高一数学集合与命题经典例题

1．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为

A．a+b不是偶数，则a、b不都是偶数B．a+b不是偶数，则a、b都不是偶数

C．a、b不都是偶数，则a+b不是偶数D．a、b都不是偶数，则a+b不是偶数

2．把下列命题改写成“若p则q”的形式：

（1）对顶角相等；（2）不等式两边加上同一个数，不等号方向不变．

3．把下列命题改写成“若p则q”的形式：

（1）两个整数和为整数；（2）两个无理数相乘，它们的积也是无理数．

4．下列命题中，正确的是

①“若x2+y2=0，则x，y全是0”的否命题②“全等三角形是相似三角形”的否命题③“若m＞1，则mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题④若“a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题A．①②③ B．①④C．②③④D．①③④

5．用反证法证明：“在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．”

6．若x、y∈R+，且x+y＞2，求证：

y x

+

1

＜2与

x y

+

1

＜2中，至少有一个成立．

参考答案

1．A

2．（1）若两角为对顶角，则它们相等；（2）若在不等式两边加上同一个数，则不等式方向不变．3．（1）若两个数为整数，则它们的和也为整数．（2）若两个无理数相乘，则它们的积也是无理数．4．B

5．证明：假设在同圆中，两条弦不等而它们的弦心距相等，

即AB≠CD，OE=OF则Rt△OAE、Rt△OCF中，OA=OC，OE=OF，

∴AE=CF，即AB=CD与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立．

6．证明：假设都不成立，即

y x

+

1

≥2，

x y

+

1

≥2成立

∵x，y∈R+，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴2+x+y≥2x+2y

∴x+y≤2与已知x+y＞2矛盾，∴假设不成立，∴原结论成立．

一、选择题（每小题2分，共12分）

1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为

A．两直线平行，内错角相等B．两直线不平行，则内错角不相等

C．内错角不相等，则两直线不平行D．内错角不相等，则两直线平行

2．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假

C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真

3．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题

A．一定是真命题B．一定是假命题C．不一定是真命题D．真假无法确定

4．命题“正数a 的平方不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的

A ．逆命题

B ．否命题

C ．逆否命题

D ．否定命题

5．命题“若M ∪N=N ，则M ⊆N ”的否命题为

A ．若M ⊆N ，则M ∪N=N

B ．若M ∪N ≠N ，则M N

C ．若M N ，则M ∪N ≠N

D ．若M ∩N=M ，则M ∪N=N 6．命题“若a>b ，则

b

a >1”的逆否命题为 A ．若

b a >1，则a>b B ．若a ≤b ，则b a ≤1 C ．若a>b ，则b

7．命题“垂直于同一直线的两条直线相互平行”的逆命题为______________．

8．命题“若a>1，则a>0”的否命题为_____________．

9．命题“全等三角形的面积相等”的逆否命题为________________．

10．给出下列命题：

①命题“若b 2－4ac<0，则方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实根”的否命题

②命题“△ABC 中，AB=BC=CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题

③命题“若a>b>0，则3a >3b >0”的逆否命题；其中真命题的序号为__________．

三、解答题（共30分）

11．（10分）把下列命题改写成“若p 则q ”的形式：

（1）菱形的四边相等； （2）对顶角相等；（3）25是5的倍数； （4）2是无理数．

12．（10分）试判断命题“若m>0，则方程x 2

+x －m=0有实根”的逆否命题的真假．

13．（10分）用反证法证明：若x 2－（m+n ）x+mn ≠0，则x ≠m 且x ≠n ．

参考答案

一、1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D

二、7．两条直线互相平行则它们垂直于同一条直线 8．若a ≤1，则a ≤0

9．面积不相等的两个三角形不是全等三角形 10．①②③

三、11．（1）若四边形为菱形，则其四边相等（2）若两个角是对顶角，则它们相等

（3）若某数为25，则它为5的倍数（4）若一个数为2，则它为无理数

12．真

13．证明：假设x=m 或x=n

（1）当x=m 时，则x 2－（m+n ）x+mn=0（2）当x=n 时，则x 2－（m+n ）x+mn=0均与已知矛盾，∴x ≠m 且x ≠n ．

一、选择题

1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）

A.真命题的个数一定是奇数

B.真命题的个数一定是偶数

C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D.上述判断都不正确

二、填空题

2．命题“若x=3且y=5则x+y=8”的逆否命题是________，否命题是________，逆命题是_________，其中假命题的个数是____________。

3．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是___________；逆命题是__________；否命题是_____________。