高考文科数学平面向量专题

平面向量专题复习一题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1.设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP += ，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=2.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF = _________4、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则AE BD ⋅= ________.5、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60 ,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则t =_____ 2; 题型二： 平面向量基本定理1、在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD = _________2、 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE = , 则AB 的长为______.123、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=23 ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = ______________ 4455a b - 题型三: 平面向量的坐标表示与运算1、已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 值为________2、已知向量(1sin )a θ= ，，(13cos )b θ= ，，则a b - 的最大值为_______ 3、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______24、已知向量(1,0)a = ，()11b = ，，则 （Ⅰ）与2a b + 同向的单位向量的坐标表示为____________；31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）向量3b a - 与向量a 夹角的余弦值为____________。

知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质【练习题】 1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．4、已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫45，－35 5、在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14D ．16、已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.7、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，a ＋b ＋c ＝0，则a 与c 的夹角为( ) A ．150° B ．90° C ．60°D ．30°8、已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.9、设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．4D ．4 310、已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12. (1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；(2)求函数f (x )＝a ·(b －a )的最小正周期．11、已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB ·AC ＝3，求边长b 和c 的值(b >c )．12、如图，在ABC ∆中，OA =a ，OB =b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP 等（ ）A 23a 13- bB 23-a 13-bC 13a 23-bD 13-a 23+ b13．△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0， |a |＝1，|b |＝2，则AD ＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 14．(2012·郑州质检)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2D ．615．(2012·山西省四校联考)在△OAB (O 为原点)中，OA ＝(2cos α，2sin α)，OB ＝(5cos β，5sin β)，若OA ·OB ＝－5，则△OAB 的面积S ＝( ) A. 3 B.32C ．5 3D.532AO MNPB16、若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A .2－1 B ．1 C. 2 D ．217、已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )． A.12 B.1±22 C.1±102 D.－3±22218如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE ＝2EC ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标． ．【课后练习题】1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C2．(2012·福州模拟)若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( ) A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B ．一定不可能构成三角形 C ．都是非零向量时能构成三角形 D ．一定可构成三角形 解析：选A3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC ||AB |的值为( )A.12B.13C.14D.16解析：选A4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF ＝( )A.12 AB －13AD B.14 AB ＋12AD C.13 AB ＋12DAD.12 AB －23AD 解析：选D5．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 解析：选A6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点 解析：选D7．(2012·郑州五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB－AC |，则|AM |＝________.答案：28．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．答案：平行四边形9．设向量e 1，e 2不共线，AB ＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．答案：④10．设i ，j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA ＝－2i ＋m j ，OB ＝n i ＋j ，OC ＝5i －j ，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m ，n 的值．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.7．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________. 答案：48． P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．答案：{}(－13，－23)9．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案：k ≠110．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．(5，－3)．11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？方向相反．12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．8．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 答案：3 29．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．答案：8 210．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . c ＝12b ＝(－1,3)． 11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．α＝30°或α＝210°.。

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

12020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的基本定理 例1给出下列命题：（1）向量AB uuu r 与向量BA u u u r是共线向量，不是平行向量； （2）若向量a r 与向量b r 都是单位向量，则a b =r r； （3）若AB DC =u u u r u u u r，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；（4）,l m 为实数，若a b l m =r r，则a r 与b r 共线．其中错误的命题的序号是 ．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。

两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同；（3）是错误的，当A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当==0l m 时，a r 与b r可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若AB DC =u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。

==0l m ，若a b l m =r r，则a r 与b r 不一定共线。

【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．例2 已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r且a r ∥b r ,则x = ．【答案】34-【解析】根据a r ∥b r 有01221=-y x y x ,可知022)3(1=⨯--⨯x ,得43-=x【易错点】（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了12120x x y y -=．（2）||a b r r12210x y x y ⇔-=，不是12120x x y y -=，可以记为“斜乘相减等于零”．12120a b x x y y ^?=r r，可以记为“竖乘相加等于零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢． 【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． 2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； （2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； （3）向量平行与起点的位置无关．题型二 平面向量的线性运算例1在ABCD Y 中，错误的式子是（ ）A ．AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r B ．AD AB DB -=u u u r u u u r u u u rC ．=+D ．AC AB AD =+【答案】D ．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如=+，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r，对于D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得AC AB AD =+．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。

数学讲义之平面向量【主干内容】1．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ．2．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．3．平面向量的坐标运算： 若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R，则：＋＝ －＝ λ＝4. 向量的数量积的几何意义： |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)． ·b 的几何意义是，数量·b 等于 ．5．向量数量积的运算律：a ·b ＝ ； (λa )·b ＝ ＝a ·(λb )；(a ＋b )·c ＝总结： 在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。

其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。

大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。

【题型分类】题型一：向量的概念与几何运算〖例1=，则b a =； ②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件； ③若==,，则c a =； ④b a ==且a ∥b ； ⑤若∥，∥，则∥。

其中，正确命题的序号是____________〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图1－2A ．0B ． BE →C ．.AD → D ．CF →〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒〖例4〗已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？【小结】：1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算〖例1〗设＝(ksin θ, 1)，b ＝(2－cos θ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．〖例2〗（2011稽阳联考）已知向量,均为单位向量，它们的夹角为︒45，实数x 、y 满足1||=+y x ，则y 的取值范围是 ．〖例3〗已知向量＝(cos2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝552，求cos(α－β)的值．〖例4〗（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.〖例5〗在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．【小结】：1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 题型三：平面向量的数量积〖例1〗已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a⊥b，求θ；(2) 求|a ＋b |的最大值．〖例2〗（2011全国） 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.〖例3〗（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________． 【小结】：1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意·b 与ab 的区别．·b ＝0≠＞＝，或b ＝．3．应根据定义找两个向量的夹角。

高考数学文科总复习五《平面向量》讲义第十三讲 平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·BC OM 的值为N MOCB AA ．15-B ．9-C ．6-D ．04．（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a b 5．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为A ．85-B ．81C ．41D ．8117．（2016全国III 卷）已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)⊥2a a b ，则a 与b 的夹角为A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π 9．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b10．（2015新课标2）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．1-B ．0C ．1D ．211．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+FC EBA ．ADB ． AD 21C ． BC 21 D ． BC12．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．513．(2014山东) 已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．BC ．0D ． 14．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．3π C ．6π D ．0 15．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e16．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定17．(2014重庆)已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15218．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1019．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =20．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 21．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ． D ． 22．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，⋅0a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 223．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是A 、2⎛⎝⎦ B 、 ,22⎛ ⎝⎦ C 、2⎛ ⎝ D 、2⎛ ⎝ 24．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．425．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－1 26．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b27．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ． 14B ．12C ．1D ．228．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1229．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于A BC ．2221|||()2|-⋅a b a bD ．2221|||()2|+⋅a b a b 30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-a b ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0=ab B ．=a b b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a b D ．2222()()||||+•=ab a b a b二、填空题 31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=_． 32．(2018北京)设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______．33．（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__．34．（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ．35．（2017天津）在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =，AE AC ABλ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．36．（2017山东）已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ．37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45。

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．2D ．503．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A 3 1 B 3C ．2D ．236．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．07．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，12，OAu u u r与OC uuu r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．。

高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。

在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。

下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。

一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。

在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。

向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。

向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。

计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。

其中，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。

三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。

计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。

其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。

向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。

四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。

共线的向量也叫线性相关向量。

线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。

线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。

五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。

在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。

例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。

六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。