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平均增长率问题

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一元二次方程的应用(平均增长率问题)

一元二次方程的应用(平均增长率问题)

➢4.解:解所列的方程; ➢5.验:是否是所列方程的根;是否符合题 意; ➢6.答:答案也必需是完善的语句,注明单 位且要贴近生活。
➢列方程解应用题的关键是: ➢读懂题目中的每一句话， ➢理清数量关系，找出等量关系.
例、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少?
…… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 2、反之，假设增为长两率次公降式低.，则
两次平均降低率公式为 a(1-x)2=b
总结:
假设平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是a, 增长(或降低)n 次后的量是b, 则平均增长〔降低〕 公式可表示为：
a(1x)n b
其中 增长取+ ,降低取－
依据什么来列等量关系
合作沟通
1.所列的等量关系为：
今年的使用率×〔1+年平均增长率〕2 ＝后年的 使用率
2.所列的等量关系为：
原价×〔1－年平均降价的百分率〕2＝现价
总结: 1.两次平均增长后的量=原来的量●(1+增 长率)2 假设原来为a,平均增长率是x,增长后的量为 b
则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b
探究：随着人民生活水平的不断
提高，我市家庭轿车的拥有量逐 年增加。据统计，某小区2023年 〔 元底 家再2〕拥 庭建为筑有 轿了假家车缓设解庭的干停个轿 拥车停冲车 有车突量6位，4。达辆该据小1，测0区算20打，0辆算2建。3投筑年资费1底用5万分 别 考〔为 虑1室 到〕内 实假车际位因设素50该，00小打元算/区个露，2天露0车2天位3车年的位数底1量0到0不0元少/个于，室 内2车02位3的年2倍底，家但庭不超轿过车室内拥车有位量的2年.5倍的，年求该 小 能平区 的均最 方多 案增可。长建率两种都车一位样各多，少求个？该试小写区出全到部可 2023年底家庭轿车将到达多少辆？

一元二次方程应用题(平均增长率问题)

一元二次方程应用题(平均增长率问题)
一、复习
解一元二次方程应用题的一般步骤？ 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知 数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数 式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后，写出答案（及单位名称）。
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为
a (1 x) b
n
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
解这个方程，得：x1=12,x2=-8. 经检验：x1=12，x2=-8都是原方程的根， 但负数不合题意，所以只取x=12. 当x=12时，x+12=24. 故，单独完成全部工作甲、乙分别需12天，24天.
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
3：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的 社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百 分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）
昆二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？

平均增长率问题

平均增长率问题

2.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万 元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维 护费，使用当月生产收入达100万元，1到3月份 生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364 万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的 水平. （1）求使用新设备后，2月，3月生产收入的月 增长率； 解析：设2月，3月生产收入的月增长率为x； 则由题意，得 100+100(1+x)+1000(1+x)2=364 解得 x1=20%, x2=-320%(不和题意，舍去）
4.某种商品，原价为50元，为了促销，10 月份降价10%，从11月份开始涨价，12月 份的售价为64.8元，求11、12月份价格的 平均增长率.
解析：设11、12月份价格的平均增长率为x. 根据题意，得 50(1-10%)(1+x)2=64.8 即 (1+x)2=1.44 解这个方程，得 x1=0.2=20%， x2=-1.2=-120%(不合题意,舍去)
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一 年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种 药品成本为5000(1-x)2元，于是有 5000(1-x)2=3000. 解方程，得 x1≈0.225, x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平 均下降率约为22.5%.
思考: 经过计算,你能得出什么结论?成本下降 额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗? 应该怎样全面地比较几个对象的变化状况?
（2）购进新设备需一次性支付640万元， 使用设备几个月后,该厂所得累计利润不低 于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指 累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购 进费） 设使用设备y个月后，该厂所得累计利 润不低于使用旧设备的累计利润 根据题意，得 364+100(1+20%)2(y-3)-640≥(90-利润不低于使用旧设备的累计利润

平均增长率问题-

平均增长率问题-

20.
年 月 日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的 多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各
种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相
同，今年四月份的骑游人数约为 人，六月份的骑游人数约为
人，求该骑游公司租赁自行车数
的月平均增长率（精确到 ）．
21. 列方程或方程组解应用题：
1
5. 近年来，我国使用移动支付的人数成逐年上升趋势．据统计 年 月底我国使用移动支付的有 亿 人左右，预计到 年 月底将增加到 亿人左右，求这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率 约为多少．
6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， 年投入 万元， 若教育经费每年增长的百分率相同， （ 1 ） 求每年平均增长的百分率． （ 2 ） 按此年平均增长率，预计 年该区教育经费应投入多少万元？
年投入了
万元，
7. 为美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房， 植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
（ 1 ） 根据图中所提供的信息回答下列问题： 年底的绿地面积为
了
公顷．
（ 2 ） 为满足城市发展的需要，计划到 年底使城区绿地面积达到
6
（ 1 ） 从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （ 2 ） 在 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 万元用于优先搬迁租房奖励， 规定前 户（含第 户）每户每天奖励 元， 户以后每户每天补助 元，按租房 天计算， 试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
5
24. 随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车水费

增长率问题的“三类型”

增长率问题的“三类型”

增长率问题“三类型”增长率问题是一元二次方程实际应用的一类重要题型，以当前的社会热点为背景，对增长率问题进行考查是中考命题的显著特点。

下面就这类问题的三种类型举例予以说明。

一、平均增长率问题例1 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助。

2010年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”计划以后每年以相同的增长率投资，2012年该市投资“改水工程”1176万元，求A市投资“改水工程”的年平均增长率。

分析：设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x，因为2010年A市投入600万元，所以2011年该市投资600（1+x）万元，2012年该市投资600（1+x）2万元。

根据2012年该市投资“改水工程”1176万元列方程求解。

解：设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x，则600（1+x）2=1176解得：x1=0.4,x2= -2.4(不合题意，舍去)。

故A市投资“改水工程”的年平均增长率是40%.温馨提示：一般地，若增长前的量为a，平均增长率为x，经过连续两次增长后的量为b，则有公式a（1+x）2=b，其中a<b。

对于平均增长率问题，可直接运用公式求解。

另外，由于增长率不能为负数，若方程的解小于0，必须舍去。

二、平均降低率问题例2 为解决群众看病贵问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1-x）2=256 B.256（1-x）2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289分析：本题为平均降低率问题。

题目已设平均降低率为x，经过第一次降价后的价格为289（1-x）元，第二次降价后的价格为289（1-x）（1-x）=289（1-x）2元，由题意可列方程得：289（1-x）2=256解：A温馨提示：一般地，若降价前的量为a，平均降价率为x，经过连续两次降价后的量为b，则有公式a（1-x）2=b，其中a>b。

新人教版数学九上课件：平均增长率、销售类问题

新人教版数学九上课件：平均增长率、销售类问题

5.(2017烟台)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足 球大课间”活动,现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球 2015年单价为200元,2017年单价为162元. (1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率; (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案: A商场:买十送一;B商场:全场九折. 试问去哪个商场购买足球更优惠?
【导学探究】 设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x,则 (1)2015年为 2(1+x) 亿元,2016年为 2(1+x)2 亿元.
解:(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x, 由题意得2(1+x)2=2.88. 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过 3.4亿元? 【导学探究】 (2)由2016年的2.88亿元可得2017年为 2.88(1+x) 亿元.
解:(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率,那么2017年该企业的利润为 2.88(1+20%)=3.456, 3.456>3.4, 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
2.某商品的进价为每件40元,当售价为每件80元时,每星期可卖出200件,现需降价 处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出8件,店里每周利润要达到8 450元. 若设店主把该商品每件售价降低x元,则可列方程为( B ) (A)(80-x)(200+8x)=8 450 (B)(40-x)(200+8x)=8 450 (C)(40-x)(200+40x)=8 450 (D)(40-x)(200+x)=8 450 3.(2017黑龙江)某种药品原来售价100元,连续两次降价后售价为81元,若每次下降 的百分率相同,则这个百分率是 10% . 4.某服装店经销一种品牌服装,平均每天可销售20件,每件赢利44元,经市场预测发 现:在每件降价不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多销售5件,若该服 装店要使该品牌服装每天的赢利为1 600元,则每件应降价 4 元.

用一元二次方程解决问题(平均增长率)

公式
平均增长率 = (终值 - 初值) / 初值 × 100%
计算方法
直接计算法
根据题目给出的数据，直接代入公式 进行计算。
代数法
将平均增长率转化为一元二次方程， 通过解方程求得。
ห้องสมุดไป่ตู้例解析
例1
某企业去年销售额为100万元，今年 销售额增长了20%，求今年的销售额。
解
根据平均增长率公式，今年的销售额 = 100 × (1 + 20%) = 120万元。
解
根据平均增长率公式，5年后GDP = 100 × (1 + 8%)^5 = 146.9亿元。
02
一元二次方程在平均增 长率问题中的应用
建立一元二次方程
确定变量
在平均增长率问题中，通常设初始数 量为A，平均增长率为r，经过时间为t 后的数量为B。
建立方程
方程变形
如果需要求平均增长率r，可以将方程 变形为r = (B/A)^(1/t) - 1。
将方程左边化为完全平 方形式，右边化为常数，
从而求解x。
因式分解法
通过因式分解将方程化 为两个一次方程，从而
求解x。
实例解析
题目
某企业前年缴税30万元，预计 今年缴税36.36万元，那么该企
业缴税的平均增长率为多少？
分析
设该企业缴税的平均增长率为x， 根据题意可以建立一元二次方程 30(1 + x)^2 = 36.36。
根据平均增长率的定义，我们可以建 立一元二次方程B = A(1 + r/100)^t。
解一元二次方程
求解方法
解一元二次方程可以使 用公式法、配方法、因
式分解法等。
公式法
配方法

平均数增长率题目

平均数增长率题目一、某公司去年平均每月销售额为100万元，今年平均每月销售额增长至120万元，请问其平均销售额的增长率是多少？A. 10%B. 20%C. 30%D. 40%（答案）B二、某城市去年平均气温为15℃，今年平均气温上升至16.5℃，求气温的平均增长率。

A. 5%B. 10%C. 15%D. 20%（答案）B三、一个班级去年平均分为70分，今年通过努力平均分提高到了77分，请计算该班级平均分的增长率。

A. 7%B. 10%C. 15%D. 20%（答案）B四、某网站去年平均日活跃用户数为10万，今年增长至12万，其平均日活跃用户数的增长率是？A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%（答案）C五、一家餐厅去年平均每月接待顾客5000人次，今年平均每月接待顾客增加到6000人次，求其顾客接待量的平均增长率。

A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%（答案）C六、某股票去年平均价格为20元/股，今年平均价格上涨至24元/股，该股票的平均价格增长率是多少？A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%（答案）C七、某地区去年平均降水量为500毫米，今年平均降水量增加到了600毫米，求其降水量的平均增长率。

A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%（答案）C八、一家电商公司去年平均每季度销售额为800万元，今年平均每季度销售额增长至960万元，请计算其销售额的平均增长率。

A. 15%B. 20%C. 25%D. 30%（答案）B。

平均增长率问题


拓展延伸: 一种容器盛满药液63L,第一次倒出一部分 纯药液后,用水加满，第二次又倒出同样多 的药液,这时容器内剩下的纯药液是28L,问 每次倒出的液体是多少L?
【知识回顾】 增长率问题中的基本数量关系：
如果原始产量为a，平均增长率为x，那么增 长一次后的产量为 a(1+x) ，增长两次后 a(1+x)2 ; 的产量为
【小试牛刀】 1.某工厂2006年产值为500万元,改进技术后, 每年产值平均增长率为x,则2007年的年产值 500(1+x) 万元 500(1+x)2万元 为 ,2008年的年产值为 , 这三年的总产值为 [500+500(1+x)+ 500(1+x)2]万元. 2.某商品连续两次降价,每次都降20％,降价后 价格为m元,Байду номын сангаас原价为 (C )
A. m 1 .2 m 0 .8
2 2
元
B .1 .2 m 元
C.
元
D .0 .8
2
m元
【典例评析】 例1.某商店6月份的利润为2500元,要使8月份 的利润达到3600元,平均每月增长的百分率是 多少? 注:在求增长率(降低率)时,为了计算方便, 一般设增长率(降低率)为x,而不设x ％,但 求出x后要化为百分数.
变式训练: 某商店6月份的利润为2500元,要使到8月份时 三个月的总利润达到9100元,平均每月增长的 百分率是多少?
练习巩固: 1.某企业成立三年来,累计向国家缴利税280 万元,其中第一年上缴40万元,求后两年上缴 利税的年平均增长的百分率. 2.一种服装原价每件80元,经两次降价,现售价 为每件51.2元,求平均每次降价的百分率.

平均增长率-答案-


员．
解析:
（ 1 ）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 ，
根据题意得：
，
解得：
，
（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 ．
（ 2 ）今年 月份的快递投递任务是
（万件）．
∵平均每人每月最多可投递 万件，
∴ 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：
，
∴需要增加业务员
（人）．
答：该公司现有的 名快递投递业务员不能完成今年 月份的快递投递任务，至少需要增加 名业
解析:
设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为 .
依题意，得
.
解这个方程，得
，
.
其中
不合题意，舍去，所以
.
2
答：这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为 .
6. （ 1 ） ．
（ 2 ） 万元．
解析:
（ 1 ）设每年平均增长的百分率为 ．
，
，
∵
，
∴
．
．
答：每年平均增长的百分率为 ．
（ 2 ） 年该区教育经费为
由题意，得
解这个方程，
得
，
，
∵降价的百分率不可能大于 ，
7
∴
不符合题意，舍去，
答：平均每次下调的百分率是 ．
（ 2 ）方案一所需费用为：
方案二所需费用为：
∵
，
∴小华选择方案一购买更优惠．
（元）， （元）．
20. ．
解析:
设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 ，
根据题意得：
，
解得：
，
∴
，
（舍去）．
一元二次方程与增长率问题
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【小试牛刀】 1.某工厂2006年产值为50万元,改进技术后, 每年产值平均增长率为x, 则2007年的年产值为 , 2008年的年产值为 , 这三年的总产为 .
注:在求增长率(降低率)时,为了计算方便, 一般设增长率(降低率)为x,而不设x ％,但 求出x后要化为百分数.
【知识回顾】 增长率问题中的基本数量关系：
m A. 元 2 1.2 m C. 元 2 0.8 B.1.2m元
2
D.0.8 m元
12．某公司2006年的产值为500万元， 2008年的产值为720万元，则该公司产 值的年平均增年来,累计向国家缴利税280 万元,其中第一年上缴40万元,求后两年上缴 利税的年平均增长的百分率.
2.一种服装原价每件80元,经两次降价, 现售价为每件51.2元,求平均每次降价 的百分率.
2.某商品连续两次降价,每次都降20％,降价后 价格为m元,则原价为 ( )
如果原始产量为a，平均增长率为x，那么增 长一次后的产量为 ，增长两次后 的产量为 ;
【典例评析】 例1.某商店6月份的利润为2500元,要使8月份 的利润达到3600元,平均每月增长的百分率是 多少?
变式训练: 某商店6月份的利润为2500元,要使到8月份时 三个月的总利润达到9100元,平均每月增长的 百分率是多少?