高一数学四种命题的关系
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1.4 命题及其关系、充分条件与必要条件一 . 基本概念1.命题__________________________________________ 叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
2. 四种命题及其关系( 1 )四种命题命题表述形式原命题若 p ,则 q逆命题否命题逆否命题( 2 )四种命题间的相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为命题,它们的真假性没有关系;注:否命题是命题的否定吗?答:不是。
命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定只否定命题的结论。
3.充分条件与必要条件( 1)“若 p ,则 q ”为真命题,记p q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。
( 2)如果既有p q ,又有 q p ,记作 p q ,则 p 是 q 的充要条件, q 也是 p 的充要条件。
二.例题1、命题的判定例1、判断下列语句中那些是命题,并判断其真假。
( 1 )一个数不是合数就是质数,( 2 )矩形是平行四边形练习:判断下列语句中那些是命题,并判断其真假。
(1)空集是任何集合的子集,(2)指数函数是增函数吗?2、四种命题之间的关系例 2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
( 1 )面积相等的两个三角形是全等三角形(2)若 q< 1, ,则方程 x22 x q 0有实根(3)若 x2y 20 ,则实数x, y 全为 0练习:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
(1)实数的平方是非负数(2)若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0 。
3、充分必要条件的判定与应用例 3、指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件:⑴p : x=y ; q : x2 =y 2 .⑵ p :三角形的三条边相等;q :三角形的三个角相等.例 4 、(1)已知a,b 是实数,则“a0 且b0 ”是“ab 0 且ab0 ”的 ( )A .充分而不必要条件C.充分必要条件B .必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)“”是“且”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2(2) “a≠ 0 ”的例 6. (1)x>3的一个充分不必要条件是( )”(A) x>2(B) x<1(C) x>4(D)1<x<32 3<0”的一个必要不充分条件是 ( )(2) “2x -5x- (A) -1/2<x<3 (B) -1/2<x<4 (C) -3<x<1/2(D) -1<x<2例 7. 已知 p 、q 都是 r 的必要条件 , s 是 r 的充分条件 , q 是 s 的充分条件 , 那么 s 、 r 、 p 分别是 q 的什么条件 ?例 8*. 求关于 x 的方程 x 2+ ( m - 2)x + 5- m = 0( m ∈ R)有两个都大于2 的实 根 的充要条件 .三 . 课堂练习:用“充分”或“必要”填空,并说明理由:⒈“ a 和 b 都是偶数”是“ a+b 也是偶数”的 _________ 条件; ⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 _________条件; ⒊“ x 3 ”是“ |x| 3”的 _________条件; ⒋“ x- 1=0”是“ x 2- 1=0”的 _________条件;⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 _________条件; ⒍“至少有一组对应边相等” 是“两个三角形全等” 的 _________条件; ⒎对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (其中 a,b,c 都不为 0 )来说, “ b 2-4ac 0”是“这个方程有两个正根”的 _________条件; ⒏“ a=2 , b=3 ”是“ a+b=5 ”的 _________条件;⒐“ a+b 是偶数”是“ a 和 b 都是偶数”的 _________条件; ⒑“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的 _________条件 .四.小结:判断充分条件与必要条件的依据是: 若 p q ,则 p 是 q 的充分条件; 若 q p ,则 p 是 q 的必要条件五.巩固练习:★ “ a 且 b ”的 条件是 “ a 2 b 2 ”(1) 0 0 0 ★★ 已知 , b ,“ 对一切实数 成立 ”是 “b ”条件(2) a Rax b 0 x 0 ★ “ A B ”的 条件是 “ A ü” (3) A B★ “ A ”的 条件是 “A B ” (4) B A★ (5)“a b 0” 的一个必要非充分条件是 3. 以下 A 分别是 B 的什么条件?★ (1) A: P ∩ Q=P, B: P Q; ★(2)A: a=b, B: ac=bc★(3)A:P Q; B: P =Q; ★ (4)A: P=Q; B : P ∩C=Q ∩C;★ (5) A: x2 2 ★★ (6)A: a ≠ 1 且 b ≠ 2; B:+y =0; B: xy=0;a+b ≠ 3;★ (7) A: x ∈P ∪ Q; B: x ∈ P ∩ Q.4. ★★★已知 M ={( x ,y) | y= - x 2+mx-1, m ∈R} , N={( x , y) | y= - x +3, 0< x < 3} ,求 M ∩ N ≠ 的充要条件。
精锐教育学科教师辅导教案学员编号:年级:高一课时数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:桂阳阳课程主题:命题的形式及等价关系授课时间:学习目标命题的形式及等价关系教学内容内容回顾知识精讲知识点一命题的形式及等价关系【知识梳理】1.命题的概念:可以判断真假的语句叫做命题;2.四种命题形式:原命题,逆命题,否命题,逆否命题;原命题:若α,则β;逆命题:若β,则α;否命题:若α,则β;(α表示α的否定,β表示β的否定)逆否命题:若β,则α;3.等价命题:如果B A 、是两个命题,A B B A ⇒⇒,,那么B A 、叫等价命题。
4.四种命题形式及其相互关系:的图像经过第一、二、三象限;知BA B中,若|AC6、已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7、已知命题甲:4a b +≠,命题乙:1≠a 且3≠a ,则命题甲是命题乙的条件8、1122123639x x x x x x >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的条件总结回顾课后作业1.05x <<是|2|3x -<的条件.2.方程20x x m -+=有根的一个充分非必要条件是.14.写出=0ab的一个充要条件、一个充分非必要条件、一个必要非充分条件..15.已知命题:p方程2220-上有解;命题:q只有一个实数满足不等式+-=在[1,1]a x ax2220++≤.若,p q都是假命题,求a的取值范围.x ax a预习内容。
§1.4.3 命题中的四种条件关系【学习目标】1.理解命题中p与q的四种关系;2.能从集合的角度理解四种关系;3.能判定命题中p与q的四种关系.【学习过程】活动一:命题中p与q的条件关系通常有四种:p⇒q,q⇒p,即p⇔q,p是q的充要条件;p⇒q,q⇏p,p是q的充分不必要条件;p⇏q,q⇒p,p是q的必要不充分条件;p⇏q,q⇏p,p是q的既不充分也不必要条件.1.下列各题中,p是q的什么条件?(1) p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0;充要条件(2) p:a∈P∩Q,q:a∈P;充分不必要条件(3) p:a∈P∪Q,q:a∈P;必要不充分条件(4) p:x>y,q:x2>y2.既不充分也不必要条件2.下列各题中,p是q的什么条件?(1) p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;必要不充分条件(2) p:四边形是正方形;q:四边形的四条边相等;充分不必要条件(3) p:两条直线平行;q:内错角相等;充要条件(4) p:x>0,y>0,q:xy<0.既不充分也不必要条件3.判断下列命题的真假:(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件;( √ )(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;( × )(3)A∪B=A是B⊆A的必要不充分条件;( × )(4) x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件.( √ )活动二:从集合的角度理解四种关系设p、q对应的集合分别为P、Q.(1)若p是q的充分不必要条件,则P⊆Q;(2)若p是q的必要不充分条件,则P⊇Q;(3)若p是q的充要条件,则P=Q;(4)若p是q的既不充分也不必要条件,则P⊈Q且P⊉Q.1.下列各题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件?(1) p:x-1=0;q:(x-1)2=0;p是q的充要条件,q是p的充要条件(2) p:x-3=0,q:(x–3)(x–4)=0;p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件(3) p:x>1,q:x>4;p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件(4) p:1≤x≤3,q:0≤x≤2.p是q的既不充分也不必要条件,q是p的既不充分也不必要条件2.填空:(1)设集合M={x|0<x≤2},N={x|0<x≤3},那么“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件.(2)设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的必要不充分条件.(3) x>2的一个必要不充分条件是x>1 ,x>2的一个充分不必要条件是x>3 .活动三:反馈检测1.已知A={ x | x满足条件p},B={ x | x满足条件q}.(1)如果A⊆B,那么p是q的充分条件;(2)如果B⊆A,那么p是q的必要条件;(3)如果A=B,那么p是q的充要条件.2.填空:(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件.(2) x∈A是x∈A∪B的充分不必要条件;(3) x∈A是x∈A∩B的必要不充分条件;(4) x,y都为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件.3.已知a,b,c∈R,判断下列命题的真假.(1)“a>b”是“a2>b2”的充分条件;( × ) (2)“a>b”是“a2>b2”的必要条件;( × )(3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;( × ) (4)“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.( √ )。
【人教版】高一数学上册四种命题知识点学习是一个边学新知识边巩固的过程,对学知识一定要多加计划,这样才能进步。
因此,为大家整理了高一数学上册四种命题知识点,供大家参考。
【人教版】高一数学上册四种命题知识点【《四种命题》知识点】四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
1、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的否命题。
3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系1、四种命题的相互关系:原命题与逆命题互逆,逆命题与逆否命题互否,逆否命题与否命题互逆,否命题与原命题互否,原命题与逆否命题相互逆否,逆命题与否命题相互逆否。
2、四种命题的真假关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性。
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。
【同步练习题】1.命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的否命题是( )A.若A∪B=B,则A∩B=A B.若A∩B≠A,则A∪B≠BC.若A∪B≠B,则A∩B≠A D.若A∪B≠B,则A∩B=A 答案:B解析:条件与结论要同时否定.2.关于命题“平行四边形的两组对边分别相等”,下列论述中,正确的是( )A.逆命题是假命题 B.否命题是假命题C.逆否命题是真命题 D.以上答案都不对答案:C解析:原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.3.命题:“若a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是( )A.若a+b是偶数,则a、b都不是偶数B.若a+b是偶数,则a、b不都是偶数C.若a+b不是偶数,则a、b都不是偶数D.若a+b不是偶数,则a、b不都是偶数答案:D解析:注意“都是”的否定为“不都是”.4.用反证法证明“如果a b 0,那么”假设的内容应是( )A. = B. C. ≤ D. 且 =答案:C解析:“ ”的反面为“≤”.5.“相似三角形的周长相等”写成“若p则q”的形式为_________________.答案:若两三角形相似,则它们的周长相等解析:条件p:若两三角形相似,结论q:它们的周长相等.6.用反证法证明:“任何三角形至少有两个锐角”时,应假设_____________________.答案:三角形至多有一个锐角解析:即假设三角形只有一个锐角或一个锐角也没有.7.给定命题:已知a、b为实数,若x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≤0,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断四个命题的真假.解:原命题:是假命题.逆命题:已知a、b为实数,若a2-4b≤0,则x2+ax+b≤0的解集是空集.假命题.否命题:已知a、b为实数,若x2+ax+b≤0的解集不是空集,则a2-4b 0.假命题.逆否命题:已知a、b为实数,若a2-4b 0,则x2+ax+b≤0的解集不是空集.假命题.能力提升踮起脚,抓得住!8.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断都不正确答案:B解析:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.9.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的( )A.逆否命题 B.逆命题C.否命题 D.原命题答案:C解析:由题知s是p的逆否命题,而t是p的逆命题,所以s是t的否命题.10.命题“若a b,则ac bc(a、b、c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为__________________.答案:0解析:注意c∈R.知识点是同学们提高总体学习成绩的重要途径,高一数学上册四种命题知识点为大家巩固相关重点,让我们一起学习,一起进步吧!。
简易逻辑知识点小结1.命题的四种形式与相互关系原命题:若P则q;逆命题:若q则p;否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p*原命题与逆否命题互为逆否命题,同真假;*逆命题与否命题互为逆否命题,同真假;2.命题的条件与结论间的属性:若qp⇒,则p是q 的充分条件,q是p的必要条件即“前者为后者的充分,后者为前者的必要”。
若qp⇔,则p 是q的充分必要条件,简称p是q的充要条件。
若qp⇒,且q p,那么称p是q的充分不必要条件。
若p q,且q⇒p,那么称p是q的必要不充分条件。
若p q,且q p,那么称p是q的既不充分又不必要条件。
3.逻辑联结词“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;简单命题:不含有逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题。
复合命题包括:p或q(记作p∨q);p且q(记作p∧q);非p(记作┑q)。
4.“或”、“且”、“非”的真值判断:•“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;•“p且q”(p∧q)形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况时为假;•“p或q”(p∨q)形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真。
5.全称量词与存在量词全称量词:所有的,全部,都,任意一个,每一个等;记作存在量词:存在,至少有一个,有个,有些等;记作全称命题:含有全称量词的命题称为全称命题。
一般形式为:命题P:)x,∀。
全称命题的否命题:∈Mp(x∈∃:。
⌝,p⌝)x(xMP例:命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是”存在一个能被2整除的数都不是偶数”存在量词:含有存在量词的命题称为存在性命题。
人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习学案【学习目标】1.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【新知探究·夯实知识基础】1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且p⇒/qp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p [常用结论]1.充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A=B[学练结合]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2+2x-3<0”是命题. ()(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()[解析](1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.(3)正确.q是p的必要条件说明p⇒q,所以p是q的充分条件.(4)正确.原命题与逆否命题是等价命题.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.(教材改编)命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是()A.若α≠π4,则tan α≠1B.若α=π4,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠π4D.若tan α≠1,则α=π4C[“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,显然q:tan α≠1,p:α≠π4,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”.]3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A[a=3时,A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时,a=2或3.∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.]4.设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B[x<⇒/-1<x<3,但-1<x<3⇒x<3,因此p是q的必要不充分条件,故选B.]5.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A.1B.2 C.3D.4B[原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a >-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.]【题型探究·突破重点难点】题型一四种命题的相互关系及真假判断[题组集训]1.命题“若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是()A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0 B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0 C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 D[“若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.]2.下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若1x>1,则x>1”的逆否命题B[对于A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故为假命题;对于B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知为真命题;对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故为假命题;对于D,命题“若1x>1,则x>1”是假命题,则其逆否命题为假命题,故选B.]3.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是() A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福D[命题的等价命题就是其逆否命题,故选D.]4.“若m<n,则ms2<ns2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.2[原命题:“若m<n,则ms2<ns2”,这是假命题,因为若s=0时,由m<n,得到ms2=ns2=0,不能推出ms2<ns2.逆命题:“若ms2<ns2,则m<n”,这是真命题,因为由ms2<ns2得到s2>0,所以两边同除以s2,得m<n,因为原命题和逆否命题的真假相同,逆命题和否命题的真假相同,所以真命题的个数是2.]1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.提醒:当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动.2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.题型二充分、必要条件的判断(多维探究)【例1】(1)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“m∉M”是“m∉N”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(1)B(2)A[(1)a,b,c,d是非零实数,若ad=bc,则ba=dc,此时a,b,c,d不一定成等比数列;反之,若a,b,c,d成等比数列,则ab=cd,所以ad=bc,所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件,故选B.(2)条件与结论都是否定形式,可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件.由N M知,“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件,从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件,故选A.][规律方法]充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法:可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p 推结论q ,由结论q 推条件p ;③确定条件p 和结论q 的关系.(2)等价转换法:对于含否定形式的命题,如﹁p 是﹁q 的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q 是p 的什么条件.(3)集合法:根据p ,q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示:判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述,比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ,而p 不能推出q ”.A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知条件p :x >1或x <-3,条件q :5x -6>x 2,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)由x 3>8可得x >2,从而|x |>2成立,由|x |>2可得x >2或x <-2,从而x 3>8不一定成立.因此“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件,故选A.(2)由5x -6>x 2得2<x <3,即q :2<x <3.所以q ⇒p ,pq ,从而q 是p 的充分不必要条件. 即p 是q 的充分不必要条件,故选A.]题型三 充分、必要条件的应用(多维探究)【例2】 (1)设命题p :(4x -3)2≤1,命题q :x 2-(2m +1)x +m (m +1)≤0,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 C .(-∞,0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ D .(-∞,0)∪(0,+∞) (2)“直线x -y -k =0与圆(x -1)2+y 2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A .-1≤k <3B .-1≤k ≤3C .0<k <3D .k <-1或k >3(1)A (2)C [(1)由(4x -3)2≤1得12≤x ≤1,即p :12≤x ≤1,由x 2-(2m +1)x +m (m +1)≤0得m ≤x ≤m +1,即q :m ≤x ≤m +1.由p 是q 的必要不充分条件知,p 是q 的充分不必要条件,从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m +1}.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤12m +1≥1,解得0≤m ≤12,故选A.(2)“直线x -y -k =0与圆(x -1)2+y 2=2有两个不同的交点”的充要条件是|1-k |2<2,即-1<k <3. 故所求应是集合{k |-1<k <3}的一个子集,故选C.][规律方法] 利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.数m 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[-1,0]C .[1,2]D .[-1,2](2)设n ∈N *,一元二次方程x 2-4x +n =0有整数根的充要条件是n =________.(1)A (2)3或4 [(1)由题意知(-1,4)(2m 2-3,+∞),∴2m 2-3≤-1,解得-1≤m ≤1,故选A.(2)当Δ=16-4n ≥0,即n ≤4时,方程x 2-4x +n =0的两根为x =4±16-4n 2=2±4-n .又n ∈N *,且n ≤4,则当n =3,4时,方程有整数根.]人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测一、选择题1.“a<0,b<0”的一个必要条件为()A.a+b<0B.a-b>0C.ab>1 D.ab<-12.已知命题p:“若x≥a2+b2,则x≥2ab”,则下列说法正确的是() A.命题p的逆命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”B.命题p的逆命题是“若x<2ab,则x<a2+b2”C.命题p的否命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”D.命题p的否命题是“若x≥a2+b2,则x<2ab”3.若f(x)是定义在R上的函数,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的() A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.命题“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.45.命题p:“若a≥b,则a+b>2 012且a>-b”的逆否命题是() A.若a+b≤2 012且a≤-b,则a<bB.若a+b≤2 012且a≤-b,则a>bC.若a+b≤2 012或a≤-b,则a<bD.若a+b≤2 012或a≤-b,则a>b6.等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“a3<a6”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.对于实数x,y,若p:x+y≠4,q:x≠3或y≠1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①②B.②③C.③④D.②④10.已知命题p:|x+1|>2;命题q:x≤a,且¬p是¬q的充分不必要条件,则a 的取值范围是()A.(-∞,-3) B.(-∞,-3]C.(-∞,1) D.(-∞,1]11.“x<m-1或x>m+1”是“x2-2x-3>0”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是()A.[0,2]B.(0,2)C.[0,2) D.(0,2]二、填空题12.命题“若x2-x≥0,则x>2”的否命题是___________________________.13.设甲、乙、丙、丁是四个命题,甲是乙的充分不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,那么丁是甲的________条件.14.有下列几个命题:①“若a>b,则1a>1b”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.15.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为________.16.已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测解析一、选择题1.“a<0,b<0”的一个必要条件为()A.a+b<0B.a-b>0C.ab>1 D.ab<-1【答案】A【解析】若a<0,b<0,则一定有a+b<0.故选A.2.已知命题p:“若x≥a2+b2,则x≥2ab”,则下列说法正确的是() A.命题p的逆命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”B.命题p的逆命题是“若x<2ab,则x<a2+b2”C.命题p的否命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”D.命题p的否命题是“若x≥a2+b2,则x<2ab”【答案】C【解析】命题p的逆命题是“若x≥2ab,则x≥a2+b2”,故A,B都错误;命题p的否命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”,故C正确,D错误.3.若f(x)是定义在R上的函数,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的() A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)=0,但f(0)=0不能推出函数f(x)为奇函数,例如f(x)=x2.故选A.4.命题“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.4【答案】C【解析】当c=0时,ac2=bc2,所以原命题是假命题;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是假命题;逆命题为“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,是真命题;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述,真命题的个数为2.5.命题p:“若a≥b,则a+b>2 012且a>-b”的逆否命题是() A.若a+b≤2 012且a≤-b,则a<bB.若a+b≤2 012且a≤-b,则a>bC.若a+b≤2 012或a≤-b,则a<bD.若a+b≤2 012或a≤-b,则a>b【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可得命题p:“若a≥b,则a+b>2 012且a>-b”的逆否命题是:若a+b≤2 012或a≤-b,则a<b.故选C.6.等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“a3<a6”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列{a n}的公比为q.若a1<a3,∴a1<a1q2,∴q2>1,若q<-1,则a3=a1q2>0,a6=a1q5<0,∴a3<a6不成立;若a3<a6成立,则a1q2<a1q5,又a1>0,∴q3>1,∴q>1,∴a1<a3成立,综合可知,“a1<a3”是“a3<a6”的必要不充分条件.故选B.7.对于实数x,y,若p:x+y≠4,q:x≠3或y≠1,则p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于命题“若x=3且y=1,则x+y=4”为真命题,可知该命题的逆否命题也为真命题,即p⇒q.由x≠3或y≠1,但x=2,y=2时有x+y=4,即q⇒/p.故p是q的充分不必要条件.故选A.8.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当四边形ABCD为菱形时,必有对角线互相垂直,即AC⊥BD;当四边形ABCD中AC⊥BD时,四边形ABCD不一定是菱形,还需要AC与BD互相平分.综上知,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.9.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①②B.②③C.③④D.②④【答案】D【解析】一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时,这两个平面才相互平行,所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理,所以②为真命题;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以③为假命题;根据两个平面垂直的性质定理知④为真命题.10.已知命题p :|x +1|>2;命题q :x ≤a ,且¬p 是¬q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A .(-∞,-3)B .(-∞,-3]C .(-∞,1)D .(-∞,1] 【答案】A【解析】命题p :|x +1|>2,即x <-3或x >1.∵¬p 是¬q 的充分不必要条件,∴q 是p 的充分不必要条件,∴{x |x ≤a }{x |x <-3或x >1},∴a <-3.故选A. 11.“x <m -1或x >m +1”是“x 2-2x -3>0”的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( )A .[0,2]B .(0,2)C .[0,2)D .(0,2] 【答案】A【解析】由x 2-2x -3>0得x >3或x <-1.若“x <m -1或x >m +1”是“x 2-2x -3>0”的必要不充分条件,则⎩⎨⎧m +1≤3,m -1≥-1且等号不同时成立,即0≤m ≤2.故选A.二、填空题12.命题“若x 2-x ≥0,则x >2”的否命题是___________________________.【答案】若x 2-x <0,则x ≤2【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论,则命题“若x 2-x ≥0,则x >2”的否命题是“若x 2-x <0,则x ≤2”.13.设甲、乙、丙、丁是四个命题,甲是乙的充分不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,那么丁是甲的________条件.【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件,即甲⇒乙,乙⇒/ 甲;又因为丙是乙的充要条件,即乙⇔丙;又因为丁是丙的必要不充分条件,即丙⇒丁,丁⇒/ 丙;故甲⇒丁,丁⇒/ 甲,即丁是甲的必要不充分条件.14.有下列几个命题:①“若a >b ,则1a >1b ”的否命题;②“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.【答案】②③【解析】①中原命题的否命题为“若a≤b,则1a≤1b”,为假命题;②中原命题的逆命题为:“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题;③中原命题为真命题,故逆否命题为真命题.15.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为________.【答案】[3,8)【解析】因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3.又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8).16.已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.【答案】(-∞,0]【解析】α可看作集合A={x|x≥a}.∵β:|x-1|<1,∴0<x<2,∴β可看作集合B={x|0<x<2}.又α是β的必要不充分条件,∴B⊆A,∴a≤0.。
四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系.2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活,学习和工作中,基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具.2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力.●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用.●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上,通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系,并利用四种命题形式上的相对性,由学生讨论回答出:把其中任何一个命题看作原命题时,和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题,使学生灵活掌握四种命题之间关系,以突破四种命题真假关系的难点.●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张:(记作§1.7.2 A)第二张:(记作§1.7.2 B)原命题“若a=0,则ab=0,”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.第三张:(记作§1.7.2 C)[例2]设原命题是:“当c>0时,若a>b,则ac>bc.”写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.●教学过程Ⅰ.复习回顾[师]什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?[生]若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”,否命题是“若┐p则┐q”,逆否命题是“若┐q则┐p.”[师]回答正确,本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断.Ⅱ.讲授新课§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系:(师用多媒体课件或投影片§1.7.2 A投影出四个命题)[师]请同学们讨论后回答下列问题:(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?[生]原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系.原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系.原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系.(在学生回答时,教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系.)[师]我们已明确了四种命题之间的关系,下面继续研究讨论:(板书)2.四种命题的真假之间的关系:[师]请看例题:(投影片§1.7.2 B)原命题:“若a=0,则ab=0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.[生]逆命题是:“若ab=0,则a=0.”原命题“若a=0则ab=0”为真命题;逆命题:“若ab=0则a=0”为假命题.[师]原命题与逆命题的真假关系如何?生甲:由上例可知:原命题为真,它的逆命题一定为假.生乙:上述结论不一定成立.真假关系应是:原命题为真,它的逆命题不一定为真.[师]第二位回答正确.那么它的否命题呢?[生]它的否命题是“若a≠0,则ab≠0”为假命题.[师]你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?[生]原命题为真,它的否命题不一定为真.[师]正确.它的逆否命题呢?[生]它的逆否命题是:“若ab≠0,则a≠0”,为真命题.[师]原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论,例证后回答)[生]原命题为真,它的逆否命题一定为真.[师]请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?[生]因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系,所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真.[师]由上述讨论情况,请一学生归纳:(生归纳时,师板书)[生](1)原命题为真,它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真,它的否命题不一定为真.(3)原命题为真,它的逆否命题一定为真.[师]归纳正确.由上述归纳可知:两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时,可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题:(师应强调分析:“c >0”是大前提,写其他命题时应保留,原命题的条件是“a >b ”,结论是“ac >bc ”.)[生]逆命题:“当c >0时,若ac >bc ,则a >c .”逆命题为真.否命题:“当c >0时,若a ≤b ,则ac ≤bc ”,否命题为真.逆否命题:“当c >0时,若ac ≤bc ,则a ≤b ”,逆否命题为真.[师]回答正确.请看练习题.Ⅲ.课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后,教师加以评述).Ⅳ.课时小结[师]本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断,即:1.四种命题之间的关系:(投影片§1.7.2 A)2.四种命题的真假关系:⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业:课本P33 3、4题.(二)1.预习内容:课本P32~P332.预习提纲:(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结:(略)。