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图象法求一元二次方程的近似根能量储备●利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤(1)画出函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象.(2)确定抛物线与x轴交点的个数，看交点在哪两个数之间．(3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负过渡的地方，当x由x1取到x2时，若对应的y值出现y1＞0，y2＜0，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．一般需要我们求近似根的方程，其根往往是无理数，所以列表时不可能取到精确根．●图象法求解一元二次方程的常用方法(1)方法1：利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象；②观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．(2)方法2：利用抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2(a≠0)与y＝－bx－c(b≠0)[或y＝ax2＋bx(a≠0)与y＝－c或y＝x2与y＝－ba x－ca）（0ab]的图象；②观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现．但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．通关宝典★基础方法点方法点1：利用图象法求一元二次方程的近似实数根先根据抛物线与x轴的交点，确定出交点的横坐标的大致范围，即得到一元二次方程实数根的大致范围，然后利用取平均数的方法，逐步缩小实数根所在的范围，这样，实数根所在范围的两端的值越来越接近根的值，从而可确定一元二次方程的近似实数根．例：利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根．(精确到0.1)解法1：原方程变形为－x2＋2x＋5＝0.作函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图所示．由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2与－1之间和3与4之间，即方程－x2＋2x－3＝－8的两实数根分别在－2与－1之间和3与4之间．用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，从而确定方程的近似解．如由图象可知，当x＝3时，y＞0；当x＝4时，y＜0.取3和4的平均数3.5.当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25.当x＝3.25时，y＝0.937 5，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375.当x＝3.375时，y＝0.359 375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间．由此方法可得到原方程的一个近似实数根为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.解法2：作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图所示．由图象知，方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，一个交点的横坐标在－2与－1之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．同样用取平均数的方法，可得方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.★★易混易误点蓄势待发考前攻略考查根据给出的几组x，y值确定一元二次方程的解，题型多为选择题、解答题．完胜关卡。
用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。
下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次公式解法一元二次方程的解法是数学中的一个重要概念，它涉及到一元二次方程的根的求解。
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的方法是公式法。
公式法是通过一元二次方程的根的公式来求解方程的根。
一元二次方程的根的公式是：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)其中，b^2 - 4ac 叫做判别式，√(b^2 - 4ac) 叫做根号下的判别式。
使用公式法解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
2. 计算判别式 b^2 - 4ac。
3. 根据判别式的值判断方程的根的情况：当判别式 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根（重根）；当判别式 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实根（虚根）。
4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出方程的根。
下面是一个使用公式法解一元二次方程的示例：解方程：x^2 - 6x + 9 = 01. 将方程化为一般形式：x^2 - 6x + 9 = 0，其中 a = 1, b = -6, c = 9。
2. 计算判别式 b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0。
3. 因为判别式 b^2 - 4ac = 0，所以方程有两个相等的实根。
4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，得到 x = [-(-6) ± 0] / (2 × 1) = (6 ± 0) / 2 = 3。
所以，方程 x^2 - 6x + 9 = 0 的解为 x1 = x2 = 3。
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
一元二次方程式求根公式法一元二次方程式是一个由二次项、一次项、常数项组成的方程，它的求根公式又称“二次公式”，也可以用展开式得到。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式求根公式法是以一元二次方程式的标准型式：ax+ bx + c = 0为基础，利用它的求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a求出一元二次方程式的两个根的方法。
首先，将一元二次方程式化为标准型式，即：ax+ bx + c = 0。
将a, b, c 代入求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a，算出x的两个值：一个是负号，另一个是正号。
其次，根据符号，计算出x的绝对值。
由于b-4ac可能大于0，也可能小于0，因此得到的结果有可能是一个实数，也有可能是两个实数（实部与虚部）。
最后，将x的绝对值带回到一元二次方程式中，以确定一元二次方程式的两个根。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式的解也可以用图形法求出，首先，要将一元二次方程式化为y=f(x)的形式，然后在数轴上画出图形，图形中的交点就是方程的根。
但是这种方法只能求出近似解，而且计算量也比较大，不如一元二次方程式求根公式法直接求出精确解。
一元二次方程式求根公式法有很多实际应用，如生活中的几何问题，如：求圆的面积、周长、圆心角等；或者在物理、化学中求解许多物理量的关系，如力的平衡、物体的运动等。
因此，一元二次方程式求根公式法在学习中同样重要，它可以帮助我们快速算出一元二次方程式的解，熟练掌握二次公式对于理解各个科学问题也有很大的帮助。
综上所述，一元二次方程式求根公式法是一种简便、有效的求解一元二次方程式的方法，它可以快速算出一元二次方程式的解，并且在学习中有着重要的作用，是科学研究的重要基础之一。
原题: 求解一元二次方程的根。
原题：求解一元二次方程的根一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的根可以使用以下方法：1.公式法：一元二次方程的根可以通过求解以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个不同的解，√ 表示平方根。
2.因式分解法：如果一元二次方程可以进行因式分解，则可以通过因式分解的办法求解方程的根。
例如，对于方程 x^2 + 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，从而得到两个根 x = -2 和 x = -3。
3.配方法：一些特殊的一元二次方程可以通过配方法得到其根。
例如，对于方程 x^2 - 6x + 9 = 0，可以进行配方法得到 (x - 3)^2 = 0，从而得到一个重根 x = 3。
4.求解顶点法：一元二次方程的图像是一个抛物线，其顶点坐标可以通过求解以下公式得到：x = -b / 2ay = f(x) = (-b^2 + 4ac) / 4a其中，x、y 分别表示顶点的横纵坐标。
需要注意的是，解一元二次方程时，首先需要判断方程是否有解。
当判别式Δ = b^2 - 4ac 大于等于 0 时，方程有实数根；当判别式Δ 小于 0 时，方程无实数根。
另外，如果一元二次方程的系数a、b、c 不是实数，而是复数，则可以将方程的求解转化为求解复数根的问题。
通过以上方法，可以求解出一元二次方程的根，进而解决与根相关的实际问题或数学推导。
1元二次方程求根公式一元二次方程求根公式是解决一元二次方程的一种方法，可以通过这个公式得出方程的解析解。
在解决实际问题时，我们经常会遇到一元二次方程，因此掌握求根公式是十分重要的。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c 为已知系数，x为未知数。
我们通过求根公式可以得到方程的两个根，公式的形式如下：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a这里√(b^2 - 4ac)表示计算平方根，通常我们称为“根号”。
根号下面的内容称为判别式，它代表了根的性质。
接下来，我们将详细解释这个求根公式。
1.第一步：计算判别式方程的判别式Δ（Delta）等于 b^2 - 4ac，根据判别式的值我们可以判断方程的根的性质。
-当Δ>0时，方程有两个不同的实数根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个复数解。
2.第二步：套用求根公式根据判别式的值，我们可以得到不同的求根公式。
-当Δ>0时：求根公式为x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
这时方程有两个不同的实数根。
-当Δ=0时：求根公式为x1=x2=-b/(2a)。
这时方程有两个相等的实数根。
-当Δ<0时：求根公式为x1=(-b+√(，Δ，)i)/2a，x2=(-b-√(，Δ，)i)/2a。
其中i为虚数单位，这时方程没有实数解，但有两个复数解。
3.第三步：将系数代入求根公式将方程的系数a、b、c代入求根公式后，即可计算出x1和x2的值。
需要注意的是，除数不能为0，即a不能为0，否则方程不再是二次方程。
下面我们通过一个实例来解释求根公式的使用。
例题：解方程2x^2+5x+3=0的根。
解法：根据给定方程，我们可以知道a=2，b=5，c=3计算判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*2*3 = 25 - 24 = 1由于Δ>0，所以方程有两个不同的实数根。
