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N ＋)． (2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的． ∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪训练3 解 (1)a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得 S n ＝1－(－12)n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32. 故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1， 故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 命题角度2例4 解 (1)由a n ＋1＝f (a n ) ⇒a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0⇒a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列⇒a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|⇒a 22＝a 1·(2－|a 2|)， 且a 2＝2－|a 1|⇒(2－|a 1|)2＝a 1[2－|2－|a 1||]⇒(2－a 1)2 ＝a 1[2－|2－a 1|]，分情况讨论：①当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1[2－ (2－a 1)]＝a 21⇒a 1＝1，且a 1≤2； ②当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(a 1－2)]＝a 1(4－a 1)⇒2a 21－8a 1＋4＝0⇒a 21－4a 1＋4＝2⇒(a 1－2)2＝2⇒a 1＝2＋2，且a 1＞2，综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.跟踪训练4 解 (1)a n ＝23n ＋13. (2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋ …－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )． 当堂训练1．a n ＝36(2n －1) 2.a n ＝3n －16 33．解 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1.。

1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 2．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)． (3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1.(4)构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列．(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列． (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N ＋)⇔{a n }是等比数列． 4．求数列的前n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．题型一 方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，d (或q )，S n ，其中首项a 1和公差d (或公比q )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，d (或q )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列{S n n }的前n 项和，求T n 的最大值． 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝21，15a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋7d ＝－5，解得a 1＝9，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝9n －(n 2－n )＝10n －n 2.则S nn ＝10－n .∵S n ＋1n ＋1－S n n＝－1， ∴数列{S nn }是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n ＝n ·[9＋(10－n )]2＝－12n 2＋192n＝12(n －192)2＋3618. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝9，或n ＝10时，T n 有最大值45.跟踪演练1 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4. 因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳猜想出通项，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．例2 在数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n 1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 又b 1＝a 1＋λ2＝2.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列{a n －12n }为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪演练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，a 1＝1，∴d ＝2. ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t 36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N ＋， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n . 解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n (53＋4n 3＋13)2＝－49(2n 2＋3n )．题型四 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]． 跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1， n ∈N ＋.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立． (1)证明 由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1得 a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.又a 1－1＝1，∴{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，∴数列{a n }的前n 项和S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)证明 对任意的n ∈N ＋.S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4[4n －13＋n (n ＋1)2]＝－12(3n 2＋n －4)≤0.∴不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。

2.1数列2.1.1数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．[知识链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．(3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一 数列的概念及通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. 要点二 数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项． 跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.要点三 判断数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1是递增数列．要点四 求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.方法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法 求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2 (n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108.∴数列{a n}中的最大项为a7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性；②可重复性；③有序性．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．。

2.1.2　数列的递推公式(选学)[学习目标]　1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案　(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案　数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一　由递推公式写出数列的项例1　已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解　(1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法　(1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1　设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解　由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二　由递推公式求通项例2　已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解　(1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法　由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2　已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三　数列与函数的综合应用例3　f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解　(1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法　数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3　函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解　(1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案　B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案　D解析　∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案　a n ＝2n ＋1解析　a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。

人教B版高二数学必修五导学案．2均值不等式学案【预习达标】⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）a2+b2＋x＋x＋ab≤⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．．⑴函数f=x的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f=2x的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f=x的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f=x的最小值是；此时x的值为___________________。

【典例解析】例⒈已知a、b、c∈，且a+b+c=1，求证++≥9．例⒉已知x0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。

已知a、b为常数，求函数y=2+2的最小值。

【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是Ａ．a2+1>2aＢ．│x+│≥2Ｃ．≤2Ｄ．sinx+最小值为4．⒉以下各命题x2+的最小值是1；最小值是2；若a>0,b>0,a+b=1则的最小值是4，其中正确的个数是Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为Ａ．＋≥2Ｂ．a2+b2≥2abＣ．＋≥a＋bＤ．2+⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4⒌已知ab>0，下列不等式错误的是Ａ．a2+b2≥2abＢ．Ｃ．Ｄ．二．填空题：⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．⒏已知a、b为常数且01，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。

1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．[知识链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶， 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)， 于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.因为0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． 解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处出发，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile 答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BC sin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 4 3解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．。