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• 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。20.7.2014:17:4514:17Jul-2020-Jul-20
• 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。14:17:4514:17:4514:17Monday, July 20, 2020
• 13、志不立，天下无可成之事。20.7.2020.7.2014:17:4514:17:45July 20, 2020
设{Xt}为零均值的实平稳时间序列，阶数为P的自回归
模型定义为
Xt 1Xt1 2Xt2 pXtp a t , (5.1)
其中
E[a t ] 0,
E[a
s
a
t
]
a2
,
ts
0, t s
E[asXt ] 0, s t.
模型(8.1)简记为AR(p)，它是一个动态模型，是时间序
列{Xt}自身回归的表达式，所以称为自回归模型。满足AR(p) 模型的随机序列称为AR(p)序列，其中 {k，k=1, 2, , p} 称
时间序列分析
• 时间序列的线性模型 • 模型的阶数 • 模型阶数的确定 • 模型参数的估计 • 模型的检验 • 平稳时间序列的预报 • 非平稳时间序列及其预报
时间序列的线性模型
• 自回归模型AR(p) • 滑动平均模型MA(q) • 自回归滑动平均混合模型ARMA(p,
q)
一、自回归模型AR(p)
于是(5.1)式可表为
其中
(B)Xt=at (B)=11B pBp.
(5.2) (5.3)
平稳性条件：若(5.2)式中， (B)=0的根全在单位圆外 ，即所有根的模都大于1，则称此条件为AR(p)模型的平稳 性条件。当模型(5.2)满足平稳性条件时， 1(B)存在且一般 是B的幂级数，于是(5.1)式又可写成是
Xt= 1(B)at, 称为AR(p)模型的逆转形式。
模型(5.2)可以看作是把相关的序列{Xt}变为一个互不相 关序列{at}的系统。
二、滑动平均模型MA(q)
设{Xt}为零均值的实平稳时间序列，阶数为q的滑动平
均模型定义为
Xt a t 1a t1 qXtq ,
(5.4)
其中 {k，k=1, 2, , q} 称为滑动平均系数，并简记模型(5.4) 为MA(q)。满足MA(q)模型的随机序列称为MA(q)序列。用延 迟算子表示， (5.4)式可以写成
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
因子， () 满足平稳性条件，( )满足可逆性条件。则称{Xt} 是具有有理谱密度的平稳序列。
定理5.1 均值为零的平稳时间序列{Xt}满足(5.8)式的充要 条件是： {Xt}具有形如(5.9)式的有理谱密度。
证明略[8]。 以上定理告诉我们：只要平稳时间序列的谱密度是有理 函数形式，则它一定是一个ARMA(p, q)序列。因此，总可找 到一个ARMA(p, q)序列，满足预先给定的精度去逼近所研究 的平稳序列。
为自回归系数。从白噪声序列{at}所满足的条件看出， at之间 互不相关，且at与以前的观测值也不相关，因此， {at}也称为 新信息序列，它在时间序列分析的预报理论中有重要意义。
为方便起见，引进延迟算子的概念。令
BXt=Xt1， B2Xt=B(BXt)=Xt2. 一般地有BkXt=Xtk, (k=1, 2, )，称B为一步延迟算子，Bk为k 步延迟算子。
(5.8)
其中(B)和(B) 分别为(5.3)式和(5.6)式所表示 ，且它们无公 因子， (B)满足平稳性条件， (B)满足可逆性条件。模型 (5.7)记为ARMA(p, q)。满足ARMA(p, q)模型的随机序列称为 ARMA(p, q)序列。
显然， ARMA(p, 0)=AR(p)； ARMA(0, q)= MA(q)。 如同平稳过程的时域分析与频域分析有对应关系一样，
模型(5.5)中的Xt可以看作是白噪声序列{at}输入线性系 统的输出。
三、自回归滑动平均混合模型ARMA(p, q)
设{Xt}为零均值的实平稳时间序列， P阶自回归q阶滑 动平均混合模型定义为
Xt 1Xt1 pXtp a t 1a t1 qa tq , (5.7)
或
(B)Xt=(B)at
。2020年7月20日星期一下午2时17分45秒14:17:4520.7.20
其中
Xt=(B)at (B)=11B pBq.
(5.5) (5.6)
对于由(5.5)式决定的MA(q)模型，若满足(B)=0的根全 在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为MA(q) 模型的可逆性条件。当模型(5.5)满足可逆性条件时， 1(B) 存在，此时(5.5)式可以写成
at=1(B)Xt, 它称为MA(q)模型的逆转形式。
ARMA(p, q)序列与具有有理谱密度的平稳序列之间也存在对 应关系。那么，一个平稳序列在什么条件下是ARMA(p, q)序 列呢？
定义5.1 设{Xt}为零均值实平稳时间序列，它的谱密度 f()是ei2的有理函数:
f
()
a2
| (ei2 ) | (eБайду номын сангаас2 )
|2 |2
,
1 1,
2
2
(5.9)
其中()和( )是形如(5.3)式和(5.6)式的多项式，且它们无公
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。20. 7.2020.7.20Monday, July 20, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。14:17:4514:17:4514:177/20/2020 2:17:45 PM
