高中数学1.3.1量词同步练习(含解析)苏教版选修11

1.3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定双基达标(限时15分钟)1．下列命题．①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有________个．解析②③都是全称命题，含有全称量词“任意”．答案 22．下列全称命题中假命题的个数是______．①2x＋1是整数(x∈R)②对所有的x∈R，x>3③对任意一个x∈Z，2x2＋1为奇数解析①错，当x＝2时，22＋1不是整数；②中x＝0不成立．③为真命题．答案 23．下列全称命题中真命题的个数为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．解析①为真命题；②由角平分线的性质知是真命题；③是真命题．答案 34．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R使x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为______．解析①对x＝0不成立；②当α＝0时成立；③不存在a∈R，对∀x∈R有x2＋2x＋a<0.答案 15．命题“存在x∈R使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________________________．解析该命题的否定是“对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．答案对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠06．用量词符号“∀”、“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x都能使x2＋x＋1<0；(2)对所有有理数x都能使x2＋1是有理数；(3)一定有实数α，β使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(4)存在实数a，b，使关于x的方程ax＋b＝0恰有一解．解(1)∀x∈R，x2＋x＋1<0；假命题．(2)∀x∈Q，x2＋1∈Q；真命题．(3)∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；真命题．(4)∃a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有一解；真命题．综合提高(限时30分钟)7．命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定为________．解析x≤1或x2>4的否定为x>1且x2≤4.答案∀x∈R，x>1且x2≤48．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．解析①②都是真命题，其否定为假命题．③④是假命题，其否定为真命题．答案③④9．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________．解析 由题知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴a ≤－2或a ＝1.答案 {a |a ≤－2或a ＝1}10．设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．解析 p ：0<c <1；q ：由Δ<0知－12<c <12. ∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≤0或c ≥1，－12<c <12，得－12<c ≤0. 综上：12≤c <1或－12<c ≤0. 答案 －12<c ≤0或12≤c <1 11．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀∈α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x ，y ∈Z ，3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．解 (1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．12．已知綈p ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，求实数m 的取值范围．解 由綈p 为真，即p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题，由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]， 又sin x ＋cos x >m 不恒成立，∴m ≥－ 2.又对∀x ∈R ，q 为真，即不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，∴Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，故m 的取值范围是－2≤m <2.13．(创新拓展)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 恒成立？ 解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立．∵f (x )的图象过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0.又x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 恒成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故a ＋b ＋c ＝1.∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a . 故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22时，x ∈R 成立． 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧14－4a （12－a ）≤0，1－8a （1－2a ）≤0，0<a <12.∴a ＝14，c ＝14，从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14. ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对于x ∈R 恒成立．。

1．以下命题中含有存在量词的个数为__________．①方程 x2－ 2x＋ 1＝0 的根为 x＝ 1；②存在函数f(x)，使 f( x)的图象过第二、第三象限；③全等的三角形都相像；④有一个三棱锥的各个面为直角三角形．2．以下命题是全称命题的是__________( 填序号 )．3①有一个实数a，使a2无心义；②空间中随意两条不订交的直线平行；22③存在实数x0， y0，使 x0＋ y0－ 4x0＋ 6y0＝ 0 建立；3．以下命题是存在性命题的个数为__________ ．①某些梯形的对角线相互均分；②对每一个无理数x， x2也是无理数；③全部的整数都有平方根；④存在一个四边形没有外接圆；⑤存在整数x， y，使 2x＋ 4y＝ 3 建立．4．给出以下存在性命题：2①x∈ R, 2x－3>4；②存在两个订交平面垂直于同一条直线；③有些整数只有两个正约数．此中的真命题是__________．5．给出以下全称命题：①随意两个相像三角形的面积比都等于对应边长的比；②x∈Q， (x－2 )2＞ 0；③x∈N ， y∈N ，都有 x－ y∈N.此中假命题的个数是__________．6．以下命题中是全称命题且是假命题的是__________( 填序号 )．①每一个向量都有大小；②存在一个二次函数没有最大值或最小值；③两个无理数的和必是无理数；④x≤ 0， x3≤ 0；⑤随意体积相等的两个长方体，表面积相等．7．以下命题是存在性命题且是真命题的个数是__________ ．①有一个负数x，使1＞ 2；x②x0∈R,2x＜log1x；2③与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；④有一个奇数不可以被3 整除．8．用符号“”和“”表示以下命题，并判断真假．(1)对随意实数x，都有 x3＞ x2.(2)存在正数φ，使函数y＝ cos(2x＋φ)为奇函数建立．9．已知命题“随意x∈R，都有 ax2－ 2ax－ 3≤ 0”是真命题，务实数 a 的取值范围．参照答案1.答案： 2分析：①中不含量词，②④含有存在量词，③可写成全部全等三角形都相似，含有全称量词 .2.答案：②④分析：①③含有存在量词，是存在性命题，②④含有全称量词，是全称命题 .3.答案： 3分析：①④⑤含有存在量词，是存在性命题，②③是全称命题.4.答案：①③分析：当 x＝ 3 时， 2x2－ 3＝26＝ 64＞ 4 建立，∴①为真命题.②∵垂直于同向来线的两平面平行，∴不存在两个订交平面垂直于同一条直线；②为假命题，③如3,5,7的正约数就只有两个，∴③是真命题.5.答案：2分析：①∵相像三角形的面积比等于对应边长的平方比，∴①为假命题；②为真命题；③当x＝ 1， y＝3 时， x－ y＝－ 2 不是自然数，∴③为假命题.6.答案：③⑤分析：①是全称命题，真命题；②是存在性命题；③是全称命题，当两个无理数互为相反数时，和是有理数零，故为假命题；④是全称命题，真命题；⑤是全称命题，假命题 .x0＝117.答案： 2 分析：①是存在性命题，假命题；②是存在性命题，当时， 28 2 ，8log 11 3 2 ，∴是真命题；③是全称命题；④是存在性命题，如 5 是奇数，不可以被 3 整28除，是真命题.8.答案：解： (1)x∈ R， x3＞ x2，假命题 .(2)φ＞0， y＝ cos(2x＋φ)是奇函数，真命题 .9.答案：解：∵随意x∈ R，都有 ax2－ 2ax－ 3≤0 恒建立，a，，0a0∴或2，304a12a0解得 a＝ 0 或－ 3≤ a＜ 0，即－ 3≤a≤ 0，故实数 a 的取值范围是－3≤ a≤ 0.。

苏教版高中数学选修1～1 全册同步课时检测目录选修1-1同步练测：1.1命题及其关系选修1-1同步练测：1.2简单的逻辑联结词选修1-1同步练测：1.3全称量词与存在量词选修1-1本章练测：第1章-常用逻辑用语选修1-1同步练测：2.1圆锥曲线选修1-1同步练测：2.2椭圆选修1-1同步练测：2.3双曲线选修1-1同步练测：2.4抛物线选修1-1同步练测：2.5圆锥曲线的共同性质选修1-1本章练测：第2章-圆锥曲线与方程选修1-1同步练测：3.1导数的概念选修1-1同步练测：3.2导数的运算选修1-1同步练测：3.3导数在研究函数中的应用选修1-1同步练测：3.4导数在实际生活中的应用选修1-1本章练测：第3章-导数及其应用选修1-1模块检测：选修1-1全模块测试卷一、填空题（本题共15小题，每小题4分，共60分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_________________________.2.命题“若f错误！未找到引用源。

是奇函数，则f错误！未找到引用源。

是奇函数”的否命题是________________________.3.对于函数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的图象关于错误！未找到引用源。

轴对称”是“错误！未找到引用源。

是奇函数”的_条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）4.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t 的条件,r是t的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）5.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有________个.6.命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的逆否命题是________.7.“错误！未找到引用源。

量词[学习目标].通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题()全称量词：短语“所有”“任意”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示.()全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对中任意一个，有()成立”可用符号简记为∀∈，()，读作“对任意属于，有()成立”.知识点二存在量词和存在性命题()存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示.()存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题.存在性命题“存在中的一个，使()成立”可用符号简记为∃∈，()，读作“存在一个属于，使()成立”.[思考]()在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？()全称命题中的“，与()”表达的含义分别是什么？答案()在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.()元素可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合是这些元素的某一特定的范围()表示集合的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于”，可以表示为“∀∈，≥”.题型一全称量词与全称命题例试判断下列全称命题的真假：()∀∈，＋>；()∀∈，≥；()对任意角α，都有α＋α＝.解()由于∀∈，都有≥，因而有＋≥>，即＋>，所以命题“∀∈，＋>”是真命题.()由于∈，当＝时，≥不成立，所以命题“∀∈，≥”是假命题.()由于∀α∈，α＋α＝成立.所以命题“对任意角α，都有α＋α＝”是真命题.反思与感悟判定全称命题的真假的方法：()定义法，对给定的集合的每一个元素，()都为真；()代入法，在给定的集合内找出一个，使()为假，则全称命题为假.跟踪训练试判断下列全称命题的真假：()∀∈，＋≥；()任何一条直线都有斜率；()每个指数函数都是单调函数.解()由于∀∈，都有≥，因而有＋≥，所以“∀∈，＋≥”是假命题.。

_1.3全称量词与存在量词1．3.1量词[对应学生用书P12]全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数x，都有x>5.(2)对任意一个x(x∈Z)，3x＋1是整数．问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数x，必定有x>5；(2)对所有的整数x,3x＋1必定是整数．全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示∀x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式∀x∈M，p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数x，使3x＋1＝7.(2)至少有一个x∈Z，使x能被3和4整除．问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)表示有一个实数x，满足3x＋1＝7；(2)存在一个整数Z，满足能被3和4整除．存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“∃x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式∃x∈M，p(x)1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．[对应学生用书P12]全称命题、存在性命题的判断[例1]判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a>0且a≠1，则对任意x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sin x|；(4)存在实数x，使得x2＋1<0.[思路点拨]分析每一个命题中的量词，再判断．[精解详析](1)、(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)、(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．[一点通]判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤：(1)判断此语句是否为命题；(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词；(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．1．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是存在性命题．答案：①②③④2．判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(5)负数的平方是正数；(6)有的实数是无限不循环小数；(7)每个二次函数的图像都与x轴相交．解：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．(3)中含有全称量词符号“∀”，所以是全称命题．(4)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．(7)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题.全称命题、存在性命题的表述[例2]判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用量词符号“∀”，“∃”表述：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x，满足x2＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[精解详析](1)全称命题：∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)存在性命题：∃x∈Q，x2＝3.(3)全称命题：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[一点通]准确理解全称命题和存在性命题的概念，熟练应用常用的全称量词和存在量词．任何一个全称命题和存在性命题都有多种表述方式，但用符号“∀”“∃”表述却很规范，就是一般式．全称命题：∀x∈M，p(x)；存在性命题：∃x∈M，p(x)．3．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示：(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；(4)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.解：(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)∃x∈R，有2x＋1＞0.(4)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.全称命题和存在性命题真假的判断[例3]判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假：(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；(4)存在实数x，使1x2－x＋1＝2.[思路点拨]应先分清所给命题是全称命题还是存在性命题，再判断真假．[精解详析](1)是一个存在性命题，是假命题；(2)是一个全称命题，是假命题；(3)是一个全称命题，是假命题；(4)是一个存在性命题，是假命题．[一点通]1．全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个元素x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．存在性命题的真假判断：要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．4．给出下列命题：①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ； ②∀x ∈R,3x >0；③∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ④∃x ∈R ，lg x ＝0.其中为真命题的是________．(填入所有真命题的序号)解析：①中，由于x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin x >0,0<cos x <1，所以tan x －sin x ＝sin xcos x －sin x ＝sin x (1－cos x )cos x >0，所以①是真命题；②中，函数y ＝3x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以②是真命题；③中，函数y ＝sin x ＋cos x ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R 的值域是[－2，2]，又2∉[－2， 2 ]，所以③是假命题；④中，由于lg 1＝0，所以④是真命题．答案：①②④5．判断下列全称命题的真假． (1)所有的素数是奇数； (2)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数．解：(1)2是素数，但不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题． (2)∀x ∈R ⇒x 2≥0⇒x 2＋1≥1.所以，全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．6．分别判断下列存在性命题的真假： (1)有些向量的坐标等于其起点的坐标； (2)存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝2. 解：(1)真命题．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＝x 1，y 2－y 1＝y 1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1. 如A (1,3)，B (2,6)，AB u u u r＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(1,3)，满足题意．(2)假命题．由于sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的最大值为2，所以不存在实数x ，使sin x －cos x ＝2.1．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．3．要判定存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题是假命题．[对应课时跟踪训练(五)]1．下列命题： ①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行； ③有的三角形的三个内角成等差数列； ④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号) 解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题． 答案：②④ ①③2．下列命题中的假命题是________． ①∀x ∈R,2x －1>0； ②∀x ∈N *，(x －1)2>0； ③∃x ∈R ，lg x <1； ④∃x ∈R ，tan x ＝2.解析：对②，x ＝1时，(1－1)2＝0，∴②假． 答案：②3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0： ____________________________________________； (2)存在一对实数，使3x －2y ＋1≥0成立： _________________________________. 答案：(1)∀x ∈R ，x 2≥0 (2)∃x ∈R ，y ∈R,3x －2y ＋1≥04．命题“∀x ∈R ＋，2x ＋1x ＞a 成立”是真命题，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈R ＋，∴2x ＋1x ≥22，∵命题为真，∴a ＜2 2.答案：(－∞，22)5．已知“∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，不等式为1>0， 对∀x ∈R,1>0成立．当a ≠0时，若∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1. 综上，a 的取值范围为[0,1)． 答案：[0,1)6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假： (1)对任意x ∈R ，z x ＞0(z >0)；(2)对任意非零实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则1x 1>1x 2；(3)∃α∈R ，使得sin(α＋π3)＝sin α；(4)∃x ∈R ，使得x 2＋1＝0.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． (1)∵z x ＞0(z >0)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝－1，x 2＝1，x 1＜x 2，但1x 1<1x 2，∴命题(2)是假命题．(3)当α＝π3时，sin(α＋π3)＝sin α成立，∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1＞0，∴命题(4)是假命题． 7．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12；(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3.解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34>12，所以该命题是真命题． 法二：x 2－x ＋1>12⇔x 2－x ＋12>0，由于Δ＝1－4×12＝－1<0，所以不等式x 2－x ＋1>12的解集是R ，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos (α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． (3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题． 8．(1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R . ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－ 2.又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立． ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2， 2 ]，又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解． ∴只要m <2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。

高中数学选修1-1 1.3.1量词学案（苏教版）年级高二学科数学选修1-1/2-1总课题1.3全称量词与存在量词总课时分课题1.3全称量词与存在量词分课时主备人史志枫审核人孙雅婷上课时间预习导读(文)阅读选修1-1第13--14页，然后做教学案，完成前三项。

(理)阅读选修2-1第14--15页，然后做教学案，完成前三项。

学习目标1.理解全称量词与存在量词的意义；2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和存在性命题的真假.一、问题情景1.观察以下命题：（1）所有中国人民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；（2）对任意实数x，都有；（3）存在有理数x，都有；上述命题有何不同？2.对于下列命题：（1）所有的人都喝水；（2）存在有理数x ，使；（3）对所有实数a ，都有。

对上述命题进行否定，能发现什么规律？二、建构数学1.“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号表示“对任意”。

“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号表示“存在”。

2.含有全称量词的命题成为全称命题，含有存在量词的命题成为存在性命题。

它们的一般形式为：全称命题：存在性命题：其中，M为给定的集合，是一个关于的命题。

3.⑴要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M 中找到一个元素 ,使得p( )不成立，那么这个全称命题就是假命题⑵要判定存在性命题“ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素 ,使p( )成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在性命题是假命题4.对含有全称量词的命题进行否定，全称量词变为存在量词；对含有存在量词的命题进行否定，存在量词变为全称量词。

一般地，我们有：“ ”的否定为“ ” 的否定为正面词语=是都是至多有一个至少有一个至多有n个反面词语例1.判断下列命题的真假（1）命题（2）命题（3）命题（4）命题例2.写出下列命题的否定⑴所有人都晨练；⑵ ；⑶平行四边形的对边相等；⑶例3.已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围例4.已知命题“ ，”为真命题，求实数的范围例5(理).⑴已知命题“ ”为真命题，则实数的取值范围是________⑵已知命题“ ” 为真命题，则实数的取值范围是_______一、基础题1.命题“每一个等腰三角形的两个底角相等”，“过直线外一点存在惟一的一条直线与该直线平行”中，使用的全称量词是，存在量词是．2.下列全称命题或存在性命题中，真命题是：．（写出所有真命题的序号）（1）至少存在一个锐角，使得；（2）；（3）；（4）；（5）至少有一个，能使；（6）存在四个面都是直角三角形的四面体．3.指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）有一个实数，使成立；（3），；（4）对每一个无理数，也是无理数；（5）存在两个相交平面垂直同一条直线；（6）有些整数只有两个正因数下列命题中真命题的个数是．（1），；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）末位是0的整数，可以被2整除；（4）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（5）正四面体中两侧面的夹角相等．5.命题：存在实数，使方程有实数根，则“非”形式的命题是_________________________________________________ ___________已知：对恒成立，则的取值范围是．7.写出下列命题的否定：（1）有些质数是奇数；（2）若，则有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4），；（5）， .二、提高题1.设函数的定义域为，则下列三个命题中，真命题是．（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．2.若函数的定义域为R，则已知命题“ ”为真命题，则实数的取值范围是“ ”为假命题，则实数的取值范围是______ _已知命题“ ”为真命题，则实数的取值范围是三、能力题1、已知：对，方程有解，求的取值范围．2.若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围在平面直角坐标系中，已知圆和圆．设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．。

1.3 全称量词与存在量词1．下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0答案 D2．已知命题p ：∀x ∈R ，sinx≤1，则( )A ．綈p ：∃x ∈R ，sinx≥1B ．綈p ：∀x ∈R ，sinx≥1C ．綈p ：∃x ∈R ，sinx>1D ．綈p ：∀x ∈R ，sinx>1答案 C3．下列命题为特称命题的是( )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行线D ．存在大于等于3的实数解析 选项A ，B ，C 都是全称命题，选项D 含有存在量词，是特称命题． 答案 D4．命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x>1B ．不存在实数x ，使x≤1C ．对任意实数x ，都有x≤1D ．存在实数x ，使x≤1答案 C5．若命题p ：∀x ∈R ，1x －2<0，则綈p ：________. 解析 綈p ：∃x 0∈R ，使1x 0－2>0或x 0－2＝0.最易出现的错误答案是：∃x 0∈R ，1x 0－2≥0.答案 ∃x 0∈R ，使1x 0－2>0或x 0－2＝06．已知命题：“存在x∈，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．答案[－8，＋∞)7．下列命题是真命题的是________．①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0，则綈p为∀x∈R，x2＋x＋1≠0；③全称命题“∀x∈R，x2是有理数”是真命题；④∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋s inβ.答案①②④8．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3；(2)q：∀x∈R，x2＋x－4>0.解(1)綈p：∀x，y∈Z，2x＋y≠3，当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此綈p是假命题．(2)綈q：∃x∈R，x2＋x－4≤0，当x＝0时，x2＋x－4＝－4≤0，因此綈q是真命题．9．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题，求实数a的取值范围．解∵“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题．∴它的否定“对任意的x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．∴只要Δ＝9a2－4×2×9≤0即可．解得－22≤a≤2 2.故a的取值范围是．10．已知函数f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.对∀x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立，记集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x||x－t|≤1}．(1)当t＝1时，求(∁R A)∪B；(2)设命题p：A∩B≠∅，若綈p为真命题，求实数t的取值范围．解由题意(－1，－8)为二次函数的顶点，∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．A＝{x|x<－3，或x>1}．(1)B＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．∴(∁R A)∪B＝{x|－3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|－3≤x≤2}．(2)B＝{x|t－1≤x≤t＋1}．⎩⎪⎨⎪⎧ t －1≥－3，t ＋1≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧t≥－2，t≤0. ∴实数t 的取值范围是．。

1.3 全称量词与存在量词一、填空题1．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有________个．【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②、③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题，故有2个．【答案】 22．有下列命题：①x∈R，x2＋x＋1＜0；②x∈R，x2＋x＋1＞0；③x∈Z，x2＝2；④x∈R，x2＝2.其中它的否定为假命题的是________．【解析】②④为真命题，故其否定为假命题．【答案】②④3．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋2≤0”是________命题(用真或假填空)．【解析】∵Δ＝1－8＜0，∴x2＋x＋2＞0恒成立，∴不存在x∈R，使x2＋x＋2≤0.【答案】假4．关于x的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)有以下命题：①φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②ω∈R，f(x＋1)＝f(x)；③φ∈R，f(x)都不是偶函数；④φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是________．【解析】命题①显然错误；命题②当ω＝2π时，即合题意，所以该命题正确；命题③当φ＝kπ＋π2(k ∈Z )时，f(x)是偶函数，所以该命题为假命题；当φ＝kπ(k ∈Z )时，f(x)是奇函数，所以命题④是真命题．【答案】 ①③5．已知命题p ：n ∈N ，2n >1 000，则綈p 为________． 【解析】 命题为存在性命题，它的否定为全称命题．【答案】 n ∈N ，2n ≤1 0006．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是________．【解析】 命题是全称命题，它的否定是存在性命题．【答案】 存在一个能被2整除的整数不是偶数7．命题“x ∈R ，－x 2＋2x －a>0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 x ∈R ，使a<－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1.【答案】 a<18．已知命题p ：“任意x ∈，a≥e x ”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题p 为真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ∈，∴a≥e ；又q 为假命题，∴Δ＝16－4a ＜0，即a ＞4.综上，当p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围是(4，＋∞)．【答案】 (4，＋∞)二、解答题9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：(1)若a ＞0，且a≠1，则对任意实数x ，a x ＞0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2；(3)T ∈R ，使sin(x ＋T)＝|sin x|； (4) x ∈R ，使x 2＋1＜0.【解】 (1)全称命题，真；(2)全称命题，假；(3)存在性命题，假；(4)存在性命题，假．10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【解】 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是綈s：存在a∈R，使sin2α＋cos2α≠1.由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．11．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围．【解】(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4.(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x使不等式m＞f(x)成立，只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。

1.3 全称量词与存在量词1.下列命题是全称命题并且是真命题的是________．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立．解析：∵c≤0，∴b＋c≤b.∵a≤b＋c，∴a≤b.答案：②2.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠03.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤34.已知命题：“∃x∈，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．解析：由已知知道：∃x∈，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.答案：a≥－85.不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________．解析：法一：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立；结合二次函数图象得其ＴΔ<0，即4－4a<0，所以a>1.法二：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为0－224×（－1）＝1，所以a>1. 答案：a>11.下列存在性命题中，是真命题的是________．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．解析：①真命题，如当x＝－1时，x≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x＝45，x2＝5为无理数．答案：①②③2.下列全称命题中是假命题的是________．①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意的x∈Z，2x2＋1为奇数．解析：①假命题，当x＝0.6时，2x＋1＝2.2，不是整数；②假命题，当x＝1时，x<3；③真命题，∵x∈Z，∴2x2必为偶数，∴2x2＋1必为奇数．答案：①②3.已知命题p：∃n∈N，2n>1000，则綈p为________．解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N，2n≤1000.答案：∀n∈N，2n≤10004.命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是________．解析：命题中隐含全称量词“所有的”．答案：存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称5.下列命题的否定为假命题的是________．①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；④∃x∈R，Ｔsin2x＋sinx＋1＝0.解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．答案：①6.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5>0.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．7.判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，|x|>0；(2)∀a ∈R ，函数y ＝log a x 是单调函数；(3)∀x ∈R ，x 2>－1；(4)∃a Ｘ∈{向量}，使a·b ＝0；(5)∃x>0，y>0，使x 2＋y 2＝0.解：(1)由于0∈R ，当x ＝0时，|x|>0不成立，因此命题“∀x ∈R ，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R ，当a ＝1时，y ＝log a x 无意义，因此命题“∀a ∈R ，函数y ＝log a x 是单调函数”是假命题．(3)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2>－1.因此命题“∀x ∈R ，x 2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a ＝0时，能使a·b ＝0，因此命题“∃a ∈{向量}，使a·b ＝0”是真命题．(5)由于使x 2＋y 2＝0成立的只有x ＝y ＝0，而0不是正实数，因而没有正实数x ，y ，使x 2＋y 2＝0，因此命题“∃x>0，y>0，使x 2＋y 2＝0”是假命题．8.已知：对∀x>0，a≤x ＋1x恒成立，则a 的取值范围为________． 解析：∀x>0，x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1x时等号成立)，⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2； 而对∀x>0，a≤x ＋1x恒成立，所以a≤2. 答案：a≤29.已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：因为命题綈p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就是不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时就有⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝4－12a<0，解得a>13，因此当命题p 是假命题，即命题綈p 是真命题时，实数a 的取值范围是a≤13. 答案：a≤1310.已知p ：|3x －4|>2，q ：1x 2－x －2>0，求綈p 和綈q 对应的x 的值的集合．解：命题p 中的元素组成的集合为M ，那么对命题p 的否定綈p 组成的集合就是M 的补集．由p ：|3x －4|>2，得p ：x<23或x>2，所以綈p ：23≤x≤2，即綈p ：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|23≤x≤2； 由q ：1x 2－x －2>0，得q ：x<－1或x>2， 所以綈q ：－1≤x≤2，即綈q ：{x|－1≤x≤2}．11.(创新题)是否存在整数m ，使得命题“∀x ∈R ，m 2－m<x 2＋x ＋1”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在整数m ，使得命题是真命题．由于对于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，因此只需m 2－m≤0，即0≤m≤1.故存在整数m ＝0或m ＝1，使得命题是真命题．。