【人教A版】2018版高中数学必修一精品学案全集(含答案)

2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点）3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[基础·初探]教材整理补集阅读教材P10补集以下部分，完成下列问题．1．全集(1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2)记法:全集通常记作U。

2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}图形语言3∁U U＝∅,∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)只有实数R才可以做为全集U.（）(2）一个集合的补集一定含有元素．( ）(3）集合∁Z N与集合∁Z N＊相等．（)【解析】（1）×.由全集的定义可知，所有的集合都可以做为全集．(2)×。

∵∁U U＝∅,∴（2）错．(3）×.∵0∉∁Z N,而0∈∁Z N＊，∴(3）错．【答案】（1)×（2)×（3）×2．已知全集U＝{x｜|x｜<5,x∈Z｝，A＝{0,1，2｝，则∁U A＝________。

2017-2018学年人教A版高中数学必修1第一章全套精品学案1.1 集合预习导航一、集合的概念名师点拨集合中元素的性质：(1)确定性：指的是给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了，即某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一；(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有先后之分．二、元素与集合的关系特别提醒符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．三、集合的表示自主思考1 什么样的集合可以用列举法来表示？提示：对于元素个数很少或元素存在明显规律的集合可用列举法表示．自主思考2 在描述法中，表示这个集合元素的一般符号不同，但竖线后的条件一样，那么这样的集合还相同吗？如A＝{x|y，B＝{(x，y)|y．提示：一般地，这样两个集合是不相同的，如集合A＝{x|y表示集合{x|x≥1}，而集合B＝{(x，y)|y＝表示二元方程y y＝自主思考3 用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：1.1 集合预习导航一、Venn图二、子集名师点拨“∈”与“∉”表示元素与集合之间的关系，开口仅指向右，对着集合；“⊆”与“⊇”表示两个集合间的关系，开口可以向右，也可以向左．子集定义可表示为：任意x∈A，都有x∈B⇒A⊆B.三、集合相等四、真子集A B名师点拨若A B，则A中的元素都是B的元素，且B中元素比A中元素至少多一个．五、性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.六、空集自主思考1能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？提示：不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A ⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以上述理解是错误的．自主思考2∅就是0，或∅就是{0}吗？提示：两种说法均是错误的，∅是不含任何元素的集合，概念中强调了两点：“不含任何元素”“集合”．(1)0是一个数，而非集合，故∅不是0；(2){0}表示集合，且集合中有且仅有一个元素0，是非空集合，故{0}与∅含义不同，所以∅不是{0}．特别提醒在写一个集合的子集与真子集时，不要忘记∅；当题目中给出条件“A⊆B”时，要注意集合A可以是∅.1.2 函数及其表示预习导航一、函数名师点拨1.“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．2．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．3．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．4．符号f(x)是函数的记法，是一个整体，它不表示f与x相乘．自主思考1如何判断从集合A到集合B的一个对应是函数？提示：首先看集合A，B是否是非空数集，若不是，则不是函数；若是，然后看集合A 中的每一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是函数；若有，再看集合B 中是否只有一个元素与之对应，若有多个与之对应，则不是函数；若只有一个与之对应，则是函数．自主思考2若两个函数的对应关系相同，值域也相同，那么这两个函数是相等函数吗？提示：不一定．若它们的定义域相同，则这两个函数为相等函数，否则，不是相等函数．如函数f(x)＝x2(x∈{1,2,3})，与函数g(x)＝x2(x∈{－1，－2，－3})的对应关系与值域相同，但不是相等函数．二、区间1．区间的概念：设a，b是两个实数，且a<b.2．无穷大：“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的实数x的集合可用区间表示，如下表．提示：并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．1.2 函数及其表示预习导航一、解析法自主思考1任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定．每天的平均气温与日期之间的关系由于受各种因素的影响就无法用解析法表示．二、图象法自主思考2画函数f(x)图象的方法有哪些？提示：(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数，则依据各种函数的图象特点，直接画出f(x)的图象．(2)若函数f(x)不是基本初等函数，则用描点法画出f(x)的图象，其步骤是：列表、描点、连线．注意连线时，若是曲线，则曲线要光滑；若是孤立的点，则此时不要连接各点．三、列表法1.2 函数及其表示预习导航一、分段函数所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．名师点拨分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．各段的图象合起来就是分段函数的图象．二、映射一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．自主思考1如何判断一个对应是映射？提示：首先，判断两个集合是否为非空集合，若不是非空集合，则不是映射；其次，再判断集合A中的任意一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是映射；最后，再判断是否只有一个元素与之对应，若是，则是映射，否则不是映射．自主思考2函数与映射有怎样的关系？提示：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．1.3 函数的基本性质预习导航一、增函数和减函数减函数：如果对于定义域I内某x2，当x1<x2时，都有1，(x )在区间D 上是增函数，12∈D ，且x 1≠x 2⇔12f (x 1)－f (x 2)]>0⇔1212()()f x f x x x -->0.(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔1212()()f x f x x x --<0.自主思考1 对于函数f (x )，若区间[a ，b ]上存在两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)成立，则能否说f (x )在[a ，b ]上是减函数？提示：不能．对于自变量的选取一定是任意的，而不能是特殊值，如函数y ＝x 2，x ∈[－1,1]，－1,0∈[－1,1]，显然－1<0，且f (－1)＝1>0＝f (0)，但并不能由此就说函数y ＝x 2在[－1,1]上是减函数．自主思考2已知函数f (x )在定义域[a ，b ]上是增函数，且f (x 1)<f (x 2)，则x 1与x 2有怎样的关系？若是减函数呢？提示：当f (x )是增函数时，x 1，x 2满足a ≤x 1<x 2≤b ； 当f (x )是减函数时，x 1，x 2满足a ≤x 2<x 1≤b . 二、单调性名师点拨(1) 函数的单调性是函数的一个局部性质，即我们说函数单调性的时候一定要指出是在哪个区间上，而不能笼统地说函数是单调的，有些时候，函数并不一定在整个定义域上单调．(2)并不是所有的函数都具有单调性，例如，分段函数y ＝10x x ⎧⎨⎩，是有理数，，是无理数，它的定义域为R ，但显然不具有单调性．(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接或用“，”隔开．如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． (4)函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若在端点处没有定义，必须用开区间．(5)函数的单调性反映了函数值在某个区间上的变化趋势．例如，函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，则说明在区间D 上，函数值随自变量的增大而增大(减少)，图象是上升(下降)的．归纳总结 基本初等函数的单调性如下表所示：1.3 函数的基本性质预习导航一、最大值和最小值x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y ＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．自主思考1已知函数f(x)＝x2的定义域是(0，＋∞)，函数的最小值是0吗？它的值域又是什么？提示：函数f(x)的最小值不是0.函数没有最小值，因为0不是该函数的值，它的值域是(0，＋∞)．自主思考2函数的最值与值域是什么关系？提示：(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值．1.3 函数的基本性质预习导航一、偶函数二、奇函数名师点拨由奇偶函数的定义可得：(1)函数f(x)是偶函数⇔对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)的图象关于y轴对称．(2)函数f(x)是奇函数⇔对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)＝f(－x)＝f(－|x|)．自主思考1 奇、偶函数的定义域有什么特点？提示：奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．自主思考2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：有，如函数f(x)＝0，x∈D(其中定义域D是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有无数个，只要定义域是关于原点对称的任一个非空数集即可．。

§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1对数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确．知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝⎛⎭⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为⎝⎛⎭⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ；(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值． ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23 ＝43×(－23 )＝4－2＝116；②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816 ＝23×16 ＝2；③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值． (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12 ＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log75；(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2；(3)a log ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1(10lg 2)2＝94. (3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确． 答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18；(2)⎝⎛⎭⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝⎛⎭⎫17a＝b 得log 17b ＝a ； (3)由lg11 000＝－3可得10－3＝11 000； (4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log aN ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

章末复习课网络构建核心归纳．函数的零点与方程的根的关系函数()的零点就是方程()＝的解，函数()的零点的个数与方程()＝的解的个数相等，也可以说方程()＝的解就是函数()的图象与轴交点的横坐标，即函数()的函数值等于时自变量的取值．因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．．函数零点的存在性定理()该定理的条件是：①函数()在区间[，]上的图象是连续不断的；②()·()<，即()和()的符号相反．这两个条件缺一不可．()该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．．函数应用()要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．()在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．()根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．要点一函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用．函数的零点与方程的根的关系：方程()＝有实数根⇔函数＝()的图象与轴有交点⇔函数＝()有零点．．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．【例】()函数()＝(\\(－，≤，－＋，>))的零点个数是．()若函数()＝－－有两个零点，则实数的取值范围是．解析()①当≤时，由()＝，即－＝，解得＝或＝－.因为≤，所以＝－.②法一(函数单调性法)当>时，()＝－＋.而()＝×－＋＝－<，()＝×－＋＝>，所以()·()<，又函数()的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数()在()内至少有一个零点．而函数＝－在(，＋∞)上单调递增，＝在(，＋∞)上单调递增，所以函数()＝－＋在(，＋∞)上单调递增．故函数()＝－＋在(，＋∞)内有且只有个零点．综上，函数()共有个零点．法二(数形结合法)当>时，由()＝，得－＋＝，即＝－.如图，分别作出函数＝和＝－的图象．显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在轴的右侧，故当>时，()＝只有一个解．综上，函数()共有个零点．()由()＝得－＝，在同一坐标系中作出函数＝－和＝的图象，如图所示，由图可知<<，即若()有两个零点，则的取值范围是()．答案() ()()【训练】已知关于的方程·＋·＋＝(≠)，常数，同号，，异号，则下列结论中正确的是( )．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根。

§1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小值)第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数设函数f (x )的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)× 反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(1，2]，x －4，x ∈(2，3).知识点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调减区间是________． (2)函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上( ) A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析 (1)二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．(2)函数y ＝|x |的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆(－∞，0)，所以函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上递减．答案 (1)(－∞，－1) (2)A题型一 求函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)解析 观察图象可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；(2)把函数图象向x 轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】 函数y ＝1x －1的单调减区间是________．解析 y ＝1x －1的图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性【例2】 证明函数f (x )＝x ＋4x 在区间(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】 证明函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．证明 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．题型三 用单调性解不等式【例3】 已知函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求实数a 的取值范围．解 由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【训练3】 已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12．答案 (－∞，0)【探究2】 已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.答案 (－∞，－1]【探究3】 分别作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x >1和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x >1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．解 函数f (x )的图象如图(1)所示，由其图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g (x )的图象如图(2)所示，由其图象可知g (x )在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．若f (x )＝(2k －3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 解析 由题意得2k －3>0，即k >32，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且f (a －1)>f (2a )，则a 的取值范围是________． 解析 由条件可知a －1<2a ，解得a >－1. 答案 (－1，＋∞)5．证明f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．证明 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．。

章末复习课网络构建核心归纳1．函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值．因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．2．函数零点的存在性定理(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．3．函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用1．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2.②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x .而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1,3)内至少有一个零点．而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增．故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f (x )共有2个零点． 法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0， 即ln x ＝6－2x .如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象．显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解．综上，函数f (x )共有2个零点．(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知0<b<2，即若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0,2)．答案(1)2(2)(0,2)【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是()A．此方程无实根B．此方程有两个互异的负实根C．此方程有两个异号实根D．此方程仅有一个实根解析由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c ＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为ca <0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根．答案 D要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)1．二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点．(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1)．(3)利用二分法求函数的零点．(4)归纳结论．2．使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小．(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求．(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得．【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的．先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，结论x0解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始区间为(1,2).因为所以x0≈1.125(不唯一)．【训练2】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)()A．1.2B．1.35C．1.43D．1.5解析∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375,1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根．答案 C要点三函数的实际应用1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示．(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．2．建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．【例3】 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)，11(x >5). 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x .∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(2)①当0≤x ≤5时，由－0.4x 2＋3.2x －2.8>0得x 2－8x ＋7<0，解得1<x <7，∴1<x ≤5. ②当x >5时，由8.2－x >0，得x <8.2， 所以5<x <8.2.综上，当1<x <8.2时，有y >0.即当产量x 大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利． (3)当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6； 当x >5时，∵函数f (x )单调递减，∴f (x )<f (5)＝3.2(万元)，综上，当工厂生产4百台时，可使盈利最多，为3.6万元． 【训练3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1) (2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？ 解 (1)依题意可得： ①当0<x ≤3 500时，y ＝0. ②当3 500<x ≤5 000时， y ＝(x －3 500)·3%＝0.03x －105. ③当5 000<x <8 000时，y ＝45＋(x －5 000)·10%＝0.1x －455， 综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤3 500，0.03x －105，3 500<x ≤5 000，0.1x －455，5 000<x <8 000.(2)因为需交税300元， 故有5 000<x <8 000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7 550. 答：刘丽十二月份工资总额为7 550元．。

1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点)．预习教材P19－P20，完成下面问题： 知识点 函数的三种表示方法(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( ) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．( )提示 (1)× 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；(2)× 有些函数的是不能画出图象的，如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q－1，x ∈∁R Q ；(3)× 反例：f (x )＝1x的图象就不是连续的曲线．题型一 作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝x ＋1(x ∈Z )； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))．解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y ＝x ＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x ＜3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝x 2－2x 介于0≤x ＜3之间的一部分，如图(2)所示．规律方法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．【训练1】画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．题型二列表法表示函数【例2】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________________．解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示：∴f(g(x))>g(f(x))的解为x答案1 2规律方法列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．【训练2】 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f [g (1)]＝__________；(2)若g [f (x )]＝2，则x ＝__________. 解析 (1)由表知g (1)＝3， ∴f [g (1)]＝f (3)＝1；(2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1. 答案 (1)1 (2)1方向1 【例3－1】 (1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，则函数f (x )的解析式为________． (2)已知f (x )是二次函数且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则函数f (x )的解析式为________． 解析 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，解得k ＝4，b ＝－5或k ＝－4，b ＝253，所以f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1得c ＝1，则f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1]－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ＝2x .故得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0解得a ＝1，b ＝－1，故得f (x )＝x 2－x ＋1.答案 (1)f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253 (2)f (x )＝x 2－x ＋1方向2 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 【例3－2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解 (1)法一 (换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1.因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，①∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ∴由①②得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝13x 2－2x .规律方法 求函数解析式的类型及方法(1)若已知所要求的解析式f (x )的类型，可用待定系数法求解，其步骤为：①设出所求函数含有待定系数的解析式；②把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，得到待定系数的值； ④将所求待定系数的值代回所设解析式．(2)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可．(3)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．课堂达标1．下列函数y ＝f (x )，则f (11)＝( )A ．2解析 由表可知f (11)＝4. 答案 C2．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3D ．f (x )＝x 2＋6x －10解析 法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∵f (x －1)＝x 2＋4x －5， ∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ； 法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)， ∴f (x )＝x 2＋6x ；∴f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x .故选A ． 答案 A3．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.解析 1. 答案 14．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. 答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －85．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 解 (1)f (x )图象的简图如图所示．(2)观察f (x )的图象可知，f (x )图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，则f (x )的值域是[－1,3]．课堂小结1．函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．。

§ 函数及其表示函数的概念学习目标 .理解函数的概念(重点、难点).了解构成函数的三要素(重点).正确使用函数、区间符号(易错点)．预习教材－，完成下面问题：知识点函数的概念()函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数的定义域和值域一定是无限集合．( )()根据函数的定义，定义域中的任何一个可以对应着值域中不同的.( ) ()在函数的定义中，集合是函数的值域．( )提示 ()×函数的定义域和值域也可能是有限集，如()＝；()×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个，在值域中都有唯一确定的与之对应； ()×在函数的定义中，函数的值域是集合的子集． 知识点区间及有关概念 ()一般区间的表示． 设，∈，且<，规定如下：()已知全集＝，＝{<≤}，则∁用区间表示为．解析∁＝{≤或>}，用区间可表示为(－∞，]∪(，＋∞)．答案(－∞，]∪(，＋∞)题型一函数关系的判定【例】()下列图形中，不能确定是的函数的是( )()下列各题的对应关系是否给出了实数集上的一个函数？为什么？①：把对应到＋；②：把对应到＋；③：把对应到；④：把对应到. ()解析任作一条垂直于轴的直线＝，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知不满足要求，因此不表示函数关系．答案()解①是实数集上的一个函数．它的对应关系是：把乘再加，对于任意∈＋都有唯一确定的值与之对应，如当＝－时，有＋＝－与之对应．同理，②也是实数集上的一个函数．③不是实数集上的函数．因为当＝时，的值不存在．④不是实数集上的函数．因为当<时，的值不存在．规律方法.根据图形判断对应是否为函数的方法()任取一条垂直于轴的直线；()在定义域内平行移动直线；()若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的。

1.3第一课时 函数的单调性和最值（1）一、课前准备 1．课时目标(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思； (2) 理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；(3) 掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题；能运用函数的单调性定义证明简单函数 的单调性。

2．基础预探（1）在初中已经学习了函数图象的画法为 。

其步骤：第一步 ；第二步 ；第三步 。

(2) 从函数2x y =的图象可以看到其图像特点：图象在y 轴的右侧部分是 的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着 ，图象在y 轴的左侧部分是 的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着 。

（3）增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 ；若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 。

（4）若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的） ，这一区间叫做函数)(x f 的 .此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是 的，减函数的图象是 的.（5）判断或证明单调性的步骤：①、 ；②、 ；③、 ；④、 ；⑤、 。

二、学习引领 1、增减函数单调性。

函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =，当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数，在R 上没有单调性。

有的函数没有单调性，如：y=2常数函数。

2、函数的单调区间⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵在区间上取值，应是该区间内任意的两个实数，忽略“需要任意取值”这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

第一章 集合与函数概念与性质诊疗一．集合 1. 精要总结集合的有关概念是解决集合问题的基础，也是学习其他数学知识的语言工具，试题多以选择题或填空题的形式出现，主要应用集合的基本概念和元素的特征进行分析和检验. 集合中元素的“三性”是指集合中元素的确定性、元素的互异性和元素的无序性，抓住的集合中元素这三个特性就等于抓住了集合的本质特征，也就抓住了解决问题的理论依据 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。

因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.当集合为有限集时，一般有列举法，当集合为无限集时，不宜采用列举法，这时，宜用描述法或图示法.对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用.集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性强，难度也较大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性. 2. 错例辨析例1:已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.误解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩,得33m -≤≤.分析：忽视了空集的特性.A A ∅=.正解：⑴若B =∅，则m+1>2m-1，即2m <此时A B A ⋃= ⑵若B ≠∅，则2m ≥∵B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，得33m -≤≤，则23m ≤≤由⑴⑵可知：m 的取值范围是(,3]-∞ 针对练习1已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，若B A Ü，求实数m 的值．例2已知集合{2,,}M a b =，2{2,2,}N a b =且有,M N M N M N ⋃=⋃=求a 、b 的值. 误解：因为,M N M N M N ⋃=⋃=,所以M=N⑴由题意可知：a+2=1或2(1)1a +=或2331a a ++=，解得：a=-1或a=-2或a=0.⑵由题意得：21a a b =⎧⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩分析：集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性.上述解法中忽视了元素的互异性原则.正解：⑴据元素的互异性可排除-1和2，∴a=0 ⑵据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩针对练习2若{}322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭，，，，，且{}25A B =，，试求实数a ．例3已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N误解：由方程组211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得抛物线和直线的交点为(0,0),(1,2).所以M ∩N={(0,0),(1,2)}分析：在集合运算之前，首先要认清集合中元素的特征，集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}是数集，此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，属于图形范畴. 正解：M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R} ∴ M ∩N=M={y|y ≥1} 针对练习3已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ．二.函数概念与性质 1.精要总结函数是中学数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素．函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素．函数定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集．由函数定义知，由于函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，于是确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应关系．因此，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，才是同一函数．符号)(x f y =是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系f 所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象或表格，还可以用文字描述；y 是自变量对应的函数值，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量对应的函数值．对函数奇偶性的学习注意以下几点:①要正确理解奇函数和偶函数的定义.定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.②奇偶性是函数在定义域上的对称性质.单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势. 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相关关系.③奇函数在0x =有定义，则(0)0f =.事实上(0)(0)f f -=-，所以(0)0f = 对函数单调性的学习注意以下几点:①函数的单调性是针对函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数.②函数单调性定义中的21,x x ，有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字不能随便丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是21,x x 之间有大小，通常规定21,x x ；三是同属一个单调区间．三者缺一不可．③若函数)(x f 在其定义域内的两个区间B A ,上都是增（减）函数，一般不能简单认为)(x f 在B A 上是增（减）函数．如xx f 1)(=在()0,∞-上是减函数，在()+∞,0上也是减函数，但不能说它在定义域()()+∞∞-,00, 上是减函数． 函数单调性的判断及单调区间的确定的常用方法有：①定义法：它是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法，一般地函数的单调性证明都是利用定义来完成的．②复合函数法：对于复合函数[])(x g f y =，若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[])(x g f y =为增函数；若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上一个增函数，另一个是减函数，则y=[])(x g f y =是减函数．③利用课本习题的结论：在公共定义域上两个增函数的和仍然是增函数，两个减函数的和仍然是减函数. 2. 错例辨析例4:已知函数()f x 的定义域为，求函数(1)f x +的定义域 误解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是分析：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了. 正解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是针对练习4设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 例5:已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .误解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=-故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.分析：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解. 正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，针对练习5函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-求))5((f . 例6：求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域. 误解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，分析:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <= ()f x ∴的值域是[)211，针对练习6求函数242(14)y x x x =-+-≤≤的值域.例7: 函数y=245x x --的单调增区间是_________.误解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-误解分析：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]-- 针对练习7 求函数62-+=x x y 的单调区间.例8: 判断函数()(1f x x =+的奇偶性.误解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===， ∴()(1f x x =+ 分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x -≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 针对练习8判断函数()f x ＝（x 答案及解析本章诊疗 针对练习:1. 由已知，易得 {}32A =-，，B A ∵Ü，{}3B =-∴或{}2或∅．若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13m =； 若{}2B =，由210m +=，得12m =-； 若B =∅，由10mx +=无解，得0m =．13m =∴或12m =-或0m =． 2∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=， 解得 2a =或1a =±．当a=1时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245AB =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25AB =，满足题意，故2a =为所求．3. 2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，2222(1)33y x x x =--+=-++≤，{}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤， {}13AB y y =-∴≤≤．4. 由题意，得⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,10,10m x m x 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-,1,1m x m m x m ，解此不等式组，需讨论1-m 与m 的大小.（1）当m m <-1，即21>m 时，不等式组无解，此时函数关系不存在； （2）当m m =-1，即21=m 时，21==m x ； （3）当01>>-m m ，即210<<m 时，m ≤x ≤m -1综上，当0＜m ≤21时，函数)(x g 的定义域为{|x m ≤x ≤m -1}. 5．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+， 所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+6．2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =- ∴ 所给函数的值域为[2,2]-．7. )(x f 的定义域为),2[]3,(+∞--∞ ，而62-+=x x y .可由u y =和62-+=x x u 复合而成，而u y =单调递增，42521622-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x u∴u 在]21,(--∞上是减函数，在),21[+∞-上是增函数， ∴所求的单调递增区间为),2[+∞，单调递减区间为]3,(--∞.8.由⎩⎨⎧>-≥+0101x x 或⎩⎨⎧<-≤+0101x x 得[)1,1-∈x ,定义域不关于原点对称,故)(x f 不是奇函数也不是偶函数.。

第一章 集合与函数概念§1.1集合第一课时 集合的含义与表示一、课前准备1．课时目标：了解集合的含义，掌握常用数集的概念和记法，理解集合中元素的三大属性，并能用图形和集合语言（列举法和描述法）表示集合的含义。

2．基础预探(1) 元素与集合有 两种关系，其中数学符号为“∈”和“∉”，它们是表示元素与集合间的关系的专用符号，只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系.(2) 集合的基本性质：① ，② ，③ .(3) 集合按元素个数可分为： ；按元素特征可分为数集和点集等.(4) 集合的两种表示方法：① ，如A={0，1，2，3}；② ，如B={|3,x x m =m ∈*N }.二、基本知识习题化1. 用列举法表示下列集合：（1）6|,2A x Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭； （2）6|2B Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭； （3）{}2|6,,C y y x x N y N ==-+∈∈； （4）{}2(,)|6,,D x y y x x N y N ==-+∈∈。

2. 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(){}2,|32x y y x x =++，{}2|32x y x x =++，{}2|32y y x x =++是表示不同的集合，第一个表示 ，第二个表示 ， 第三个表示 .三、学习引领1．对集合中元素的三大属性的解读确定性：从集合的定义，可以看出，作为一个集合的元素，必须是确定的。

也就是说不确定的对象不能构成集合。

对于给定的集合来说，某元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。

例如，“所有的等边三角形”构成一个集合，因为等边三角形是三条边都相等的三角形，它的性质是确定的；而“清华大学的高才生”就不能构成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。

互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），这就是说集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的元素归入同一个集合时只能算作一个集合的元素。

习题课 函数的应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点)．1．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 令f (x )＝e x ＋3x ＝0，即e x ＝－3x ，在同一坐标系中作出函数y ＝e x 和y ＝－3x 的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f (x )有1个零点．答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0解析 当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D ． 答案 D3．函数f (x )＝ax 2＋x －1至少存在一个零点，则a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝x －1有一个零点x ＝1；当a ≠0时，则零点Δ＝1＋4a ≥0，解得a ≥－14且a ≠0，综上a 的取值范围是a ≥－14. 答案 ⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 4．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．解析 设生产x 台，获得利润f (x )万元，则f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，故当x ＝50时，获得利润最大．答案 50方向1 【例1－1】 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 解析 由f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0及零点存在性定理，知f (x )的零点在区间(－1,0)上． 答案 B方向2 判断函数零点的个数【例1－2】 方程|x |－a x＝0(a >0)的零点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．至少1个解析 令f (x )＝|x |，g (x )＝a x(a >0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．答案 A方向3 根据函数零点求参数的取值范围【例1－3】 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|. 在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，如图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同的解． 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根．所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9.答案 (0,1)∪(9，＋∞)规律方法 函数零点问题的解法(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理，结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(3)根据函数的零点求参数的取值范围：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【训练1】 (1)函数f (x )＝x ＋lg x －3的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞) (2)若方程4x ＋2x ＋1＋3－a ＝0有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)易知函数f (x )＝x ＋lg x －3在定义域上是增函数，f (1)＝1＋0－3<0，f (2)＝2＋lg 2－3<0，f (3)＝3＋lg 3－3>0.故函数f (x )＝x ＋lg x －3的零点所在的区间为(2,3)，选C ．(2)由4x ＋2x ＋1＋3－a ＝0得a ＝4x ＋2x ＋1＋3，又4x ＋2x ＋1＋3＝(2x )2＋2·2x ＋3＝(2x ＋1)2＋2，因为2x >0，所以(2x ＋1)2＋2>3.故要使原方程有零点，则a >3.答案 (1)C (2)(3，＋∞)类型二 函数模型及其应用【例2】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品为x 万元，则投资风险型类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．规律方法 建立函数模型的方法(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型．(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型．(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型．【训练2】 今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)． (2)由(1)得，P ＝P 0e(15ln 0.9)t . 当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e(15ln 0.9)t . 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82. 故污染物减少到40%至少需要42小时．1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．2．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．3．函数建模的基本过程如图。