高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的线性运算及几何意义对点训练理

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇固本夯基考点一平面向量的概念及线性运算1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2022届江西重点中学联考二,5)设e1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的值为( )A.-12B.12C.-23D.23答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A4.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( )A.1B.-1C.12D.-12答案 D5.(2021陕西延安重点中学模拟,6)设M是△ABC所在平面上的一点,且EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D是AC的中点,则|EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.13B.12C.1D.2答案 A6.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=()A.13B.12C.-12D.-13答案 A7.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM 与CN交于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=()A.23B.34C.45D.56答案 C8.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM与△BC M的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43答案 C9.(2022届黑龙江八校期中,13)如图,在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D是BE上的点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x的值为.答案19考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),把EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(acosφ-bsinφ,asinφ+bcosφ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4得到点P,则点P的坐标为( )A.(-3,1)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)答案 D2.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(32,1),b=(-12,4),则( )A.a∥(a-b)B.a⊥(a-b)C.(a-b)∥(a+b)D.(a-b)⊥(a+b)答案 B3.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O逆时针旋转60°得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(√32,-12) D.(12,-√32)答案 A4.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE=( )A.√3B.12C.√33D.23答案 C5.(2022届四川绵阳中学模拟二,5)设向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-1),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1E +2E的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案 C6.(2021全国甲,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .答案-1037.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案128.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.答案 39.(2022届云南五华模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以CD为直径的半圆上有一点P,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为.答案73综合篇知能转换考法一平面向量线性运算的解题策略1.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点Q是线段BP的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.(20215·3原创题)△ABC中,点M为AC上的点,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1 E -1E的值为( )A.0B.-32C.1D.-1答案 B3.(2022届福州福清西山学校10月月考,8)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a+35bB.35a+45bC.1225a+925bD.1625a+1225b 答案 D4.(2022届河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C,动点P 满足EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E +EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心 答案 A5.(2021赣中南五校联考二,15)已知△ABC 的重心为G,过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且△AMN 与△ABC 的面积的比值为2554,则实数λ= .答案 5或546.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tanα=7,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R),则m+n= .答案 3考法二 向量共线问题的求解方法1.(2021山西孝义二模,6)已知EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cosα),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sinα),若A,B,D 三点共线,则tanα=( )A.-2B.-12C.12D.2答案 A2.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=2DC,点P 在线段BC 上,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( )A.34 B.23 C.13 D.12 答案 C3.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ交BC于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 C4.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3答案 B5.(2022届拉萨中学月考,15)在△ABC中,点D满足BD=34BC,E点在线段AD上移动,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是.答案9106.(2020吉林桦甸四中等4月联考,15)在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为线段AM上任意一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x2+2x+y2的最小值为.答案916应用篇知行合一应用向量在物理中的应用1.(2021山西长治二中月考,3探索创新情境)已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10√2NC.20√2ND.40√2N答案 B2.(2021咸阳模拟,9生活实践情境)渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发向北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设速度v1与速度v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到达北岸的位置应( )A.在A'东侧B.在A'西侧C.恰好与A'重合D.无法确定答案 A。

专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一 平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（ ）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量 【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件 解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（ ）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1） 当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2） 若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理 知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二 向量的线性运算 命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（ ）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决 【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法 ：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（ ） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则 （ ）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】 由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小 练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（ ）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（ ）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（ ）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（ ）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ， 则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。

一、知识梳理１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（２）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c ＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量—b的和的运算a—b＝a＋（—b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ_a；λ（a＋b）＝λa＋λb３．向量共线的判定定理和性质定理（１）判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．（２）性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b＝λa.常用结论１．几个特殊向量（１）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0．（２）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．（３）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．（４）与向量a平行的单位向量有两个，即向量错误!和—错误!.２．五个常用结论（１）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．（２）若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（３）若A，B，C是平面内不共线的三点，则错误!＋错误!＋错误!＝0⇔P为△ABC的重心．（４）在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G（如图所示），易知G 为△ABC的重心，则有如下结论：１错误!＋错误!＋错误!＝0；２错误!＝错误!（错误!＋错误!）；３错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（５）若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝１．二、教材衍化１．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________，错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，错误!＝错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!—错误!＝—错误!—错误!＝—a—b.答案：b—a—a—b２．在平行四边形ABCD中，若|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|，则四边形ABCD的形状为________．解析：如图，因为错误!＋错误!＝错误!，错误!—错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（）（２）零向量与任意向量平行．（）（３）若a∥b，b∥c，则a∥c.（）（４）若向量错误!与向量错误!是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（）（５）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（）（6）在△ABC中，D是BC的中点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×（５）√（6）√二、易错纠偏错误!错误!（１）对向量共线定理认识不准确；（２）向量线性运算不熟致错；（３）向量三角不等式认识不清致错．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．若a＋b＝0，则a＝—b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．２．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ１错误!＋λ２错误!（λ１，λ２为实数），则λ１＝________，λ２＝________．解析：错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!，所以λ１＝—错误!，λ２＝错误!.答案：—错误!错误!３．已知向量a，b，若|a|＝２，|b|＝４，则|a—b|的取值范围为________．解析：当a与b方向相同时，|a—b|＝２，当a与b方向相反时，|a—b|＝6，当a与b不共线时，２<|a—b|<6，所以|a—b|的取值范围为[２，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．答案：[２，6][学生用书P8２]平面向量的有关概念（自主练透）１．设a0为单位向量，１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１C．２Ｄ．３解析：选Ｄ．向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．２．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充分条件是（）Ａ．a＝—bＢ．a∥bＣ．a＝２bＤ．a∥b且|a|＝|b|解析：选Ｃ．因为向量错误!的方向与向量a相同，向量错误!的方向与向量b相同，且错误!＝错误!，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，Ｄ．当a＝２b时，错误!＝错误!＝错误!，故“a＝２b”是“错误!＝错误!”成立的充分条件．１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若|a|＝|b|，则a＝b或a＝—b；３若A，B，C，D是不共线的四点，且错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．解析：１是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．３是正确的，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．答案：３错误!辨析向量有关概念的五个关键点（１）向量定义的关键是方向和长度．（２）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．（３）相等向量的关键是方向相同且长度相等．（４）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．（５）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．平面向量的线性运算（多维探究）角度一向量的线性运算（１）（２0１8·高考全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!（２）在四边形ABCD中，错误!＝错误!，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则（）Ａ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!【解析】（１）法一：如图所示，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×错误!（错误!＋错误!）＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．法二：错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!×错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）在四边形ABCD中，如图所示，因为错误!＝错误!，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得错误!＝错误!错误!，由题意知△DEF∽△BEA，则错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，故选Ｂ．【答案】（１）A （２）B角度二根据向量线性运算求参数（一题多解）如图，在直角梯形ABCD中，错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!，且错误!＝r错误!＋s错误!，则２r＋３s＝（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４【解析】法一：由题图可得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.因为错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝错误!，则２r＋３s＝１＋２＝３．法二：因为错误!＝２错误!，所以错误!—错误!＝２（错误!—错误!），整理，得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，以下同法一．法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由错误!＝错误!错误!得DC∥AB，且AB＝４DC.又错误!＝２错误!，所以E为PB的中点，且错误!＝错误!错误!.于是，错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B（４m，0），D（３m，３h），E（４m，２h），其中m＞0，h＞0．由错误!＝r错误!＋s错误!，得（４m，２h）＝r（４m，0）＋s（３m，３h），所以错误!解得错误!所以２r＋３s＝１＋２＝３．【答案】C错误!平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略（１）向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．（２）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．１．（２0２0·福州模拟）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且错误!＝错误!.则下列关系中正确的是（）Ａ．错误!—错误!＝错误!错误!Ｂ．错误!＋错误!＝错误!错误!Ｃ．错误!—错误!＝错误!错误!Ｄ．错误!＋错误!＝错误!错误!解析：选Ａ．由题意得，错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!，所以A正确；错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!错误!，所以B错误；错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!错误!，所以C错误；错误!＋错误!＝错误!＋错误!，错误!错误!＝错误!＝错误!—错误!，若错误!＋错误!＝错误!错误!，则错误!＝0，不合题意，所以D错误．故选Ａ．２．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且错误!＝３错误!，点O在线段CD上（与点C，D 不重合），若错误!＝x错误!＋（１—x）错误!，则x的取值范围是________．解析：设错误!＝y错误!，因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋y错误!＝错误!＋y（错误!—错误!）＝—y错误!＋（１＋y）错误!.因为错误!＝３错误!，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．所以y∈错误!，因为错误!＝x错误!＋（１—x）错误!，所以x＝—y，所以x∈错误!.答案：错误!平面向量共线定理的应用（典例迁移）设两个非零向量a与b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．【解】（１）证明：因为错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），所以错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３（a—b）＝５（a＋b）＝５错误!，所以错误!，错误!共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）因为k a＋b与a＋k b共线，所以存在实数λ，使k a＋b＝λ（a＋k b），即（k—λ）a＝（λk—１）b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k—λ＝λk—１＝0．所以k２—１＝0．所以k＝±１．【迁移探究１】（变条件）若将本例（１）中“错误!＝２a＋8b”改为“错误!＝a＋m b”，则m 为何值时，A，B，D三点共线？解：错误!＋错误!＝（a＋m b）＋３（a—b）＝４a＋（m—３）b，即错误!＝４a＋（m—３）b.若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，即４a＋（m—３）b＝λ（a＋b），所以错误!解得m＝7．故当m＝7时，A，B，D三点共线．【迁移探究２】（变条件）若将本例（２）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为k a＋b与a＋k b反向共线，所以存在实数λ，使k a＋b＝λ（a＋k b）（λ＜0），所以错误!所以k＝±１．又λ＜0，k＝λ，所以k＝—１．故当k＝—１时，两向量反向共线．错误!共线向量定理的３个应用（１）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线．（２）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（３）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．[注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．１．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，t b，错误!（a＋b）的终点在同一条直线上，则实数t＝________．解析：因为a，t b，错误!（a＋b）三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，所以a—t b与a—错误!（a＋b）共线，即a—t b与错误!a—错误!b共线，所以存在实数λ，使a—t b＝λ错误!，所以错误!解得λ＝错误!，t＝错误!.答案：错误!２．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，错误!＝λ错误!，则λ＝________．解析：因为错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!.由向量加法的平行四边形法则可知，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＝λ错误!＝λ（错误!＋错误!）＝λ错误!＝错误!λ错误!＋２λ错误!，由E，F，K三点共线，可得λ＝错误!.答案：错误![学生用书P8４]共线定理的推广与应用[共线定理] 已知错误!，错误!为平面内两个不共线的向量，设错误!＝x错误!＋y错误!，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝１．[推广形式] 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设错误!＝x错误!＋y错误!（x，y∈R）．当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），则λ＋μ＝１．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得错误!＝m错误!，则错误!＝m错误!＝mλ错误!＋mμ错误!.又错误!＝x错误!＋y错误!（x，y∈R），所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．因此得到结论：错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋y＝m（定值），反之亦成立．（应用实例）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设错误!＝α错误!＋β错误!（α，β∈R），则α＋β的取值范围是________．【解析】当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈错误!＝[３，４]．【答案】[３，４]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．【解析】由点D是圆O外的一点，可设错误!＝λ错误!（λ＞１），则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!.因为C，O，D三点共线，令错误!＝—μ错误!（μ＞１），所以错误!＝—错误!错误!—错误!·错误!（λ＞１，μ＞１）．因为错误!＝m错误!＋n错误!，所以m＝—错误!，n ＝—错误!，则m＋n＝—错误!—错误!＝—错误!∈（—１，0）．【答案】（—１，0）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝错误!，C为弧AB上的动点，若错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋３y的取值范围是________．【解析】错误!＝x错误!＋３y错误!，如图，作错误!＝错误!，则考虑以向量错误!，错误!为基底．显然，当C在A点时，经过m＝１的平行线，当C在B点时，经过m＝３的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋３y的取值范围是[１，３]．【答案】[１，３][基础题组练]１．如图，已知错误!＝错误!错误!，用错误!，错误!表示错误!，则错误!等于（）A.错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．—错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．—错误!错误!—错误!错误!解析：选Ｃ．错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｃ．２．在△ABC中，AB＝２，BC＝３，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意易得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，所以２错误!＝错误!＋错误!错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故λ＋μ＝错误!＋错误!＝错误!.３．（２0２0·广东华附、省实、广雅、深中联考）设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充要条件是（）Ａ．a∥bＢ．θ＝0Ｃ．θ＝错误!Ｄ．θ＝π解析：选Ｂ．错误!＝错误!等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故选Ｂ．４．（２0２0·合肥一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足１6错误!—１２错误!—３错误!＝0，则（）Ａ．错误!＝１２错误!＋３错误!Ｂ．错误!＝１２错误!—３错误!Ｃ．错误!＝—１２错误!＋３错误!Ｄ．错误!＝—１２错误!—３错误!解析：选Ａ．对于A，错误!＝１２错误!＋３错误!＝１２（错误!—错误!）＋３（错误!—错误!）＝１２错误!＋３错误!—１５错误!，整理，可得１6错误!—１２错误!—３错误!＝0，这与题干中条件相符合，故选Ａ．５．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则错误!的值为（）Ａ．—３Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．—２解析：选Ｂ．因为错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!×错误!错误!—错误!错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝错误!，μ＝错误!，所以错误!＝错误!×错误!＝３．故选Ｂ．6．若|错误!|＝|错误!|＝|错误!—错误!|＝２，则|错误!＋错误!|＝________．解析：因为|错误!|＝|错误!|＝|错误!—错误!|＝２，所以△ABC是边长为２的正三角形，所以|错误!＋错误!|为△ABC的边BC上的高的２倍，所以|错误!＋错误!|＝２错误!.答案：２错误!7．已知O为△ABC内一点，且２错误!＝错误!＋错误!，错误!＝t错误!，若B，O，D三点共线，则t的值为________．解析：设线段BC的中点为M，则错误!＋错误!＝２错误!.因为２错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＝错误!，则错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.由B，O，D三点共线，得错误!＋错误!＝１，解得t＝错误!.答案：错误!8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝４，且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R），则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以错误!＋λ＝１，解得λ＝错误!，如图，过点D分别作AC，AB 的平行线交AB，AC于点M，N，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝４，所以AN＝AM＝３，AD＝３错误!.答案：３错误!9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝２GE，设错误!＝a，错误!＝b，试用a，b表示错误!，错误!.解：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!a＋错误!b；错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.１0．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，m，n∈R，求错误!＋错误!的值．解：设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!（a＋b），错误!＝错误!—错误!＝n b—m a，错误!＝错误!—错误!＝错误!（a＋b）—m a＝错误!a＋错误!b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得错误!＝λ错误!，即n b—m a＝λ错误!a＋错误!λb，则错误!消去λ，得错误!＋错误!＝３．[综合题组练]１．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．１或—错误!Ｄ．—１或—错误!解析：选Ｂ．由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝k d（k＜0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]．整理得λa＋b＝k a＋（２λk—k）b.由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝—错误!.２．（一题多解）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝错误!DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则（）Ａ．m＋n是定值，定值为２Ｂ．２m＋n是定值，定值为３Ｃ．错误!＋错误!是定值，定值为２Ｄ．错误!＋错误!是定值，定值为３解析：选Ｄ．法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由错误!＝n错误!可得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，由BD＝错误!DC可得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，因为错误!＝m错误!，所以m＝错误!，整理可得错误!＋错误!＝３．法二：因为M，D，N三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）·错误!.又错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，所以错误!＝λm错误!＋（１—λ）·n错误!.又错误!＝错误!错误!，所以错误!—错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.比较系数知λm＝错误!，（１—λ）n＝错误!，所以错误!＋错误!＝３，故选Ｄ．３．（２0２0·铜川模拟）在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________．解析：如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得错误!＝t错误!＝t（错误!—错误!）．因为M是线段AD的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（—错误!＋t错误!—t错误!）＝—错误!（t＋１）·错误!＋错误!t错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝—错误!（t＋１），μ＝错误!t，所以λ＋μ＝—错误!.答案：—错误!.４．已知P为△ABC所在平面内一点，错误!＋错误!＋错误!＝0，|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝２，则△ABC的面积为________．解析：因为错误!＋错误!＋错误!＝0，所以错误!＝—（错误!＋错误!）．由平行四边形法则可知，以错误!，错误!为边组成的平行四边形的一条对角线与错误!反向，且长度相等．因为|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝２，所以以错误!，错误!为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为２，所以BC＝２错误!，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝错误!AB·BC＝错误!×２×２错误!＝２错误!.答案：２错误!５．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与x a ＋y b（x，y为非零实数）共线，求错误!的值．解：设e１，e２分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c＝e１—２e２，a ＝２e１＋e２，b＝—２e１—２e２，由c与x a＋y b共线，得c＝λ（x a＋y b），所以e１—２e２＝２λ（x—y）e１＋λ（x—２y）e２，所以错误!所以错误!所以错误!的值为错误!.6．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R）．（１）若m＋n＝１，求证：A，P，B三点共线；（２）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝１．证明：（１）若m＋n＝１，则错误!＝m错误!＋（１—m）错误!＝错误!＋m（错误!—错误!），所以错误!—错误!＝m（错误!—错误!），即错误!＝m错误!，所以错误!与错误!共线．又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．（２）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，所以错误!—错误!＝λ（错误!—错误!）．又错误!＝m错误!＋n错误!.故有m错误!＋（n—１）错误!＝λ错误!—λ错误!，即（m—λ）错误!＋（n＋λ—１）错误!＝0．因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线，所以错误!所以m＋n＝１．。

1 .设D为MiBC所在平面内一点，=3,贝U()A.= —+B.= -C.= +D.= -答案A解析由题意得= + = + =—=—,故选A.2.已知点A, B, C在圆疽+丁=1上运动，且AB±BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为()A.6B. 7C. 8D. 9答案B解析解法一：因为A, B, C均在单位圆上，AC为直径，故+=2=(—4,0), | + + | = |2+|W2|| + ||,又||W||+1=3,所以|+ + |W4+3 = 7,故其最大值为7,选B.解法二：因为A, B, C均在单位圆上，AC为直径，不妨设/(cosx, sinx), 5(cos(x + a), + 比EZ), C( —cosx, — sinx), + + =(COS(X + Q)—6, sin(x+a)), | I ==W7,故选B.3.对任意向量/ b,下列关系式中不恒成立的是()A.g沏Wg||方|B.|a—A|W||a|—|b||C.(a+ft)2—|a+ft|2D.(a~\rb\(a_b)=cr_b2答案B解析对于A选项，设向量a, b的夹角为6»,・.・K0| = gW||cos仞W同回，「・A 选项正确;对于B选项,••,当向量a, b反向时，\a—b\^\\a\ — \b\\, AB选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确;对于D选项，根据向量的J5算法则，可推导出(a-\~by(a—b)=a^—b~9故D选项正确，综上选B.4.记max(x, y} =min(x, y}=设a, b 为平面向量，则()A.min{|a - b\y \a~b\} ^min(|<z|, \b\}B.min{|a + ^|, \a~b\} ^min{|a|, \h\}C.max{|a + Z>|2, |«-Z>|2}^|<z|2 + |^|2D.max{W + b|2, g—方F}N同2十冏2答案D解析在A 中，取0=(1,0), ♦=((),0),则min{g+b|, |。

专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。