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第09部分_计算机图形学_参数曲线和曲面

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计算机图形学 曲线和曲面 算法

计算机图形学 曲线和曲面 算法

5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G

计算机辅助设计教程曲线与曲面基础知识

计算机辅助设计教程曲线与曲面基础知识
第二类形状所包含的信息更多，用传统的工程图学的方法 有一定的困难，在CAGD中则是用数学方法来定义、描述及传 递形状信息[Hu1987]。
[Hu1987]胡瑞安 主编.计算机辅助几何设计[M].华中工学院出版社.1987
the Clay & Sculpture Studio Design
Prototype of the design
void DrawCurve(double p[3], CDC *pDC,int p_x,int p_y) { double r = 150.0, h = 3; double x[628], y[628], z[628], xe[628], ye[628], ze[628] ,xs[628], ys[628], zs =200, a,b,c,u,v; int m = 0; a = p[0]; b = p[1]; c = p[2]; u = sqrt(a*a+b*b+c*c); v = sqrt(a*a+b*b); for (double t = 0; t < 62.8; t = t + 0.1) { x[m] = r*cos(t);y[m] = r*sin(t);z[m] =h*t; m++; } xe[0] = -b / v*x[0] + a / v*y[0]; ye[0] = -a*c / (u*v)*x[0] - b*c / (u*v)*y[0] + v / u*z[0]; ze[0] = -a/u*x[0] - b / u*y[0] - c / u*z[0] + u;
样条函数是美国数学家I.J.Shoenberg于1946年提出的，但当时并未引起人 们的重视。直到60年代，人们才开始认识到样条函数在数据拟合、函数逼近、 数值微分与积分等重要作用，并广泛的用于汽车、航空、造船等行业的几何外 形设计[]。

参数曲线曲面基础演示文稿

参数曲线曲面基础演示文稿

i0 j0
第8页，共51页。
8.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性:由给定的有限信息决定唯一的形状。
2.几何不变性:由给定的有限信息所确定的形状，不随所取 得坐标系不同而改变。 3.易于定界：几何形状数学描述易于定界. 4.统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况.
5.易于实现光滑连接:在表达复杂形状时，经常需要将曲线段进行 连接，或曲面片进行连接。
6. 曲面上点的类型划分
§1.8* 曲面的曲率
峰 脊
阱 谷
三角网格模型
鞍形脊
鞍形谷
平面
极小曲面
Besl通过高斯曲率K和平均曲率M 的组合，将点附近的曲面形状分为 八种基本特征类型
曲率类型标识
区域分割
第26页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
手动工具的平均曲率图
悬链面的高斯曲率
第27页，共51页。
设已知曲线的矢量方程为：
p p(t) [x(t), y(t), z(t)] 根据弧长微分公式： ds 2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
第15页，共51页。
§1.3 曲线的自然参数方程
ds
(dx)2 (dy)2 (dz)2
( x'(t ))2 ( y'(t ))2 (z'(t ))2
u 以n为轴转动平面PL，则相应的法曲率随之变化 。
第23页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
2.主曲率、高斯曲率、平均曲率
法曲率的极值k1、 k2
主曲率
K 1 2
高斯曲率
M
1 2
(
1
2
)
平均曲率
第24页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率

计算机图形学第8讲曲线曲面

计算机图形学第8讲曲线曲面

P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式

如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t

记为Cn
22
参数连续性与几何连续性

几何连续性

直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )



1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
Frenet–Serret 公式
21
参数连续性与几何连续性

参数连续性

传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t ) d k P(t ) , k 0,1,, n k k dt t t0 dt t t0

参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线

为什么采用参数多项式曲线？


表示最简单 理论和应用最成熟

n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n

第三章 几何造型技术-参数曲线

第三章 几何造型技术-参数曲线
Northwest University
计算机图形学
第三章 几何造型技术
Northwest University
计算机图形学
3.1 绘制曲线的基本方法
在设计和绘图中，不可能没有曲线。这些曲线一般分为两 类：一类是标准曲线，可以用标准的数学方程来描述，如圆、
椭圆、抛物线等；另一类是拟合曲线，它们不能用标准的数学
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 20
Northwest University
计算机图形学
由于 dT/ds 与 N 平行，若令 T kN ，则：
k T lim T q T q lim lim s 0 s s 0 q s s 0 s
其中，q 为相邻两切线的夹角。称 k 为曲线的曲率，其几何意
再令 B(s) N (s) ， 称为挠率。因为
B dB B lim lim lim ds s 0 s s 0 s s 0 s
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 19
方程来描述，只有先给出一些数据点，然后用相应的数学方法 来拟合这些数据点生成曲线。例如有实验曲线、等值线等等， 它们都是通过做实验得到一些实验数据、或经测量得到一系列 离散数据点。依据这些实际数据，我们希望能构造出一条曲线，
使其完全通过或者比较贴近这些数据点。 所以， 拟合曲线
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 2
计算机图形学
将 T kN 代入上式，并注意到 B(s)· N(s) = 0，得到：
B(s) N (s) 0
因为[B(s)]2 = 1，所以两边对 s 求导，得到 B(s) B(s) 0，可见 B(s) 既垂直于 T(s)，有垂直于 B(s)，故：

专升本《计算机图形学》-试卷-答案

专升本《计算机图形学》-试卷-答案

专升本《计算机图形学》一、（共57题,共150分）1. 下列设备中属于图形输出设备的是( ）①鼠标②LCD ③键盘④LED ⑤打印机⑥扫描仪⑦绘图仪⑧触摸屏（2分）A。

①③⑥⑧ B.②④⑤⑦ C.②⑤⑥⑦ D.④⑥⑦⑧标准答案：B2. 用正负法画圆，如果圆心在原点(0,0)处，初始点(0，R ），顺时针生成圆，若当前点Pi在圆外,则下一点Pi+1向左走一步，递推公式为（ )。

（2分)A。

B 。

C.D.标准答案:D3。

在三维空间中点P(3， 5， 4)绕z轴旋转180o后的坐标为:( ) (2分）A。

（3， 4， 5) B.（—5，-3， 4) C.（5， 3， 4） D.（4， 4， 4）。

标准答案：B4。

4.在三维几何实体的表示法中，（ )表示法的结果难以实现绘图输出。

（2分）A。

CSG法 B.八叉树表示法C.扫描表示法 D。

对称数据结构法。

标准答案：A5. 在种子填充算法中所提到的四向连通区域算法,（）填充八向连通区。

(2分）A.可以B.不一定。

标准答案：B6. 下列（）是用实型量计算，且每一步需对Y进行四舍五入。

（第一象限内,0￡k￡1的直线） (2分）A。

DDA算法 B。

Bresenham算法C.中点画线算法D.DDA算法和Bresenham算法标准答案：A7。

在齐次坐标中，最后一维坐标H称为（）因子。

(2分)A。

比例 B.旋转 C.反射 D.斜切标准答案：A 8。

线模型的数据结构简单且易于实现，只要给出所有顶点坐标及线段与其顶点的关系即可。

（2分）A.颜色 B。

角度 C.平面 D。

顶点坐标。

标准答案：D9。

参数曲线的表示有代数形式（）和两种。

（2分）A.几何形式B.分数 C。

阵列 D.固定形式标准答案：A10. 多边形填充时，下述哪个论述是错误的？（）（2分）A。

多边形被两条扫描线分割成许多梯形,梯形的底边在扫描线上,腰在多边形的边上，并且相间排列；B。

多边形与某扫描线相交得到偶数个交点,这些交点间构成的线段分别在多边形内.外，并且相间排列；C。

计算机图形学 曲线


所以，P(t)是P0,P1,…,Pn凸线性组合。 这证明Bezier曲线 完全被包在其特征多边形的凸包内。
（4） 几何不变性 由给定控制顶点所确定的Bezier曲线的形状与坐标 系的选取无关。此性质就是Bezier曲线的几何不变 性。 几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。 在计算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表 示式在不同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形 变换带来很多不便之处。 （5）交互能力 控制多边形P0P1…Pn大致地勾画出Bezier曲线P(t) 的形状。 要改变P(t)的形状，只要改变P0,P1,…,Pn 的位置即可。
① 共点：P4和R1共点。 ② 共线：P3、P4(R1)、R2三点共线。 ③ Q1'(t)为Q2'(t)长度的λ 倍。
2）C²连续
若Q1(t)曲线为m次，而Q2(t)曲线为n次，则有：
Q(1) m(m 1)( P m 2 P m 1 P m 2) Q(0) n(n 1)( R 2 2 R1 R0)
该曲线的矢量表达式为：
p p(t ) A0 A1t A2t 2 A3t 3
上式为三次曲线的代数形 式,Ai(i=0,1,2,3)成为代数系数.
应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’,可得：
p 0 A0 p A1 0 p1 A0 A1 A2 A3 p A1 2 A2 3 A3 1 A0 p 0 A1 p 0
2. 4
三次Bezier曲线的拼接
三次Bezier曲线曲线的拼接，工程上经常采用分段绘制三次 Bezier曲线，然后将分段的Bezier曲线连接起来，形成Bezier 样条曲线。 设有两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t)，其特征多边形顶点分别 为：Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3、Ｐ4和R1、R2、R3、R4，如图。

《计算机图形学》试题-A卷及参考答案


7、对于由P 0 P 1 P 2 三点所决定的二次B样条曲线，下列叙述中错误的是（ D ）
A）起始点位于（P 0 +P 1 ）/2 处； B）终止点位于（P 2 +P 1 ）/2 处； C）若P 0 P 1 P 2 三点共线时，该曲线是一条线段； D）起始点的切矢为：2（P 1 -P 0 ）。 8、下列不属于计算机图形学中三维形体表示模型的是：( C )。 A 线条模型 B 表面模型 C 粒子模型 D 实体模型
X(t)=3t 2 3 Y(t)=3t-9t +6t 2 3 Z(t)= 3t-9t +6t 将 t 分别等于 0，1/3， 2/3，1 代入上述参数曲线，得 P(0)=(0,0,0) P(1/3)=(1,2/9,2/9) P(1/2)=(3/2,0,0) P(2/3)=(2,-2/9,-2/9) P(1)=(3,0,0)
计算机图形学试题
一、选择题（20 分） 1、种子填充算法中，正确的叙述是（ C ） A）按扫描线的顺序进行象素点的填充； B）四连接算法可以填充八连接区域；
A
C）四连接区域内的每一象素可以通过上下左右四个方向组合到达； D）八连接算法不能填充四连通区域。 2、在多边形的逐边裁剪法中,对于某条多边形的边(方向为从端点 S 到端点 P)与 某条裁剪线(窗口的某一边)的比较结果共有以下四种情况,分别需输出一些顶点. 请问哪种情况下输出的顶点是错误的? （ A ） A) S 和 P 均在可见的一侧,则输出 S 和 P. B) S 和 P 均在不可见的一侧,则输出 0 个顶点. C) S 在可见一侧,P 在不可见一侧,则输出线段 SP 与裁剪线的交点. D) S 在不可见的一侧,P 在可见的一侧,则输出线段 SP 与裁剪线的交点和 P. 3、透视投影中主灭点最多可以有几个?（ D ） A)0 B)1 C)2 D)3

计算机图形学 第七讲 曲线和曲面

'
又由式（3.1.6），曲线段P（u）的二阶导矢为
将其代到式（3.1.14），得到如下关系
将其展开并加以整理得到连续性方程
对于空间曲线，式（3.1.15）包含三组方程，分别对应于x，y和z 坐标。与样条函数类似， 为了求得全部型值点处的切矢，还需要指定合成曲线首、末两端的端点条件。
4.端点条件
（1） 指定首、末两端的切矢 T0 和 Tn 在某些情况下，曲线段首、末端切矢的方向是已知的，但其模长需根据经验确定，如飞机的 机身截面左右对称，取其一半构造曲线时，其首、末端的切矢方向必与Z轴平行（图2.2）。 若已知曲线首、末端切矢分别为 T0 和 Tn ，则两个补充方程为 P0' T0 （3.1.16） Pn' Tn 由式（3.1.15）和式（3.1.16），可得求解型值点处切矢 pi （i=0,1…..,n）的方程组：
n
法平面
b P ρ t
从切面
4．曲率
以弧长S为参数 切矢t(s)对弧长 s求导， 所得导矢dt(s)/ds与切矢 相垂直，称为曲率矢量， 其单位矢量称为曲线的单 位主法矢，记为n(s)，其 模长称为曲线的曲率，记 为k(s)。曲率的倒数称为 曲线的曲率半径，记为 ( s)
密切平面
法平面
b
从切面 t
'' 0 '' n
P 1 (u ) B 1u C1u D 1
其二阶导矢分别为：
2 P ( u ) B u Cnu Dn n n
'' P 1 (u ) 2 B1 '' pn (u ) 2 Bn
显然，二次函数的二阶导数为常数，即
'' '' P ( 0 ) P 1 1 (1)

《计算机图形学》练习测试题及参考答案

《计算机图形学》练习测试题及参考答案《计算机图形学》测试题⼀、名词解释：(每个4分)1．计算机图形学2．图象处理3．模式识别4．计算⼏何5．凸多边形6．种⼦填充算法7．窗⼝8．视区9．光顺性10．拟合11．多项式插值12．⼩挠度曲线13．图形变换14．齐次坐标系15．凸包16．轮廓线17．等值线18．图形的翼边表⽰19．ER模型20．图形消隐21．本影22．半影23．⽤户坐标系24．规范化设备坐标系25．构造26．约束技术27．光线跟踪28、⾛样29、CRT（Cathode Ray Tube）30、隔⾏（interlaced）扫描31、输⼊模式32、取样⽅式（sample mode）33、区域34、边界表⽰法35、复合变换36、⼆维复合平移37．⼆维复合⽐例38．⼆维复合旋转39．视区（Viewport）40、投影变换41、平⾯⼏何投影42. 参数图43. 像素图44．⼈机界⾯45．地理信息系统46．虚拟现实47.⼏何造型技术48．扫描转换49. 插值曲线50．逼近曲线51. ⽤户接⼝52. 交互技术53. 交互式图形系统的基本交互任务54. 定位任务55. 选择任务56. 拾取任务57 .选择技术58. 菜单技术59. ⽂字输⼊任务60. 数值输⼊任务61．动画62．帧63．场64. 消隐65.物体空间的消隐算法66. 漫反射光67. 环境光68. 镜⾯反射光⼆、选择题（每题2分）1、计算机图形学与计算⼏何之间的关系是( )。

A）学术上的同义词B）计算机图形学以计算⼏何为理论基础C）计算⼏何是计算机图形学的前⾝D）．两门毫不相⼲的学科2、计算机图形学与计算机图象学的关系是( )。

A）计算机图形学是基础，计算机图象学是其发展B）不同的学科，研究对象和数学基础都不同，但它们之间也有可转换部分C）同⼀学科在不同场合的不同称呼⽽已D）完全不同的学科，两者毫不相⼲3、触摸屏是( )设备。

A）输⼊B）输出C）输⼊输出D）既不是输⼊也不是输出4．计算机绘图设备⼀般使⽤什么颜⾊模型？( )A）RGB；B）CMY；C）HSV ；D）HLS5. 计算机图形显⽰器⼀般使⽤什么颜⾊模型？( )A）RGB；B）CMY；C）HSV ；D）HLS6．分辨率为1024×1024的显⽰器各需要多少字节位平⾯数为24的帧缓存？( ) A）512KB；B）1MB；C）2MB ；D）3MB 7．哪⼀个不是国际标准化组织（ISO）批准的图形标准？( )A）GKS；B）PHIGS；C）CGM ；D）DXF8.下述绕坐标原点逆时针⽅向旋转a⾓的坐标变换矩阵中哪⼀项是错误的? ( )| A B || C D |A) cos a;B) sin a;C) sin a;D) cos a9、在多边形的逐边裁剪法中,对于某条多边形的边(⽅向为从端点S到端点P)与某条裁剪线(窗⼝的某⼀边)的⽐较结果共有以下四种情况,分别需输出⼀些顶点.请问哪种情况下输出的顶点是错误的? ( )A)S和P均在可见的⼀侧,则输出S和P.B)S和P均在不可见的⼀侧,则输出0个顶点.C)S在可见⼀侧,P在不可见⼀侧,则输出线段SP与裁剪线的交点.D)S在不可见的⼀侧,P在可见的⼀侧,则输出线段SP与裁剪线的交点和P.10、在物体的定义中对边的哪条限制不存在? ( )A) 边的长度可度量且是有限的B) ⼀条边有且只有两个相邻的⾯C) ⼀条边有且只有两个端点D) 如果⼀条边是曲线,那么在两个端点之间不允许曲线⾃相交11.下述哪⼀条边不是⾮均匀有理B样条(NURBS)的优点? ( )A) NURBS⽐均匀B样条能表⽰更多的曲⾯B) 对于间距不等的数据点,⽤NURBS拟合的曲线⽐⽤均匀B样条拟合的曲线更光滑C) NURBS提供的权控制⽅法⽐⽤控制点更能有效的控制曲线的形状D) 使⽤NURBS可以提⾼对曲⾯的显⽰效率12.下列关于图的存储表⽰的叙述中，哪⼀个是不正确的？A) ⽆向图的相邻矩阵是对称矩阵B) 对于带权的图，其相邻矩阵中值为1的元素，其值可以⽤边的权来权替C) ⽤邻接表法存储包括n个结点的图需要保存⼀个顺序存储的结点表和n个链接存储的边表D) ⽤邻接表法存储包括n条边的图需要保存⼀个顺序存储的结点表和n个链接存储的边表13*.在⾯⽚的数量⾮常⼤的情况下哪⼀个消隐算法速度最快? ( )A) 深度缓存算法(Z-Buffer)B) 扫描线消隐算法C) 深度排序算法(画家算法)D) 不知道14*.下⾯关于深度缓存消隐算法(Z-Buffer)的论断哪⼀条不正确? ( )A) 深度缓存算法并不需要开辟⼀个与图像⼤⼩相等的深度缓存数组B) 深度缓存算法不能⽤于处理对透明物体的消隐C) 深度缓存算法能并⾏实现D) 深度缓存算法中没有对多边形进⾏排序15.在⽤射线法进⾏点与多边形之间的包含性检测时,下述哪⼀个操作不正确? ( )A) 当射线与多边形交于某顶点时且该点的两个邻边在射线的⼀侧时,计数0次B) 当射线与多边形交于某顶点时且该点的两个邻边在射线的⼀侧时,计数2次C) 当射线与多边形交于某顶点时且该点的两个邻边在射线的两侧时,计数1次D) 当射线与多边形的某边重合时,计数1次16*、扫描消隐算法在何处利⽤了连贯性（相关性Coherence）?(1)计算扫描线与边的交点；（2）计算多边形在其边界上的深度；（3）计算多边形视窗任意点处的深度值；（4）检测点与多边形之间的包含性。

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P(t ) P(t ) B P(t ) P(t ) ( P(t ) P(t )) P(t ) N B T ( P(t ) P(t )) P(t )
2015/11/14 第9部分 参数曲线和曲面基础 第10页
– T、N和B构成了曲线 上的活动坐标架 – N、B构成的平面称为 法平面 – N、T构成的平面称为 密切平面 – B、T构成的平面称为 从切平面
法平面
B
从 切 面
N T
密切面
主法线
图3.1.2 曲线的法矢
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第11页
曲率和挠率

曲率
lim
s 0 s
dT ds

挠率
– 其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率 1 – 曲率k的倒数 称为曲率半径 – 挠率τ的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧 长的转动率 dB
2. 几何连续性
•
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第24页

结论
– 若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在 结合处位置连续。 – 若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结 合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢量。
Q’(0)=αP’(1)
– 当a＝1时，G1连续就成为C1连续。
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第6页
位置矢量、切矢量、法矢量
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第7页

位置矢量
P(t)=[x(t), y(t), z(t)]
切矢量(切向量)
dP P – 将弧长s作为参数，则 T 是单位切矢量 lim s 0 ds s
P ( 0) P(t )
Q(t )
P(1) Q(0)
2015/11/14
Q(1)
第9部分 参数曲线和曲面基础
第25页
V1 V0 V t, 0 t 1 0 3 (t ) V V 2(V V ) V0 1 0 t 1 1 0 , 1 t 2 3 3 1 (1 ) V1 V0 3 2 (1 ) V1 V0 3
1. 具有二阶几何连续性(G2)； 2. 不存在多余拐点和奇异点； 3. 曲率变化较小。
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第18页
参数曲线的代数和几何形式

代数形式(3次)
x(t ) a3 xt 3 a2 xt 2 a1xt a0 x 3 2 y ( t ) a t a t a1 y t a0 y 3y 2y 3 2 z ( t ) a t a t a1z t a0 z 3z 2z t [0,1]
lim
s
s
ds
第12页
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
B1 T
B0 T0
T ( s s )

T1 T (s) N1 B1 N0 B0
O （a）
（ b）

2015/11/14
P(t ) P(t ) P(t )
3

( P(t ), P(t ), P(t )) ( P(t ) P(t )) 2
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第26页
– 若要求在结合处达到C2连续，就是说两条曲线在结 合处在满足G2连续的条件下，并有相同的曲率。 – C1连续保证G1连续， C2连续能保证G2连续，但反过 来不行。 – 也就是说Cn连续的条件比Gn连续的条件要苛刻。
2015/11/14
第9部分 参数曲线和曲面基础
第28页
P00 n(ui,wj) u=0 P00 P(ui,wj) w=wj u=1 w=0 z P00 u=ui w=1
Pw(ui,wj)
P00
Pu(ui,wj)
y
2015/11/14
x
第9部分 参数曲线和曲面基础
第29页

参数曲面上的点
P(u0,v0)
参数曲面上一点的切向量
P(u , v) |u u0 u v v0
t [0,1]
P(t ) G1P 1 G2 P 2 G3 P 3 G4 P 4
2015/11/14 第9部分 参数曲线和曲面基础
t [0,1]
第23页
连续性

曲线间连接的光滑度有两种度量：
1. 参数连续性
• 组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连 续可微，这类光滑度称之为Cn 或n阶参数连续性。 组合曲线在连接处不满足Cn的某一组约束条件，称为具 有n阶几何连续性，简记为Gn .
a0 P0 ' a1 P0 ' ' 1 2P 0 P 1 a2 3P0 3P a 2 P 2 P P P ' 0 1 0 1 3
t [0,1]
3 2 3 2 ' 3 2 ' P(t ) (2t 3 3t 2 1)P ( 2 t 3 t ) P ( t 2 t t ) P ( t t ) P 0 1 0 1

矢量形式
P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0 t [0,1]
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第19页

几何形式
– 将P(0)、P(1)、P’(0)和 P’(1)简记为P0、P1、P’0和 P’1代入 得
P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0
t [0,1]
– 上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式. – P0、P1、P’0和P’1是几何系数 – F0、F1、G0和G1称为调和函数
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第21页
P
' 1
F0 1 P1
F1 1
P0'
P (t )
P ' (t )
o G0 1
1
第5页

参数表示的优点
1. 便于处理斜率无穷大的情形，不会因此而中断计算。 2. 规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是 有界的，而不必考虑边界问题。 3. 对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行 几何变换。 4. 便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间。 5. 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 6. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第4页
参数表示实例

直线
P(t ) P t [0,1] 1 (P 2 P 1 )t

圆
1 t 2 2t P(t ) , 2 2 1 t 1 t t [0,1]
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第9部分 参数曲线和曲面基础
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第14页

抛物线插值
– 已知在三个互异点x1,x2,x3,的函数值为y1,y2,y3 ,要求构 造一个函数 φ(x)=ax2+bx+c 使抛物线φ(x)在结点x1,x2,x3处与f(x)在 x1,x2,x3处的值 相等。
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第15页
y
y f ( x)
y y ( x) y1
x
y f ( x)
y ( x)
y1
y2
x2
y2
y3 x3
x
o
x1 (a)
o
x1
x2 (b)
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第16页

拟合
– 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据 点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲线。
t
o G1 1
1
t
P0
o
1
t
o
1
t2015ຫໍສະໝຸດ 11/14第9部分 参数曲线和曲面基础
第22页
四点式曲线
P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0
a0 P 1 1 a3 1 a2 1 a1 a0 P2 27 9 3 8 a 4a 2a a P 3 27 3 9 2 3 1 0 a a a a P 4 3 2 1 0
– 单位切矢量的计算
2 2
• 根据弧长微分公式有： ds 2 dx 2 dy 2 dz 2
ds / dt dx / dt dy / dt dz / dt
2
2
P (t )
'
2
ds P ' (t ) 0 dt
2015/11/14 第9部分 参数曲线和曲面基础 第8页
参数曲线和曲面基础
Ray
ray@
2015/11/14
李辉 副教授
内容


曲线曲面参数表示 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 插值、拟合、逼近和光顺 参数曲线的代数和几何形式 连续性 参数曲面基本概念
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第9部分 参数曲线和曲面基础
第13页
第9部分 参数曲线和曲面基础
插值、拟合、逼近和光顺

插值
– 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条 曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行 插值，所构造的曲线称为插值曲线。

线性插值
– 假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个 线形函数 y=ax+b 近似代替，称为的线性插值函数。