二重积分的变量变换

2 2
解 由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有

D
d 1 x2 y2
d
0
2π
1
r 1 r2
0
dr

2π
0
1 r 2 1 d 2π d 2π . 0 0
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例6 求球体 x 2 y 2 z 2 R2 被圆柱面 x 2 y 2 Rx
D
(9)
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由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时,
d xd y 换 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”
成 r d rd .
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分
来计算.
1. 常用的是将 分解为 r 平面中的 型区域. (i) 若原点 O D , 则 型区域必可表示成(图21-27)
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
y
r r ( )
y
r r ( )
D

O
D
x
O


x
(a)
图 21 28
(b)
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(iii) 若原点在 D 的边界上 (图21-28(b)), 则为:
0 r r ( ), ,
于是有
f ( x , y )dxdy d
D
o
2 cos
D
2
x

D
x y d
2 2
d
2 2

0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2

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例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
所割下部分的体积 ( 称为维维安尼 (Viviani) 体 ). 解 由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第 一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体
z
y
O
y
r R cos
D
x
图 21 32
R
图 21 31
x
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积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为 xy 平面内由 y 0 和 x 2 y 2 Rx 所确定的区域 D
D
O
1
x
u x y, v x y.
即作变换
图 21 23
1 1 T : x ( u v ), y (v u), 2 2 它的函数行列式为
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J (u , v )
1 2 1 2
1 1 2 0. 2 1 2
v
1
在 T 的作用下, 区域 D 的 原象 如图 21-24 所示. 所以
§4 二重积分的变量变换
本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式
二、二重积分的极坐标变换
三、二重积分的广义极坐标变换
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一、二重积分的变量变换公式
定理21.13 设 f ( x , y )在有界闭区域 D 上可积, 变换
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
( x , y) J (u , v ) 0, ( u , v ) , (u , v )
yx
1
o
2 2 1
D
1 2
x
( x y )d
2 2 D

4 0
d r rdr
15 r 4 4 1 16
4 2
1
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例3. 计算
e
D
x2 y2
d
, D: x y a
2 2
2
y
0ra 解: 画草图. D : 0 2
u v

O
图 21 24
uv
e
D
x y x y
1 dxdy e dudv 2
u v
u
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1 1 1 1 e e dv e du v(e e1 )dv . v 2 0 2 0 4 1 v u v
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r1 ( ) r r2 ( ), ,
于是有
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r r1 ( )
r r2 ( )
D

O

x
图 21 27
f ( x , y )dxdy d
D

r2 ( )
r1 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr . (11)
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
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r ( )
0
f ( r cos , r sin ) r dr . (13)
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例2. 计算 及直线 y
2 2 2 2 , x2 y 2 1 , ( x y ) d 由圆周 D x y 4
x, y 0 所围第一象限部分.
2
D
y
1 r 2 解. 画草图 D : 0 4
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
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例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
2 2 2 z R x y . 所以 (图21-32),而曲顶的方程为
V 4 R 2ห้องสมุดไป่ตู้ x 2 y 2 d ,
其中 D ( x , y ) y 0, x 2 y 2 Rx . 用极坐标变换 后, 由 (13) 式便可求得
V 4

2d 0

D


R cos
J (r , )
cos sin
r sin r cos
r.
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定理21.14 设 f ( x , y ) 满足定理21.13 的条件, 且在 极坐标变换 (8)下, xy 平面上的有界闭域 D 与 r 平
面上区域 对应, 则成立
f ( x , y)dxdy f (r cos , r sin ) r drd .
(ii) 若原点为 D 的内点(图21-28(a)), D 的边界的极坐 标方程为 r r ( ), 则 一般可表示成
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0 r r ( ), 0 2 .
于是有
f ( x , y )dxdy
D
2
0
d
r ( )
0
f ( r cos , r sin ) r dr . (12)
D
a
x
e
D
x2 y2
d d e
0 0
2
a
r 2
rdr
a 0
1 r2 2 ( )e 2
(1 e
a2
)
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例4. 计算

D
x 2 y 2 d
, D : x2 y 2 2 x
y
0 r 2 cos 解: 画草图. D : 2 2